垂直于弦的直径 (5)

1、主讲人主讲人: : 侯洁侯洁你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗?它是它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶是我国古代人民勤劳与智慧的结晶问题问题 ：赵州桥它的主桥是圆弧形：赵州桥它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点弧的中点到弦的距离到弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着

2、它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴CDAB.OE 线段：线段： AE=BE弧弧：AC=BC,AD=BD可以发现可以发现: 实践探究实践探究在圆形纸片上作直径在圆形纸片上作直径CD，弦，弦AB, 使使CDAB，垂足为垂足为E沿着直径沿着直径CD 折叠折叠, 你能发现有哪些你能发现有哪些相等的线段和弧？相等的线段和弧？OABCDE已知：如图，CD是 的直径，且CDAB,垂足为E求证：AEEB, ADB

3、D, ACBC证明：连接OA,OBOAOB, AOB为等腰三角形又OEAB, 直线CD既是等腰OAB的对称轴，又是 的对称轴把圆沿着CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合,AE与BE重合， AC与BC重合,AD与BD重合因此， AEEB, ADBD, ACBCOABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧AD=BDABACB AEBE， ，AC=BC即直径即直径CD平分弦平分弦AB，并且平分并且平分及及如果直径如果直径CDAB , 则则 设圆的半径是设圆的半径是r，圆心到弦的，圆心到弦的距离距离d，弦长，弦长

4、a三者关系三者关系如何？如何？Oard r2 =d2+( )2a2OOO解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2OD=OCCD=R7.2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，在图中在图中如图，用如图，用AB表示主桥拱，设表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与

5、与AB 相相交于点交于点D ， 根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是AB的中的中点，点，CD 就是拱高就是拱高1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE如图, 在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。那么线段AC和 BD相等吗?为什么?ACDBOE理由如下理由如下: 过点过点O作作OEAB于于E在大圆中在大圆中, OEAB于于E AE=DE在小圆中在小圆中,OECD于于E CE=DEAE-CE=BE-DE即即 AC=BD答答: AC和和BD相等相等.如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE小结小结1.圆是轴对称图形，任何一条直圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴径所在直线都是它的对称轴2.垂径定理：垂直于弦的直径平垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条分弦，并且平分弦所对的两条弧弧3.设圆的半径是设圆的半径是r，圆心到弦的，圆心到弦的距离距离d