多尺度方法在力学中的应用

1、多尺度方法在力学中的应用作者杨陶令张鹏指导老师苏先博1 .背景概述多尺度科学是一门研究各种不同长度或者时间尺度相互耦合现象的一门科学。多尺度科学的研究领域十分宽广，涵盖的学科之多难以一一罗列。在诸如流体动力学、复合材料力学、生物力学、环境科学、化学、地质学、气象学和高能物理之类的各门科学中，多尺度科学及其相应的方法发挥着相当重要的作用。正如同随机现象和非线性科学受到了广泛的重视一样，多尺度科学因其处于当代科学的许多极富挑战性问题的核心地位，未来的发展前途不可限量。在材料科学领域中，材料的动态特性就是多尺度的问题。金属的塑性变形问题是从位错流动着手研究的，但是位错理论本身并不能预测塑性流动率和屈

2、服强度一一位错与晶界、点缺陷以及原子振动之间的相互作用才是导致诸如应变强化和材料强度特性动态变化等现象的主导因素。所以将固体的微观结构与原子层次的组成成分相结合来预测固体材料的宏观特性，就是材料科学的宏伟理想，并可期望达到人工设计材料的终极目标。在气象学领域中，在大气环流模拟中计算尺度的典型数量级为100km，但是局部降水量、水汽含量以及某些风暴系统的数量级则要小得多，因而必须在较小尺度层次上进行模拟，这也是典型的多尺度问题，应该用多尺度方法来处理。必须说明的是，正是因为多尺度科学广泛的应用背景，多尺度方法作为一种研究的手段和方法，在各种截然不同的研究领域的应用过程中，往往与该研究领域的具体背

3、景相结合，具有一定的特殊性。从算法的角度来说，与线性方程组的解法等常规算法不同的是，目前多尺度方法本身没有固定的算法格式，它所体现的更多的是一种研究的需求和应用的思想，在程序上的实现必须结合具体的研究模型，这将在下文中得到充分的体现。2 .多尺度的力学分析方法在多尺度的分析方法中已经发展了若干力学分析的方法，目前比较典型算法有：宏观-细观平均化计算方法、材料强度的统计计算方法等。下面将详细介绍这两种方法。3 .1宏观-细观平均化计算方法典型的宏观-细观平均化算法是：利用材料的细观周期性的胞元模型和强调宏观与细观之间相连接的广义自洽模型相结合所进行的计算。首先讨论胞元模型。胞元是材料的一个基本结

4、构，它嵌含材料的细观几何和相结构的要素。就复合材料来说，胞元应嵌含颗粒形状、颗粒百分比、颗粒分布几何、基本结构、界面状况等要素。自洽方法是考虑宏观和细观交互作用的研究方法。广义自洽方法则是将平均化的小尺度的胞元与大尺度的宏观等效介质进行自洽连接。把宏观-细观平均化计算方法在多尺度思想上作一定的推广，即并不要求达到细观尺度，而是相对于宏观大尺度来说，胞元尺寸构成相对的小尺度。一个典型的例子就是复合材料等效模量计算中常用的复合圆柱模型。下面就以复合圆柱模型（图1）为例，给出一个多尺度计算的具体算例。图1.复合圆柱模型（坐标图）我们的问题是计算横向剪切模量匕3。在图2中我们为了视觉上的清晰起见，夸大

5、了胞元的尺寸。实际上，我们只取出宏观等效均匀介质中周期性分布的一个微小胞元，虽然胞元本身并没有达到细观尺度，但是可以肯定的是，胞元的尺寸与周围的宏观等效均匀介质相比起来，在尺度上已经相差很大的数量级。而在计算的过程中，我们将分别考虑较小尺度的胞元内的物理量和胞元周围较大尺度的等效均匀介质中的物理量，然后再通过广义自洽方法将平均化的小尺度的胞元与大尺度的宏观等效均匀介质进行自洽连接。图2.复合圆柱模型(横截面图)在无限远场的剪切变形条件下，根据力学知识，我们可以计算出在大尺度的宏观等效均匀介质中，位移场是：b2rbb3Ure=('1)a3C3eos24%brrb2rbb3u：e=-(&#

