2022年高考数学复习新题速递之导数（2021年9月）

1、2022年高考数学复习新题速递之导数(2021年9月)一.选择题(共io小题)I . ( 2021春乐山期中)曲线y = /(x)在点(X。，%)处切线为y = 2x + l ,则lim /(/)-/(%-2 等于()aXA. -4B. -2C. 4D. 22. (2021春乐山期中)已知函数/(x)导函数为广(x),且满足关系式f(x) = /nx+Nf (1)+/,则/' (1)的值等于( )e2g2A -2 - eB 2C D. -c 1223. (2021春乐山期中)已知函数y = /(x),其导函数y = /，(x)的图像如图所示，则下列对 函数y = /(x)表述不正确的是

2、()yA.在x = 0处取极小值B.在x = 2处取极小值C.在(0,2)上为减函数D.在(2,4)上为增函数4. (2021春古城区校级期中)已知定义在R上的函数/(x), /'(X)是其导函数，且满足/'a)-/(x)>0, f (1) =e,则不等式x)>e* 的解集为( )A. (-oo,l)B. (l,4-oo)C. (-00,e)D. (e，田)5. (2021春大竹县校级期中)已知函数/()=(/以+ 1-公2)(/-2,“一以2),若存在实数。使得f(x)<0恒成立，则实数，的取值范围是()1 1A. (1 -Z/j2) > +oo)B.

3、 (-00 , (1 -/«2)C. (1 /n2),l)D. (-1,-(1 /n2)6. (2021春大竹县校级期中)函数/(x)在定义域(0,+oo)内恒满足f(x)才(x)<3f(x), 其中/'(x)为/(x)的导函数，贝4()A.B, 2<Z(3)<316 /(4) 6416 f(4) 427 /(3) 3,64 /(4) 47. （2021春岑溪市期中）曲线y = xe-在点（1,1）处的切线方程为（ ）A. y = 2x 1B. y = 2x +1C. y xD. y = x-28. （2019春思明区校级期中）设曲线/（x） = l + c

4、osx在点（工J（马）处的切线与直线 44x-欧+ 1=0平行，则实数a等于（）A V2A.29.曲线y = gxB. -C. &D. -y/223-2在点（1,-3处切线的倾斜角为（）A. 1B. -C. D.-44410. （2021春电白区期中）一辆汽车按规律$ = 4r+1做直线运动，若汽车在，=1时的瞬时速度为4,贝Ua = （）A. -B. -C. 2D. 323二.多选题（共3小题）11. （2021春顺德区校级期中）已知）=也，下列说法正确的是（）XA. 7（x）在x = l处的切线方程为y = x-B.单调递增区间为（to,e）C. f（x）的极大值为1 eD. /（

5、x）的极小值点为x = e12. （2021春电白区期中）已知函数/（）=0?+以2+5,其导函数y = /'（x）的图象经过点（1,0）, （2,0）,如图所示，则下列说法中正确的是（）B. /(x)在(-00,1)上单调递增C.当x = 2时，函数/(x)取得极小值D.当x = l时，函数f(x)取得极大值13. (2021春徐州期中)已知定义在R上的函数f(x),其导函数r(x)的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是()A. f (b) >f (a) >f (c)B.函数/(x)在x = c,处取得极小值，在x = e处取得极大值C.函数/(x)在x = c处取得极大

6、值，在x = e处取得极小值D.函数f(x)的最小值为了 (d)三.填空题(共4小题)14. (2021春安徽期中)已知实数a与b是函数f(x) = x-L + /优的两个极值点，且awe, xe2,则f (b) -f (a)的最小值为.15. (2021春乐山期中)若曲线/(x) = -e* + 2的一条切线与直线/:x-ey + 5 = 0互相垂直,则该切线方程为.16. (2021春宜兴市校级期中)已知函数/(x) = /ar + V + x-3的极小值大于零，则实数k的X取值范围是7，其中e是自然对数的底数.若17. (2021春邯郸期中)已知函数f(x) = Y-4x + 2/-彳

