微积分的起源及发展.cx

1、积分的起源与发展应物一班：曹旭目录目录微积分学的概念微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和 应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 公元前5世纪，战国时期名家的代表作庄子天下篇中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极

2、限思想。 西方的微积分思想萌芽西方的微积分思想萌芽安提芬的“穷竭法”。他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。之后，阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。 牛顿的牛顿的“流数术流数术”牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿几何学，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。次年5月又建立了“反流数术”(积分法)1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以流数简论著称 ,是历史上第一篇系统的微积分文献 。 笛卡儿的代数方

3、法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。 17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。 十八世纪微积分的发展十八世纪微积分的发展 从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在其论文任意次方程一个解法的证明中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。 伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求未定式极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生罗比达编入其微积分著作无穷小分析，现在通称为罗比达法则。

4、1715年数学家泰勒在著作正的和反的增量方法中陈述了他获得的著名定理，即现在以他的名字命名的泰勒定理。后来麦克劳林重新得到泰勒公式的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林”级数。 18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论。这方面的贡献主要应归功于尼古拉伯努利、欧拉和拉格朗日等数学家。微积分的应用与新分支的形成微积分的应用与新分支的形成 常微分方常微分方程与动力程与动力系统系统 微积分微积分偏微分方程偏微分方程变分法变分法常微分方程与动力系统常微分方程与动力系统从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了

5、一系列常微分方程，这些问题在当时以挑战的形式被提出而在数学家之间引起激烈的争论。在18世纪，常微分方程已成为有自己的目标和方向的新数学分支。最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西，18世纪20年代，他给出了第一个存在性定理。 19世纪后半叶，常微分方程的研究在两个大的方向上开拓了新局面。第一个方向是与奇点问题相联系的常微分方程解析理论，它是由柯西开创的 。另一个崭新的方向，也可以说是微分方程发展史上的又一个转折点，就是定性理论，它完全是庞加莱的独创。庞特里亚金提出结构稳定性概念，要求在微小扰动下保持相图不变，使动力系统的研究向大范围转化。动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的有力结合而取

6、得了重要进步，借助于现代计算机模拟又引发具有异常复杂性的混沌、分叉、分形理论这方面的研究涉及到众多的数学分支。偏微分方程偏微分方程达朗贝尔发表的论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究被看作是偏微分方程论的开端。 和常微分方程一样，求偏微分方程显式解的失败，于是促使数学家们考虑偏微分方程解的存在性问题。柯西也是研究偏微分方程解的存在性的第一人。 变分法变分法 变分法起源于“最速降线”和其它些类似的问题。所谓最速降线问题，是要求出两点之间一条曲线，使质点在重力作用下沿着它由一点至另一点降落最快(即所需时间最短)。这问题最早由约翰伯努利提出。欧拉对于变分问题给出了处理,借助一个二阶常微分方程，给出了变分

7、问题的解应满足的必要条件，这就是后来所谓的“欧拉方程”，至今仍为变分法的基本方程。欧拉的工作奠定了变分法的这门新学科的独立基础。微积分的现代发展微积分的现代发展 我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域，便是利用微积分的理论来研究几何，这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用。并且这门学科至今仍然很活跃。前不久由我国数学家朱熹平、曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜想便属于这一领域。 启发与思考启发与思考微积分的发展历史表明了人的认识是微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随识具有相对性，受