07积分在经济分析中的应用

1、 总成本函数例2 禾1J润函数例4 例5例6 例7广告策略 例8例9 例10例11 例12第七节积分在经济分析中的应用分布图示由边际函数求原经济函数 需求函数例1 总收入函数例3由边际函数求最优问题在其它经济问题中的应用 消费者剩余和生产者剩余 资本现值和投资问题 国民收入分配内容小结习题5-7课堂练习内容要点一、由边际函数求原经济函数：作为导数(微分)的逆运算,若对已知的边际函数F(x)求不定积分，则可求得原经济函数F(x)=F(x)dx(7.1)其中，积分常数C可由经济函数的具体条件确定.(1)需求函数(2)总成本函数(3)总收入函数(4)利润函数二、由边际函数求最优问题三、在其它经济问题

2、中的应用广告策略消费者剩余消费者剩余是经济学中的重要概念，它的具体定义就是：消费者对某种商品所愿意付出的代价，超过它实际付出的代价的余额.即：消费者剩余=愿意付出的金额一实际付出的金额例题选讲由边际函数求原经济函数需求函数例1(E01)已知对某商品的需求量是价格P的函数，且边际需求Q(P)=T,该商品的最大需求量为80(即P=0时，Q=80),求需求量与价格的函数关系.解由边际需求的不定积分公式，可得需求量Q(P)=fa(P)dP=4dP=4P+C(C为积分常数).C=80，代入Q(P)Pq=80iAC=80,于是需求量与价格的函数关系是Q(P)=4P+80本例也可由变上限的定积分公式直接求得

3、Q(P)=PQ(t)dtQ(0)=P(4)dP80=-4P80.总成本函数例2(E02)若一企业生产某产品的边际成本是产量x的函数C(x)=2e0.2x,固定成本C0=90,求总成本函数.解由不定积分公式得一一02202vC(x)=C(x)dx=J2e.dx=e.+C(C为积分常数)0.2由固定成本C0=90，即x=0时，C(0)=90，代入上式得90=10C:C=80于是总成本函数为C(x)=10e0.2x80.总收入函数例3(E03)已知生产某产品x单位时的边际收入为R(x)=1002x(元/单位)，求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再增加生产10个单位时所增加的总收入.解由变上限定

4、积分公式R(x)=；R(t)dt直接求出R(40)二(1002x)dx=(100xx2)40=240M)R(40)2400平均收入-=60(兀)4040在生产40单位后再生产10单位所增加的总收入可由增量公式求得AR=R(50)R(40)=C0R(x)dx=嵋(1002x)dx=(100xx2)：0=100(元).禾润函数例4(E04)已知某产品的边际收入R(x)=252x,边际成本C(x)=134x,固定成本为Co=10,求当x=5时的毛利和纯利.解法一由边际利润L(x)=R(x)-C(x)=(25-2x)-(13-4x)=122x可求得x=5时的毛利为L(t)dt=(12+2t)dt=(1

5、2t+t2)斤85,当x=5时的纯利为L(5)L(t)dt-C0-85-10-75.解法二二总收入R(5)=J0R(t)dt=(252t)dt=(25t12)5=100总成本C(5)=CC(t)dt+C0=(134t)dt+10=(13t2t2)5+10=25j.纯利L(5)=R(5)C(5)=10025=75,毛利L(5)C0=7510=85.由边际函数求最优问题例5(E05)某企业生产X吨产品时的边际成本为一.1C(x)=x+30(兀/吨).50且固定成本为900元，试求产量为多少时平均成本最低？解首先求出成本函数.C(x)=xC(t)dtC0=x(t30)dt900=x230x90050

6、100得平均成本函数为工、C(x)1900C(x):二x30x100x*C(x)=1900100x2令C=0=x1=300(x2=300舍去).因此，C(x)仅有一个驻点x1=300.再由实际问题本身可知C(x)有最小值.故当产量为300吨时，平均成本最低.例6(E06)假设某产品的边际收入函数为R(x)=9-x(万元/万台),边际成本函数为C(x)=4+x/4(万元/万台)，其中产量x以万台为单位.(1)试求当产量由4万台增加到5万台时利润的变化量；(2)当产量为多少时利润最大？(3)已知固定成本为1万元，求总成本函数和利润函数.解(1)首先求出边际利润x5L(x)uR(x)-C(x)=(9