6、39;-1)-a3C3sin24523brr在平均化的小尺度的胞元中，基体和纤维内的位移场分别是:其中Urm4%bURm3r('m-3)a2b3r.bb3一一一d2，("m1)C33b2cos21brr3rr,(m3)a2d2-(bb/、bb,m-1)C23b2S12nrrbUrf-7!('f4fu4="-('f4日f3一rr一-3)a1dcos2ibb3-、rr3)aid1sin2ub3b=3-4、23m=3-4-f=3-4、连接小尺度的胞元和大尺度的宏观等效均匀介质的条件在不同的问题中可能不尽相同，在我们以上考虑的这个问题中，这一条件就是连续性条

7、件，即二,Ur,切在界面r=a,b上连续。这样就得到了一系列方程，另外再补充其他一些方程，例如应用能量原理得到的方程，可以想见，以上问题就归结为解一个非线性方程组，而我们所要求的只是其中的一个未知量。以上这个具体问题的求解比较特殊，消去不相关的未知元ai、a2等，只留下匕3,我们得到一个二次方程:“告2B(告C=0mm其中A,B,C是材料常数的函数，可以由给定的具体材料来决定，其形式不是本文所要讨论的重点，故不再赘述。通过复合圆柱模型，我们可以总结出宏观-细观平均化算法的流程图，如图3所示。图3.宏观一细观平均化算法的流程图2.2材料强度的统计计算方法在材料强度的统计计算方法中，应用比较成熟的

8、是有关带有强相互作用共线裂纹的脆性材料强度的统计计算。这个算法与宏观-细观平均化算法有所不同，宏观-细观平均化算法连接了宏观尺度和细观尺度，换句话说，我们可以很明确地看到在尺度上的大幅度的跳跃。而带有强相互作用共线裂纹的脆性材料强度的统计计算这一算法，它注重的则是裂纹或者间距在尺度上小幅度的涨落，所以我们用统计理论来处理这种涨落这个算法的核心思想是：用微裂纹长度和间距的统计分布来描述它们在尺度上的涨落，进而来确定材料的统计强度。下面将通过一个具体的脆性材料强度统计计算的例子来介绍这个算法。含有共线裂纹的无限大平板的破坏几率的统计分析算例：问题描述：无限大平板，包含N个共线裂纹，无穷远处作用有均

9、匀拉应力a：半裂纹长c：裂纹间距a和c都是统计变量见图4(a),它们的统计分布用函数f(a)、p(c)来表示，都是正态分布，c-,c+,a-,atMc和a的下届和上届。求解应力强度因子非常繁琐，为简化问题，我们主要考虑相邻的两个微裂纹之间的强相互作用，这两个相邻的微裂纹的长度用a'以及a'表示，其它裂纹用周期性分布的裂纹代替(裂纹长度及间距分别是2%以及加，如图4(b)所示。图4(a)裂纹长度不同，间距不同(b)只考虑临近的两裂纹之间的强相互作用，简化成远场裂纹为周期性分布A点的SIF(stressintensifyfactor):/ic-匚1ca'a''

10、;C0KaJnF,la。a。a。a。JF是无量纲函数为分析简便起见，下面具体计算一个特例：N个长度相同的裂纹，间距不同(即a'=a'='a。)则f是Diracdelta函数S(a-a。)当a'=a'=a0时,c的分布函数p(c)是c一个正态分布，c的取值氾围为(c-,c+),平均间距为c0=c=f+cp(c)dc。c考虑到当a'=a'=a0时，Ka是一个c/%单调递减函数，见图5士SH3C图5应力强度因子Ka曲线(N=100,a'=a'='%时)的临界值-h可被给定为二th=/F(2,1,1当，二a0aoa。Kic

