离散数学教程学习教案

1、会计学1离散数学教程离散数学教程(jiochng)第一页，共292页。第1页/共292页第二页，共292页。第一(dy)部分 数理逻辑数理逻辑是用数学方法(sh xu fn f)研究推理中前提和结论之间的形式关系的学科。推理是由一个或几个判断(pndun)推出一个新判断(pndun)的思维形式。数学方法是指建立一套表意符号体系，对具体事物进行抽象的形式研究的方法。第2页/共292页第三页，共292页。第3页/共292页第四页，共292页。第4页/共292页第五页，共292页。1. 命题(mng t)：能判断真假的陈述句。包含(bohn)两层意思：（1）必须(bx)是陈述句。 （2）能够确定（分

2、辨）其真值。不等式等式自然语言中的陈述句万根。如：张校长的头发有一。是否知道真假是不同的注意：能否分辨真假与 1.1 命题和命题联结词第5页/共292页第六页，共292页。）我正在说谎。）啊，我的天哪！）我们要努力学习。）你喜欢数学吗？。）三角形的内角和等于87658014）火星上有生命。）面积大。）海洋的面积比陆地的例：3962211.1 命题(mng t)和命题(mng t)联结词第6页/共292页第七页，共292页。2. 命题的真值：判断(pndun)结果表示。或一般用命题,:iiqprqp注意：此处不纠缠具体命题的真假问题，只是将其作为数学(shxu)概念来处理。假命题假真命题真真值：

3、真用T或1表示(biosh)，假用F或0表示(biosh)。3.命题和真值的符号化1.1 命题和命题联结词第7页/共292页第八页，共292页。火星上有生命。积大。海洋的面积比陆地的面例：:962:rqp）我正在说谎。）啊，我的天哪！）我们要努力学习。）你喜欢数学吗？。三角形的内角和等于8765801:s）火星上有生命。）面积大。）海洋的面积比陆地的例：396221）我正在说谎。）啊，我的天哪！）我们要努力学习。）你喜欢数学吗？。）三角形的内角和等于87658014第8页/共292页第九页，共292页。例：2是有理数是不对的；2是偶素数(s sh)；2或4是素数(s sh)；如果2是素数(s

4、sh)，则3也是素数(s sh)；2是素数(s sh)当且仅当3也是素数(s sh)。p：2是有理数，q：2是偶数(u sh)，r：2是素数，s：3是素数，t：4是素数。第9页/共292页第十页，共292页。4、命题(mng t)联结词”。读作“非的否命题，记作称作复合命题，没有”等否定词组成的和“非”、“不”、“用命题否定词pppp,).1不是质数。：是质数。如：的逻辑抽象。、“不”和“没有”等是自然语言中的“非”44:ppp pTFFT1.1 命题(mng t)和命题(mng t)联结词第10页/共292页第十一页，共292页。”。合取”或“与读作“组成的复合命题，记作和、是命题，由、合取

5、词qpqpqpqpqp,).2一面”等的逻辑抽象。、“一面但是”而且”、“虽然”、“不但又“既”、是自然语言中的“并且pqp qFFFFTFTFFTTT：王化的品德很好。：王化的成绩很好。qp王化不但成绩好而且(r qi)品德好。pq：1.1 命题(mng t)和命题(mng t)联结词第11页/共292页第十二页，共292页。”。或读作“组成的复合命题记作和、命题析取词qpqpqp,).3的逻辑抽象。、“或者”中的可兼或是自然语言中的“或”pqp qFFFFTTTFTTTT：灯泡坏了。：开关坏了。qp1.1 命题(mng t)和命题(mng t)联结词开关(kigun)坏了或灯泡坏了。pq：

6、第12页/共292页第十三页，共292页。注意：当排斥或两边的情况实际根本不可能同时发生的时候，排斥或也可抽象为。但为了方便(fngbin)起见一般不这样抽象。第13页/共292页第十四页，共292页。称作后件（结论）。，”。称为前件（前提）条件或“”则读作“如果组成的复合命题记作和、由命题蕴涵词qqpqppqp,q).4的逻辑抽象。”，则”，“若，则是自然语言中的“如果pqp qFFTFTTTFFTTT有位父亲对儿子说：“如果我去书店，就一定给你买电脑报“。问：在什么情况(qngkung)下，父亲算失信呢？1.1 命题(mng t)和命题(mng t)联结词第14页/共292页第十五页，共2

7、92页。注意：“只要p，就q，因为p，所以q”，“p仅当q”，只有q，才p“，”除非(chfi)q才p“，”除非(chfi)q，否则非p“都可抽象为pq。p，q可以没有任何内在联系。例：1.如果336，那么雪是白的。2.除非我能工作完成了，我才去看电影。3.只要天下(tinxi)雨，我就回家。4.我回家仅当天下(tinxi)雨。pq的逻辑关系为q是p的必要条件(b yo tio jin)或p是q的充分条件。第15页/共292页第十六页，共292页。的逻辑抽象。条件”，“当且仅当”是自然语言中的“充要”。当且仅当读作“组成的复合命题记作和、由命题等价词qp,).5qpqppqp qFFTFTFT

