双曲线参数方程、抛物线参数方程

1、二、圆锥曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程2、双曲线的参数方程baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y设| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAcosasec ,asec()tanxaMyb所所以以的的轨轨迹迹方方程程是是为为参参数数2a22222 2xyxy消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1,b b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程双曲线的参数方程双曲线的参数方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：30,

2、2 )22通常规定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.的两个焦点坐标。、求双曲线tan34sec321yx( 2 15,0)练习：练习： 3sec2()_tanxy、双曲线为参数 的渐近线方程为13yx 22221:(2)11OxyPxyQPQ例 、已知圆上一点与双曲线上一点，求 、两点距离的最小

3、值222222minmin(sec ,tan )sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,34431QOQOQPQ 解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时例例2. 如图如图, 设设 M 为双曲线为双曲线 上任意一点上任意一点, O为原点为原点, 过点过点 M 作双曲线两渐近线的平行线作双曲线两渐近线的平行线, 分别与两分别与两 渐近线交于渐近线交于 A , B 两点两点. 探求平行四边形探求平行四边形 MAOB 的面积的面积, 由此可以发现什么结论由此可以发现什么结论?)0,( 12222babyaxxaby 解解: 双曲线的渐近线方程为双曲

4、线的渐近线方程为 . 不妨设不妨设M为双曲为双曲线右支上一点线右支上一点, 其坐标为其坐标为 , 则直线则直线MA的方的方程为程为)tan,sec(ba)sec(tanaxabby将将 代入上式代入上式, 解得点解得点A的的横坐标为横坐标为)tan(sec2axA同理同理, 得点得点B的横坐标为的横坐标为).tan(sec2axBxaby 设设 , 则则AOx,tanab所以所以, MAOB 的面积为的面积为2sincoscos2sin|BAxxOBOAS2sincos4)tan(sec2222a.22tan222ababaa 由此可见由此可见, 平行四边形平行四边形 MAOB 的面积恒为定值

5、的面积恒为定值, 与点与点 M 在双曲线上的位置无关在双曲线上的位置无关.222222223004.(,),Pb xa ya b abPabPR例例 设设 是是双双曲曲线线上上任任意意一一点点过过点点 作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线, ,分分别别与与两两渐渐近近线线相相交交于于点点Q Q和和R R, ,求求证证: :P PQ Q3、抛物线的参数方程xyoM(x,y)222.(5)tan.(6)2tan(5),(6),()2tan(5) ()ypxMyxpxx ypy设 抛 物 线 的 普 通 方 程 为因 为 点在的 终 边 上 ， 根 据 三 角 函 数 的定 义 可 得由

6、解 出， 得 到为 参 数这 就 是 抛 物 线不 包 括 顶 点 的 参 数 方 程21,(,0)(0,),tan2()20(0,0)(,)ttxpttyptttt 如果令则有为参数当时，由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点因此当时，参数方程就表示抛物线。参数 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。21212121212121221()2,11xpttyptMMttM MAttBttCDtttt、若曲线为参数 上异于原点的不同 两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是、( )c22,2(0),OA Bypx pOAOB OMABABMM、如图是直角坐标原点，是抛物线上异

7、于顶点的两动点,且并于相交于点， 求点的轨迹方程。xyoBAM2,?A BAOB探究：在 中， 点在什么位置时，的面积最小？最小值是多少20032( 1,0)MyxMPM MP、 设为抛物线上的动点， 给定点， 点为线段的中点， 求点的轨迹方程。1215565 215443,7782.5,7721.5,7782.5cos()7721.5sinababxy、解：因为，所以所求的椭圆的参数方程为为参数11221222( cos ,sin),(,0),(,0),coscos,1sin1sinpQB PB MB QB MPQPQM abP xQ xPQB M B MxKKKKaaxxOPOQxxa、

8、证明： 设， 因为 、 分别为与 轴的交点， 所以 由斜率公式计算得 所以为定值2222223(0),sec()tan( sec,tan),sectansectan1111( sec)( tan)()22xyaaxayaM aaMyxyxaaaaaaa 、证明：设等轴双曲线的普通方程为则它的参数方程为为参数设是双曲线上任意一点， 则点到两渐近线及的距离之积为常数。平分线段所以抛物线的顶点的中点为原点因为的坐标为所以的方程为直线的坐标为所以点的方程为直线的坐标为则点的坐标分别为、证明：设点DEODEtptEptxttptyACtptDptxttptyABptptCptptptptBA),0 , 0()0 ,2()2(12)0 ,2()2(12)2,2(),2 ,2()2 ,2(,42121211212121122222212122221522(,)21(2, 2)2OAy kxOByxkykxppAypxkkyxBpkpkkypx、 解： 直线的方程为， 直线的方程为 解方程组得点 的坐标是 解方程组得点 的坐标是)(222,222),(222222为参数的轨迹的参数方程是的中点所以，线段则的坐标为设点kpkkpypkkpxMABpkkppk