11、是基体断裂刚度，对给定的有一个与之对应的临界裂纹间距Ccr;满足F(K,1,1,%)=Kja。ao二%由以上两式可知：1. 如果Sh'应力小于使基体断裂的最小应力，裂纹不会扩展。2. 如果5一，则间距小于Ccr1的相邻裂纹将连通。裂纹连通后，裂纹长度和间距的分布函数p(c)和f(a)将改变R=;P(C)H(C-C1r)1-二.1-2qi.p(2a-4an)1fi(a)=“a-a0)+"”H(2a-4ag-cJ-H(2a-4a0-&)1-：1-：上式中：口=广p(c)dc代表连通概率cH代表Heavisidestep方程f1(a)的第一部分代表那些没有连通白裂纹，它们的

12、长度仍然是2a0第二部分代表连通的裂纹部分第一次扩展后的微裂纹长度及间距的期望值分别是2a0每dr-c+2a1=22af1(a)dac=1cp1(c)dca0ccr这是一个循环的过程第一次扩展后的微裂纹右端点SIF为Kright高Fi£,史,1尹1aa1a1j如果Kright>Kic,该裂纹将和临近的期望长度为2&1的裂纹连通。与2a1相关联，我们又可以找到一个临界裂纹间距，用ccr2表示，满足22K|C=N病F匡亘,增1a1a1a1上上式表明，如果裂纹间距c在(cj,ccr2)范围内，这个长度为2硼的裂纹将和临近的期望长度为2字的裂纹连通，这一扩展过程的概率为cc2d

13、Pi(c)dc当这一步骤重复n次后裂纹长度变为n2an=4a02(n-1)aic1xCk(c1)k2.第k次扩展后的裂纹间距期望值为Ckr_icpi(c)dcc_ck=yk=2,3,.1rPi(c)dcccr其中k代表第k次扩展的临界裂纹长度，由下式给出kkKic=仃宜居F%，七1巴k=2,3,aaiaiai,裂纹间的总连接次数M可用下式求得i,，二2.aM二一KIC/；-aM冗对于长度为2ai的裂纹，如果M=i,那么它的破坏概率为i;否则等Mcn于成功链接概率Pf9)：”.；Pi(c)dcn=20r进而该裂纹的存活概率为Ps(ci)=i-Pf(q)根据WLT,我们又可得到存活概率FS(c)-

14、力-Pf(c)：'NPdc：expt-NPf(c)p(c)dc)累积存活概率为FSurv；ccr=expNcPf(c)p(c)dc,'最终，我们可以得到对于含有N个微裂纹的脆性材料的破坏概率为(TJ时）cC%=1-expJNPf(c)p(c)dc)利用直接数值模拟进行校验nomorlizedstrength图6统计预测与直接数值模拟的对比（其中Ng意义为直接数值模拟中，在同样的s和N下，生成Ng个不同裂纹分布状态进行计算，显然Ng越大越精确）另外，Weibull提出用如下带三个参数（m,（Tu,cr0）的分布函数描述脆性材料的强度二-一二-mW（。）=1-exp（-（u）二0W

15、（T）是应力为（T时的破坏概率（横轴为Kic/后），（Tu表明累积破坏概率开始增长的位置，（T0标示了破坏概率曲线的过渡区的尺度，无量纲的参数m（称为Weibull模量）描述了脆性材料中的裂纹分布特性。上式可化为1Inln(-)=mln(。-cu)-mln(c0)1-W(二)即上式在一个lnln-ln的Weibull图中为一条斜率为m的直线如果前面分析的累积破坏概率函数可以用Weibull分布近似，那么它应该在lnln-ln的Weibull图中呈直线。我们可以把数据在Weibull图中标示出测定Weibull模量m,也可以估计m,6u,60这三个参数与s和N之间的关联。这就是采用统计方法对材料强度进行多尺度分析的例子，例子中推算出了材料的破坏概率，并利用直接数值模拟进行校验，最后用分布进行拟和。以上详细介绍的是宏观-细观平均化计算、材料强度的统计计算这两种力学上的多尺度分析方法。最后还需要强调的是，正如我们前文所说，多尺度方法是迎合研究过程中的具体需要而产生的一种计算思想，它本身没有固定的计算格式，不论是在力学方面，还是在其他领域，多尺度方法的应用都必须结合其具体的研究模型来展开。参考文献1. “材料的多尺度