8、FFTTT1.1 命题(mng t)和命题(mng t)联结词p q的逻辑关系为p与q互为充要条件例：1.3是有理数当且仅当加拿大位于(wiy)亚洲。2.两圆的面积相等，则他们的半径相等，反之亦然。第16页/共292页第十七页，共292页。6.q异或联结词指的是排斥或，当且仅当p、q的真值相异时，p为真。pqp qFFFFTTTFTTTF)()()2(qp1qpqpqppq等价于等价于）（有如下性质：由定义知1.1 命题(mng t)和命题(mng t)联结词例：今天(jntin)第一节课上离散数学或数据结构。第17页/共292页第十八页，共292页。左往右的次序运算。）同级的联结词，按从（省

9、略不必要的括号。）按优先级书写，可以（。，）由强到弱依次是：（联结词的优先次序：32,1例：p：北京(bi jn)比天津人口多 q：224 r：乌鸦是黑色的pqpqrrqqp)2(1 ）（求以下命题的真值第18页/共292页第十九页，共292页。5、语句(yj)形式化）选择命题联结词。（命题）；）确定原子命题（简单（形式化的步骤：211.1 命题(mng t)和命题(mng t)联结词例：2是有理数是不对的；2是偶素数(s sh)；2或4是素数(s sh)；如果2是素数(s sh)，则3也是素数(s sh)；2是素数(s sh)当且仅当3也是素数(s sh)。p：2是有理数，q：2是偶数，r：

10、2是素数，s：3是素数，t：4是素数。p不对；q且r；r或t；如果r，则s；r当且仅当s。第19页/共292页第二十页，共292页。跳墙。中的联结词，如：狗急）要善于识别自然语言（，如：我和他是同学。）给定句子是否是命题（注意：21去郊游，否则就不去。如果明天天气好，我们表。选小陈或小周一人为代践经验。他虽有理论知识但无实。么你一定会成为近视眼如果你走路时看书，那自讨没趣。，那么你们俩都不会去如果你和他不都是傻子例. 5. 4. 3. 2. 11.1 命题(mng t)和命题(mng t)联结词第20页/共292页第二十一页，共292页。命题常元：表示具体(jt)确定内容的命题。命题变元：表示

11、不确定具体(jt)内容的命题。题公式。）得到的符号串都是命）、（）有限次的使用（也是命题公式；是命题公式，则、）若（公式；公式，称其为原子命题）单个命题变元是命题（命题公式的递归定义：定义213,qp,q21.1qpqpqpqppp1.2 命题(mng t)公式及其赋值第21页/共292页第二十二页，共292页。rpprqppqpqrrqqp)5()4()3()2(1 ）例（同时约定：（1）最外层的括号可以省去。 （2）不影响运算(yn sun)次序的括号也可以省去。第22页/共292页第二十三页，共292页。层公式，是，则公式或或或或层公式，且，分别是，）若公式（层公式；是，则层公式且是）若

12、公式（层公式；其为为单个命题变元，则称）公式（命题公式的层次：定义),max(1nACBACBACBACBACBAjiCB31nABAnB20A1. 2jin pqpqrrqp)2(1 ）例（第23页/共292页第二十四页，共292页。rqp )(是有理数：是偶数，：是素数，：232rqp是无理数：是偶数，：是素数，：232rqp称为成假赋值。的成真赋值，否则，则称其为的真值为若指定的一组值使的一组赋值或解释。对一组确定的取值，称为给的命题公式，为含有命题变元设定义A1Ap,p,.32121AppppAnn第24页/共292页第二十五页，共292页。的真值表。称为情况列成表，在其全部赋值下的真

13、值将公式定义AA. 41n1)1223FnFnnnn真值表的构造步骤：（ ）若公式 共有（个变元，则真值表第一行写出个变元，公式F写在第列。（ ）写出 个变元的所有可能取值（种）,按从低到高的顺序写出公式的各层次。（ ）在不同赋值下求出各层次的真值及 的真值。第25页/共292页第二十六页，共292页。为可满足式。的值为真，则称）若至少有一组赋值使为永假式；为假，则称在所有赋值下的取值均）若为永真式；为真，则称在所有赋值下的取值均若，公式定义AA3AA2AA) 1. 5A1.2 命题(mng t)公式及其赋值pqpqrrqp)2(1 ）例（第26页/共292页第二十七页，共292页。也是重言式

14、。为重言式，则和若定理BABABA,. 11.2 命题(mng t)公式及其赋值第27页/共292页第二十八页，共292页。1.,ABABA BAB定义 设 和 是两个命题公式，若为重言式，则称公式是等值的公式，记作。1.p)();.qqpppp 例 证明（.qpq注意：和的区别是公式间的关系符号，如：p是命题联结词1.3 命题(mng t)公式的等值式第28页/共292页第二十九页，共292页。 , ABAB ABBAABCABC ABCABCABCABACABCABAC交换律：结合律：分配律：)(),(),()pqpqpqrpqrpqr 例： （与基本等值式（基本等值式（A，B，C为任意为