7、-x)(4)=5-x44再由增量公式得5555L=L(5)L(4)=fL(t)dt=(5t)dt=(万元)48故在4万台基础上再生产1万台，利润不但未增加，反而减少.(2)令L(x)=0,可解得x=4(万台)即产量为4万台时利润最大，由此结果也可得知问题(1)中利润减少的原因.(3)总成本函数t12C(x)V.XC(t)dtC0=X(4)dt1=x24x148禾润函数x-x552L(x)=0L(t)dt-C0=o(5-t)dt-1=5x-x-1.48在其它经济问题中的应用广告策略例7(E07)某出口公司每月销售额是1000000美元，平均利润是销售额的10%.根据公司以往的经验，广告宣传期间月

8、销售额的变化率近似地服从增长曲线1000000e02t(t以月为单位)公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为130000美元的广告活动.按惯例，对于超过100000美元的广告活动，如果新增销售额产生的利润超过广告投资的10%,则决定做广告.试问该公司按惯例是否应该做此广告.解由公式知，12个月后的总销售额是当t=12时的定积分，即总销售额=1000000e0.02tdt=1000000e02=5000000qe0.2410.02定13560000(美元)公司的利润是销售额的10%,所以新增销售额产生的利润是0.10义(13560000-12000000)=156000(美元)156000美

9、元利润是由于花费130000美元的广告费而取得的，因此广告所产生的实际利润是156000-130000=26000(美元)这表明赢利大于广告成本的10%,公司应该做此广告.例8(E08)已知需求函数D(Q)=(Q5)2和消费函数S(Q)=Q2+Q+3,(1) 求平衡点；(2) 求平衡点处的消费者剩余；(3) 求平衡点处的生产者剩余。解(1)为了求平衡点，令D(Q)=S(Q),并求解如下方程(Q-5)2-Q2Q3,解之得Q=2,即Q*=2,把Q=2代入到D(Q),则P*=D(2)=(25)2=9,因此，平衡点是(2,9)。(2)平衡点处的消费者剩余是Q一223(Q-5)30D(Q)dQPQ=0(

10、Q5)2dQ29244|0一18=定14.67.3(4) 平衡点处的生产者剩余是Q223Q)|o2Q-2QPQ-S(Q)dQ=2.9-(Q2Q3)dQ=18-(003223：7.33.例9设需求函数为D(Q)=243Q,供给函数为S(Q)=2Q+9,求消费者剩余和生产者剩余.，一_._-一*解首先求出均衡价格与供需量.由243Q=2Q+9,得Q=3,P=15.于是CS=(24-3Q)dQ-153=(24Q-%2)：-45=空，22PS=45!(2Q+9)dQ=45(Q2+9Q)0=9.例10(E09)现对某企业给予一笔投资A,经测算，该企业在T年中可以按每年a元的均匀收入率获得收入，若年利润为

11、r,试求：(1)该投资的纯收入贴现值；(2)收回该笔投资的时间为多少？解(1)求投资纯收入的贴现值：因收入率为a,年利润为r,故投资后的T年中获总收入的现值为T-rtarT、y=0aedt=(1-e),r从而投资所获得的纯收入的贴现值为_a_rTR=y-A=(1-e)-A.r(2)求收回投资的时间：收回投资，即为总收入的现值等于投资，a(1一e*T)=A:T=11na-.rra-Ar1a即收回投资的时间为T=lna.ra-Ar例如，若对某企业投资A=800（万元），年利率为5%,设在20年中的均匀收入率为a=200（万元/年），则有投资回收期为1200T=ln-=20ln1.25%4.46（年

12、）.0.05200-8000.05由此可知，该投资在20年中可得纯利润为1728.2万元，投资回收期约为4.46年.例11（E10）有一个大型投资项目，投资成本为A=10000（万元），投资年利率为5%,每年的均匀收入率为a=2000（万元）,求该投资为无限期时的纯收入的贴现值（或称为投资的资本价值）.解由已知条件收入率为a=2000（万元），年利率r=5%,故无限期的投资的总收入的贴现值为V=产aedt=fc2000eJ.05tdt。典2000产？=/2）喘11.05bl-1-一=2000m=40000（万兀）.0.05从而投资为无限期时的纯收入贴现值为R=y-A=4000010000=30000（万元）=3亿元即投资为无限期时的纯收入的贴现值为3亿元.例12