15、任意(rny)命题公式）命题公式）1.3 命题(mng t)公式的等值式第29页/共292页第三十页，共292页。0,110A,1, ,1.11,00(),AA AAAAAAAAAA AAA AAAAAAAA AAAAABA AABAABABABAB 同一律：互补律：，重补律：等幂律：零一律：A吸收律：德摩根律：1.3 命题(mng t)公式的等值式第30页/共292页第三十一页，共292页。 , BABABBABABBAABABBAABABABABAB 蕴含等值式：A假言易位：等价等值式：A等价否定等值式：归谬论：(AB) (AB)A因A，B，C可以(ky)代入任意的命题公式，故以上等值式称

16、为等值式模式。由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程(guchng)为等值演算。1.3 命题(mng t)公式的等值式第31页/共292页第三十二页，共292页。( )( )( ) ABA(B)(A)AABBA 置换规则：设是含公式 的命题公式，是用公式 置换了中所有的 后得到的命题公式。若，则等值演算的应用： 1.验证(ynzhng)等值式 2.判定公式的类型 3.解决工作生活中的判断问题2.qpqqp 例 等值等价式p1.3 命题(mng t)公式的等值式()()()pqprpqr(), (),()pqpqppqr ppqpq甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授

17、不是(b shi)苏州人，是上海人 已说：王教授不是(b shi)上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是(b shi)上海人，也不是(b shi)杭州人结果3人中有一人全对，一人对一半，一人全错。问王教授是哪人？第32页/共292页第三十三页，共292页。联结词的完备(wnbi)集.0,10,1n.nF定义称 ：为 元真值函数0,10 1nn中的元素为由 ， 组成的长为 的符号串n个命题变元可以形成(xngchng)22n个不同的真值函数对于每个真值函数，都可以找到许多与之等值的命题公式(gngsh)，而每个命题公式(gngsh)对应唯一的与之等值的真值函数。定义.设S是一个联结词集合，如果任何

18、n（n1）元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则 称S是联结词完备集。第33页/共292页第三十四页，共292页。. , , Th S 是联结词完备集.345S , , , , , ,SSS 12推论：以下联结词集都是完备集 , , ,S.,p qpq定义 设为两个命题，复合命题“ 与（或） 的否定式”称作p,q的与（或）非式，记作pq(pq). , Th 也是联结词完备集.联结词的完备(wnbi)集第34页/共292页第三十五页，共292页。1.4 析取范式与合取范式定义：命题变元及其否定(fudng)统称为文字。 仅由有限个文字构成的析取式称为简单（质）析取式。 仅由有限个

19、文字构成的合取式称为简单（质）合取式。,pp pq pq例：注意(zh y)：单个文字既是简单析取式又是简单合取式。讨论：设A为含n个文字的简单(jindn)析取式 若A中同时含pi和pi，则？若A为永真式，则？第35页/共292页第三十六页，共292页。若A为永真式，则A中必同时(tngsh)含有pi和pi，反之亦然。同理有，若A为简单合取式，A为永假式的充要条件是A中同时(tngsh)含有pi和pi。定理1. 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有(hn yu)某 个命题变元及其他的否定。 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有(hn yu)某 个命题变元及其他的否定。1.4 析取范式

20、与合取范式第36页/共292页第三十七页，共292页。定义(dngy)：由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。 由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。 析取范式与合取范式称为范式。,()()pp pq pqpqpq 例：注意(zh y)：单个文字、简单析取式、简单合取式都既是析取范 式又是合取范式。1.4 析取范式与合取范式定理2. 一个(y )析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合 取式为矛盾式。 一个(y )合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析 取式为重言式。第37页/共292页第三十八页，共292页。定理(dngl)3.任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式。范式的

21、求法：消去公式(gngsh)中的蕴涵、等价和异或联结词 使用双重否定律和德摩根律，将公式(gngsh)中出现 的否定 词移到命题变元之前。 利用分配律、结合律将公式(gngsh)化为合（析）取 范式。,()rpqrp例：(pq)范式(fn sh)形式不唯一。1.4 析取范式与合取范式第38页/共292页第三十九页，共292页。定义：在含有n个命题变元的简单合（析）取式中，若每个 命题变元和 它的否定式不同时出现，而二者之一必 出现且仅出现一次，且第 i个命题变元或它的否定是 出现在从左算起的第i位上（字典序），称这样(zhyng)的简 单合（析）取式为极小（大）项。,()pqpq pq pqp

22、q 例：性质：n个变元可以(ky)形成2n个极小（大）项； 每个极小（大）项有且仅有一个成真（假）赋值； 每组赋值下仅有一个极小（大）项为真（假）； 所有极小（大）项的析（合）取为真（假）；1.4 析取范式与合取范式第39页/共292页第四十页，共292页。将极小项的成真赋值对应(duyng)的二进制数转化为十进制数为i，将对应(duyng)的极小项记为mi。将极大项的成假赋值对应(duyng)的二进制数转化为十进制数为i，将对应(duyng)的极大项记为Mi。定义：设由n个命题(mng t)变元构成的析（合）取范式中所有的简 单合（析）取式都是极小（大）项，则称该析取范 式为主析（合）取范式

23、。1.4 析取范式与合取范式定理.任何命题(mng t)公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范 式，并且是唯一的。第40页/共292页第四十一页，共292页。1.4 析取范式与合取范式公式法：求析取范式 用同一律补进未出现的命题变元 消去永假或重复出现的变元和极小项 将极小项按下标(xi bio)从小到大排列真值表法：列出公式及各极小项的真值表，将每组赋值下 公式及极小项真值都为真的(zhn de)极小项进行析取。主析取范式的求法：1.公式(gngsh)法2.真值表法第41页/共292页第四十二页，共292页。1.4 析取范式与合取范式应用(yngyng)：1.求公式的成真、成假赋值 成真赋

24、值为析取范式中所含极小项的编码的二进制数 成假赋值为合取范式中所含极大项的编码的二进制数12i, m;iiiiMp pMMmin定理.设m 与是,p 形成的极小项、极大项，则，由主析取范式可以直接求主合取范式： 1求出主析取范式中未包含的极小(j xio)项 2求出与1中求出的极小(j xio)项下标相同的极大项 3做2中极大项之合取第42页/共292页第四十三页，共292页。1.4 析取范式与合取范式3.判断两公式(gngsh)是否等值 若A，B共含有n个命题变元，按n个命题变元求出A与B的主析取范式A、B，若AB，则AB.2.判断(pndun)公式的类型 设A含有n个命题变元A为重言式当且

25、仅当A的主析取范式含全部2n个极小项； A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项，此 时记为0；A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项。第43页/共292页第四十四页，共292页。例：要在A，B，C中挑选2名出国进修，选派时满足下列条件： 若A去，则C同去 若B去，则C不能去 若C不去，则A或B可以去问有几种选派方案(fng n)，分别是什么？4.解决实际(shj)问题1.4 析取范式与合取范式第44页/共292页第四十五页，共292页。222222, ,A AA BA AA BAAAAAABA AABA AAB1k1k1k1k1k1k定义.设,都是公式，若，的任意 一组赋

26、值，或者为假，或者和 同为真，则称由前提，推出 的推理 是有效的或正确的，称，为前提集合为 有效结论.1.5推理(tul)的形式结构注意：推理正确实际是排除前提真结论(jiln)假的情况推理是否正确与前提的排列顺序无关推理正确并不能保证B一定为真第45页/共292页第四十六页，共292页。12)kAAAB若推理正确，则记作(1212.,BBkkAAAAAA定 理 公 式推的 推 理 正 确 当 且 仅 当 （）为 永 真 式 。1.5推理的形式(xngsh)结构212,B kA AABAAA1k由，推 ，记作（）推理(tul)的形式结构第46页/共292页第四十七页，共292页。1212,kk

27、AAABAAAB用（）作为推理的形式结构，证明时要先写成前提：,结论：12)kAAAB论证推理是否正确，就是判断(是否为永真式真值表法方法有等值演算法主范式法1.5推理的形式(xngsh)结构第47页/共292页第四十八页，共292页。例：若下午温度超过30度，则王晓燕必去游泳。若她去游 泳，她就不会(b hu)去看电影。所以若王晓燕没去看电影， 下午温度必超过了30度。p：温度超过30度q：王晓燕去游泳(yuyng)r：王晓燕去看电影,pq qrrp 前提：结论：1.5推理(tul)的形式结构第48页/共292页第四十九页，共292页。,()() AABABAABABABBAABBAABBC

28、ACABBCACABCDACBDABABAABABCDBDAC 附加律：化简律：假言推理：拒取式：析取三段论：假言三段论：等价三段论：构造性二难：破坏性二难：1.5推理(tul)的形式结构第49页/共292页第五十页，共292页。注意：以上都是蕴含式模式若某推理的形式结构与某定律一致，则推理正确成立的等值式可产生两条定律推理定律可产生相应(xingyng)的推理规则1.5推理(tul)的形式结构第50页/共292页第五十一页，共292页。1.6自然(zrn)推理系统P定义.一个形式系统I由以下4部分(b fen)组成： 非空的字母表，记作A(I) A(I)中符号构成的合式公式集，记作E(I)

29、E(I)中特殊的公式组成的公理集，记作Ax(I) 推理规则集，记作R(I)自 然 推 理 系 统形 式 系 统公 理 推 理 系 统任给的前提，应用规则(guz)得到结论（可能真）任给的公理，应用规则得到结论（永真）第51页/共292页第五十二页，共292页。P, , , ,2.1.63.1(P)iiip q rp q r 定义.自然推理系统或1.字母表， ， ，（）和，合式公式定义中所定义的所有命题公式推理规则（）前提引入规则：证明的任何步骤上都可以引入前提1.6自然推理(tul)系统P第52页/共292页第五十三页，共292页。(2)结论引入(T)规则：证明的任何步骤上所得的结论都可作为

30、后继证明的前提（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都 可以用与之等值的公式置换ABABABAB(4)假言推理规则：若序列中已出现和 ，则可将 引入序列中(5)附加规则;（6）化简规则;（7）拒取式（8）假言三段论规则;（9）析取三段论规则（10)构造性二难规则;（11）破坏性二难规则（12）合取引入规则：若序列中出现了 和 ，则可将引入序列中1.6自然推理(tul)系统P第53页/共292页第五十四页，共292页。,()pq qr pssrpq例：前提： 结论：例：若小王是理科生，则他的数学成绩一定很好。如果 小王不是理科生，他一定是文科生。小王的数学成绩 不好(b ho)。

31、所以小王是文科生。p：小王(xio wn)是理科生q：小王(xio wn)是文科生r：小王(xio wn)的数学成绩很好,prpqrq前提：结论：1.6自然推理(tul)系统P第54页/共292页第五十五页，共292页。12121.()()()kkAAAABAAAAB附加前提证明法若推理形式为，则可转换为例：如果小张和小王(xio wn)去看电影，则小李也去看电影。小赵 不去看电影或小张去看电影。小王(xio wn)去看电影。所以， 当小赵去看电影时，小李也去。p：小张去看电影(dinyng)q：小王去看电影(dinyng)r：小李去看电影(dinyng)s：小赵去看电影(dinyng)(),

32、pqrsp qsr 前提：结论：1.6自然推理(tul)系统P第55页/共292页第五十六页，共292页。1212()()()kkAAABAAAB 2.归谬法将结论的否定作为前提引入，能推出矛盾(modn)来，则推理正确例：如果马会飞或羊不吃草，则母鸡就会是飞鸟。如果母 鸡是飞鸟，那么(n me)烤熟的鸭子还会跑。烤熟的鸭子不会 跑。所以羊吃草。p：马会飞q：羊吃草r：母鸡是飞鸟(fi nio)s：烤熟的鸭子会跑(),pqr rssq 前提：结论：1.6自然推理系统P第56页/共292页第五十七页，共292页。所有的人总是(zn sh)要死的。苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。p:q:r:,

33、 p qr前提：结论：()pqr推理形式：第57页/共292页第五十八页，共292页。第58页/共292页第五十九页，共292页。个体常项个体变项, , ,iiia b ca b c用表示, ,iiix y zxyz用表示1.个体(gt)词所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象(chuxing)的客体（事物）表示具体的或特定的客体表示抽象或泛指的客体个体变项的取值范围称为个体域，用D表示宇宙间一切事物组成的称为全总个体域1,2,3,N R有穷，无穷，第59页/共292页第六十页，共292页。谓词常项：具体性质或关系的词谓词变项：抽象或泛指的性质或关系的词2.谓词(wi c)用来(yn li)刻

34、划个体词性质及个体词之间相互关系的词,iiiF G HF GH用,表示2是有理数x是无理数小王与小李同岁(tn su)x与y具有关系L是有理数是无理数与同岁与具有关系LF：G：H：L：第60页/共292页第六十一页，共292页。3.量词：个体(gt)词之间的数量关系（1）全称量词 “一切(yqi)的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都” 记作(2) 存在量词 “存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”记作4.符号化 确定(qudng)个体域确定(qudng)个体词、量词和谓词确定(qudng)联结词第61页/共292页第六十二页，共292页。例：所有的人都是要死的。 有的人

35、用左手(zushu)写字。注意：全称量词的特性谓词必须(bx)作为蕴涵式的前件引入存在量词的特性谓词必须(bx)作为合取式的合取项引入同一命题，不同的个体域符号化的形式可能不同未指明个体域即为全总个体域第62页/共292页第六十三页，共292页。例：在美国留学的学生未必都是亚洲人。 有的兔子比所有的乌龟跑的快。 对任意(rny)的整数x，都存在整数y使得xy10。注意：多个量词出现时，顺序一般不能随便换有些(yuxi)命题符号化形式不唯一第63页/共292页第六十四页，共292页。.F(1), , ,(2), , , , ,(7) ( ),iiiiiiiiiiiia b ca b cx y z

36、x y zf g hf g hF G HF G H 定义一阶语言 的字母表个体常项：，个体变项：，(3)函数符号：，(4)谓词符号：，(5)量词符号： ，(6)联结词: , , ,和第64页/共292页第六十五页，共292页。121212( ,)n, , ,n( , ,)(3)(1)(2)nnnx xxt ttt tt定义.一阶语言的项的定义(1)个体常项和个体变项是项；(2)若,是任意的 元函数, 是一阶语言的任意 个项，则,是项；所有的项都是有限次使用得到的。121212.( ,)n, , ,n( , ,)nnnR x xxt ttR t tt定义设，是一阶语言的任意 元谓词, 是一阶语言

37、的任意 个项，则称，是 一阶语言的原子公式。第65页/共292页第六十六页，共292页。.(1)(2)()(3),(4),(5)AAA BAB AB AB ABAxAxA定义一阶语言的合式公式的定义原子公式是合式公式；若 是合式公式，则也是合式公式；若是合式公式，则也是合式公式；若 是合式公式，则也是合式公式；只有有限次地应用(1)(4)构成的符号串才是合式公式。合式公式(gngsh)也称谓词公式(gngsh)，简称公式(gngsh)第66页/共292页第六十七页，共292页。.,xAxAxxAxAxA定义在公式中，称 为指导变元，A为相应量词的辖域。在的辖域中， 的所有出现称为约束出现， 中

38、不是约束出现的变元均称为自由出现。( ( , )( , ) ( ( )( )( )( , , )x F x yG x zx F xG yy H xL x y z 例：.AAA定义设 是任意的公式，若 中不含自由出现的个体变项，则称 为封闭的公式，简称闭式。第67页/共292页第六十八页，共292页。( ( )( ) ( ( )( )( , )( ( , ), ( , )x F xG xx y F xF yG x yH f x y g x y 例：12.I(1)(2) ,(3)| ,1(4)| ,1.IIinIinIiDDa aaDfi nDFi n定义一阶语言的解释 由以下部分组成非空个体域；

39、中一些特殊元素的集合, ；上特定函数集合；上特定谓词集合第68页/共292页第六十九页，共292页。I(1)(2)(3)(4).IinniinniiDaffFF对 的说明：公式中的个体变项均取值于；若含个体变项就解释为 ；若含函数就解释为 ；若含谓词就解释为第69页/共292页第七十页，共292页。I(1) D=N=0,1,2, (2) 0(3) ( , ), ( , )(4) ( , )af x yxy g x yxyF x yxy例：解释 ：为(1)( ,),( ,)(2)( ,), )(3)( ,), )( ,)Ff x yg x yxF g x axxF g x axF x y定理(d

40、ngl).闭式在任何解释下都变成命题。第70页/共292页第七十一页，共292页。.AAAAAAA定义设 为公式 若 在任何解释下均为真，则称 为永真式(逻辑有效式). 若 在任何解释下均为假，则称 为永假式(矛盾式). 若至少有一个解释使 为真，则称 为可满足式。0121200., n(1),nniiAp ppA AAAinApAA 定义设 是含命题变项， 的命题公式，是个谓词公式，用处处代替 中的所得公式 为 的代换实例。2.2一阶逻辑(lu j)公式及解释第71页/共292页第七十二页，共292页。( )( ,)( )( )( )( )( )( )( )( )xF xx yG x yxF

41、 xxF xyG yyG yx F xG xx F xG x 例：定理.重言式的代换(di hun)实例都是永真式，矛盾式的代换(di hun) 实例都是矛盾式。( )( )( )( )( )xF xxF xx F xG xyG y 第72页/共292页第七十三页，共292页。A BABABAB定义.设 , 是一阶逻辑中任意两个公式，若是永真式， 则 与 等值，记作1212121.D=,( )()()()( )()()()nnnaaaxA xA aA aA axA xA aA aA a消去量词等值式 ,第一组第一组 命题逻辑中等值式模式命题逻辑中等值式模式(msh)的代换实例都是一阶逻的代换实

42、例都是一阶逻 辑的等值式模式辑的等值式模式(msh)第二组第二组 一阶逻辑一阶逻辑(lu j)中特殊的等值式中特殊的等值式 , , ,( )( ),( ,)Da b cxF xyG yxyF x y 第73页/共292页第七十四页，共292页。2.( )( )( )( )xA xx A xxA xx A x 量词否定等值式3.(1)( ( )( ) ( ( )( ) ( ( )( ) ( )( )x A xBxA xBx A xBxA xBx A xBxA xBx BA xBxA x 量词辖域收缩与扩张等值式(2)( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x A xBxA xBx

43、A xBxA xBx A xBxA xBx BA xBxA x 第74页/共292页第七十五页，共292页。( ( )( )( )( )( ( )( )x A xB xxA xxB xx A xB xxA xxB x 4.量词分配等值式( )( )x A xB xxA xxB xx A xB xxA xxB x 5.量词分配蕴涵式（ ） （ ）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（ ）D=N，F(x)：x是奇数(j sh) G(x)：x是偶数第75页/共292页第七十六页，共292页。( )( ),( )( )AABBAAABAB 置换规则 设是含公式 的公式，是用 取代 (中的所有的 之后的公式

44、。若则。AAAA换名规则 设A为一公式，将 中某量词辖域中某约束变项的所有出现及相应的指导变元，改成该量词辖域中未曾出现过的某个体变项的符号，公式中其余部分不变，设所得公式为,则第76页/共292页第七十七页，共292页。AAAAA代替规则 设 为一公式，将 中某自由出现的个体变项的所有出现用A中未曾出现过的某个体变项的符号代替，公式中其余部分不变，设所得公式为,则( , )( , ) ( ,)( , )xF x y zyG x y zx F x yyG x y z 例：( ( )( )( ( )( ) ( ( )( )( , )( ( )( )( , )x F xG xx F xG xx y

45、 F xG yL x yx y F xG yL x y 证明：第77页/共292页第七十八页，共292页。为了方便使用谓词公式进行定理证明和逻辑推理，需要(xyo)把谓词公式变换为便于使用的规范形式，就是范式。 112233kki112233kk.AAQ x Q x Q xQ x BQBAQ x Q x Q xQ x B定义 设 为一个一阶逻辑公式，若 具有 形式，其中每个为量词 或 ， 为不含量词的 谓词公式，则称 为前束范式，称为公式的首标， 为公式的尾部。)()()(),()2();,()()() 1 (1yQxRxQyxPzyxzxRyQxPzyx：例第78页/共292页第七十九页，共

46、292页。定理1：任一谓词公式都可以化成为(chngwi)与之等值的前束范式。1(B23求前束范式的步骤：、消去可能出现的多余量词 在 中无相应变项的量词）；、利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不相同，并且自由变元与约束变元的符号也不相同；、利用量词辖域的扩张和收缩律，将所有量词以在公式中出现的顺序移到公式的最前面，扩大量词的辖域至整个公式。2.4一阶逻辑(lu j)前束范式第79页/共292页第八十页，共292页。( )( )( , )( , )( , )( )( , , )xF xxG xxF x yyG x yxF x yyG yxH x y z 例：2.4一阶逻辑(lu j)前束

47、范式第80页/共292页第八十一页，共292页。1212,BBkkA AAAAA从,推出结论 的推理形式在一阶逻辑中，称永真的(zhn de)蕴涵式为推理定律。若一个推理的形式结构正是某条推理定律，则该推理显然是正确的。第一组第一组 命题逻辑推理定律的代换命题逻辑推理定律的代换(di hun)实例实例第二组第二组 由基本等值式生成的推理定律第三组第三组 以下重要定律第81页/共292页第八十二页，共292页。( )( )( ( )( )( ( )( )( )( )( ( )( )( )( )( ( )( )( )( )xA xxB xx A xB xx A xB xxA xxB xx A xB

48、 xxA xxB xx A xB xxA xxB x 第四组第四组 消去量词和引入量词的推理消去量词和引入量词的推理(tul)规则规则1、全称(qun chn)量词消去规则（UI）2.5一阶逻辑(lu j)的推理理论第82页/共292页第八十三页，共292页。)()(yAxxAUI规则成立(chngl)的条件： （1）取代x的y应为任意不在A(x)中约束出现的个体变项； （2）用y取代A(x)中自由出现的x时，必须将所有的自由出现x都取代； （3）自由变元y也可替换为个体域中任意的个体常元c，c为任意不在A(x)中出现过的个体常项。)()(cAxxA2.5一阶逻辑(lu j)的推理理论第83页

49、/共292页第八十四页，共292页。),( : :1yxyLxyxL(x,y)RD：例含义(hny)：如果个体域的所有个体都具有性质A，则个体域中的任一个个体都具有性质A。 2、存在量词(lingc)消去规则（EI）)()(cAxxA含义(hny)：如果个体域存在有性质A的个体，则个体域中必有某一个个体具有性质A。 2.5一阶逻辑的推理理论第84页/共292页第八十五页，共292页。ES规则(guz)成立的条件： （1）c是个体域中使A为真的特定的个体常项； （2）c不曾在A(x)或前面的推导公式中出现过； （3）A（x）中除x外还有其他自由变元时，不能用此规则(guz)1xxA ND2）：（

50、：例),( : :3yxyLxyxL(x,y)RD：例2.5一阶逻辑的推理(tul)理论）（）（是偶数）：（是奇数）：（：例xxQxxPxxQ xxP ND4第85页/共292页第八十六页，共292页。3、全称量词(lingc)引入规则（UG）( )( )A yxA x UG规则(guz)成立的条件： （1）y在A（y）中自由出现，且y取任何值时A均为真；（2）x不在A（y）中约束出现。 含义：如果(rgu)个体域的任意个体都具有性质A，则个体域中的所有个体都具有性质A。 ),(A(x) : :5yxyLyxL(x,y)RD：例2.5一阶逻辑的推理理论第86页/共292页第八十七页，共292页

51、。4、存在(cnzi)量词引入规则（EG）( )( )A cxA x EG规则成立的条件： （1）c是个体域中某个(mu )确定的个体；（2）代替c的x不在A（c）中出现过。 含义：如果个体(gt)域有某一个个体(gt)c具有性质A，则个体(gt)域中必存在具有性质A的个体(gt)。 ), 8(A(8) : :6yyLyxL(x,y)RD：例2.5一阶逻辑的推理理论第87页/共292页第八十八页，共292页。定义.一阶逻辑自然推理系统F的定义 1.字母表：同一(tngy)阶语言的字母表 2.合式公式：同一(tngy)阶语言合式公式的定义 3.推理规则 a.前提引入规则 b.结论引入规则 c.置

52、换规则 d.假言推理规则 e.附加规则 f.化简规则 g.拒取式规则 h.假言三段论规则 i.析取三段论规则 j.构造性二难规则 k.合取引入规则 l. UI，EI，UG，EG2.5一阶逻辑(lu j)的推理理论第88页/共292页第八十九页，共292页。例7：证明逻辑三段论 所有的人总是(zn sh)要死的。 苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。( ( )( ( )( )( )( ( )( )x F xG yH xxF xx F xH x例8：已知前提，证明结论：2.5一阶逻辑(lu j)的推理理论第89页/共292页第九十页，共292页。2.5一阶逻辑的推理(tul)理论例10：如果一个人

53、怕困难就不会获得成功。每一个人或者获得成功或者是失败的。有些人未曾失败过，所以(suy)有些人不怕困难。（个体域是人的集合）判断这个推理是否正确。 例9：根据前提集合：同事之间总是有工作(gngzu)矛盾的，张平和李明没有工作(gngzu)矛盾，能得出什么结论？第90页/共292页第九十一页，共292页。第91页/共292页第九十二页，共292页。第92页/共292页第九十三页，共292页。sxsy第93页/共292页第九十四页，共292页。例1： 1.偶素数集合(jh)。2.二进制的基数集合(jh)。3.英文字母的集合(jh)。4.全体实数的集合(jh)。5.自然数集合(jh)。6.整数集合

54、(jh)。7.有理数集合(jh)。8.素数集合(jh)。3.1集合(jh)的基本概念第94页/共292页第九十五页，共292页。3.1集合(jh)的基本概念集合的表示方法(fngf): 1.列举法（枚举法、外延法）把集合的所有元素（元素较少时）写在一个花括号内;列出足够多的元素（元素很多或无穷时）以反映集合中元素的特征。如例1中的1、2、3、5可分别表示为：20，1a，b，cz，A，B，CZ1，2，3第95页/共292页第九十六页，共292页。3.1集合(jh)的基本概念2.描述法（概括法）将集合中的元素的性质用一个谓词(wi c)公式来描述，S=X|P(X),意义为:集合S由且仅由满足为此公

55、式P(X)的对象组成，即 ，当且仅当p(a)为真。如例1中的4、6、7可表示为：sa|Rxx|Qxx3.文氏图用图形图像直观的描述集合之间的相互关系(gun x)和有关运算。|Ixx第96页/共292页第九十七页，共292页。3.1集合(jh)的基本概念几个常见集合的表示符号(fho)：N：自然数集合，N=0，1，2，3；I：整数集合；P：素数或质数集合；Q：有理数集合；R：实数集合；C：复数集合；第97页/共292页第九十八页，共292页。3.1集合(jh)的基本概念集合的特性:A.互异性：一个集合的个元素是可以区分开的，即每一 元素只出现一次。B.无序性：集合中元素排列(pili)顺序无关

56、紧要，即集合表示 形式的不唯一性。例2：a，b，c=b，c，a=c，a，b=a，c，b=b，a，c=c，b，a第98页/共292页第九十九页，共292页。3.1集合(jh)的基本概念C.确定性：任一事物是否(sh fu)属于某一集合，回答是确定的。例3：“好书”的全体，这不构成(guchng)集合。注意：一个集合是已知的，指的是对任一元素，利用某种方法可以判断它是否是这个集合的元素，而不是把集合的每一个元素都给出来。第99页/共292页第一百页，共292页。3.1集合(jh)的基本概念集合的元素可以是任何具体或抽象的事物，包括(boku)别的集合，但不能是本集合自身。例4：在一个住着一些人家的

57、偏僻孤岛( do)上，岛上只有一个理发师a，a给且只给岛上所有不能自己理发的人理发。问谁给a理发？第100页/共292页第一百零一页，共292页。定义1.设A和B是两个集合(jh)，若A中的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，也称B包含A,记作)(ABBA3.1集合(jh)的基本概念定义2.设A和B是任意两个集合，若A包含(bohn)B且B包含(bohn)A，则称A与B相等，记作A=B.即，ABBABA|BxAxxBA二、集合的关系第101页/共292页第一百零二页，共292页。3.1集合(jh)的基本概念定义3.若A是B的子集且 ，则称A为B的真子集，或称B真包含(bohn)A，记作，

58、B称为A的超集。是集合间的包含关系。、；是元素与集合间的关系的区别：和、注意BA BA BABABA. 2 . 15中国人台湾人台湾人都是中国人。：例CRQN第102页/共292页第一百零三页，共292页。集合的相等(xingdng)关系的性质：。，则且传递性：若）（；，则对称性：若）（；自反性：CACBBAABBAAA.3.2).1 (设A,B,C为3个集合，集合的包含(bohn)关系的性质:。，则且传递性：若）（；，则且反对称性：若）（；自反性：CACBBABAABBAAA.3.2).1 (3.1集合(jh)的基本概念第103页/共292页第一百零四页，共292页。, 01x|xA62Rx

59、：例定义4.不包含任何元素的集合称为(chn wi)空集，记作或推论：空集是唯一的。集。：空集是一切集合的子定理1 .7.6 .5.4 ).3().2( .17）（）（；）（）（；）（：判断下列命题的真假例3.1集合(jh)的基本概念三、特殊(tsh)集合第104页/共292页第一百零五页，共292页。定义4：在一定范围内，如果所有(suyu)集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集，记作E。 。，；例：210 1 0定义5.集合中元素的个数称为基数或势，用|A|表示。基数是有限数的集合称为有限集，否则(fuz)称为无限集。全集是相对的，不同的问题有不同的全集，即使(jsh)是同一个问题也可以

60、取不同的全集 。3.1集合的基本概念第105页/共292页第一百零六页，共292页。含n个元素(yun s)的集合简称n元集，其含有k(kn)个元素(yun s)的子集称为它的k元子集。定义6.由集合S的所有子集组成(z chn)的集合，称为集合S的幂 集，记作P（S）。表示为：.|)(SAASP有限集S ，|P（S）|=2|S|例：Aa，b，c，d，c第106页/共292页第一百零七页，共292页。一、集合(jh)的基本运算BxAx|xBA BA BABA1.且。的交集，记作与称为，的公共元素组成的集合和，由和设有集合定义 BA| . B. 2BxAxxBABABAABA或的并集，记作与称为