7、f(2a2) + f(-a,0,则实数a的取值范围为四.解答题(共5小题)18. (2021 思明区校级模拟)已知函数/(x) = x/nx-av , a&R .(1)若/(x) + ±.0恒成立，求实数a的取值范围；X(2)当。=一1 时，证明：/(x)>4x + -519. (2021 鸡冠区校级三模)已知函数/。)=加 +。(12-幻+ 2 .(1)当a = T时，求/(幻函数的单调区间；(2)当0时，若/(x)的极大值点为八 ,求证：f(xx)-2ln2 + .20. (2021南明区校级模拟)已知函数/(x) = ld-Lox2(aeR)在0, 1上的最小值为

8、.326(1)求的值；(2)讨论函数g(x) = /(x)-2x+bSeK)的零点个数.7V221. (2021 孟津县校级模拟)定义在(0,+oo)上的关于x的函数f(x) = (x-l)e、-.(1)若a = e ,讨论f(x)的单调性；(2) /(X), 3在(0, 2上恒成立，求”的取值范围.22. (2021孟津县校级模拟)函数/(x) = 2/(x + 2) + 日一+ x 2。一2).x + 2(1)讨论/*)的极值点的个数；(2)设g(x) = e"(x),若g(x)2恒成立，求。的取值范围.e2022年高考数学复习新题速递之导数（2021年9月）参考答案与试题解析选

9、择题（共10小题）1. . （ 2021春乐山期中）曲线y = /（x）在点（看 , %）处切线为y = 2x + l ,则 lim /（%）-/（/2«）等于（）AXA. -4B. -2C. 4D. 2【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】转化思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算【分析】由题意可得/'（x0） = 2,再由导数的极限定义，可得所求值.【解答】解：y = /（x）在点（. , %逸切线为y = 2x + l,可得了'（%） = 2,则 lim /（/）-玉-2闻=2Hm /（%）-/（%-2® = 2/,（%） = 4.

10、 aX732aX故选：C.【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及导数的极限定义，考查转化思想和运算 能力，属于基础题.2. （2021春乐山期中）已知函数/（x）导函数为J"（x）,且满足关系式/（x） = M+2j（1）+/,则尸（D的值等于（）/g2A. -2 cB 2C D. -c122【答案】D【考点】导数的运算【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算【分析】利用基本初等函数的求导公式求出尸（x），然后令x = l,求解/（1）即可.【解答】解：因为/。）=加+ 2口，（1） +ex,则/>'。）=+ 2/（1） + /, X所以 f (1)

11、 =1 + 2/' (1) +e,则/(1) =-e-l.故选：D.【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了基本初等函数的求导公式的运用，考查了化简 运算能力，属于基础题.3. (2021春乐山期中)已知函数y = /(x),其导函数y = _f(x)的图像如图所示，则下列对 函数y = /(X)表述不正确的是()A.在x=0处取极小值B.在x = 2处取极小值C.在(0,2)上为减函数D.在(2,4)上为增函数【答案】A【考点】利用导数研究函数的极值【专题】数形结合；数形结合法；导数的概念及应用；逻辑推理【分析】根据导函数图像，利用导数与函数单调性和极值的关系，即可求得答案.【解答】

12、解：由图像可知，当x<0, 2Vx<4时，f'(x)>0,函数x)单调递增，当0<x<2, x>4时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减，所以，当x = 0, x = 4时，/(x)取极大值，当x = 2时，/(x)取极小值，所以A不正确，88正确，故选：A.【点评】本题考查导致的应用，考查导数与单调性和极值的关系，属于基础题.4. (2021春古城区校级期中)己知定义在/?上的函数/*),广(x)是其导函数，且满足f (1) =e,则不等式/(x)>e* 的解集为( )A. (-oo,l)B. (1,-w)C. (-00,e)

13、D.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；构造法；导数的综合应用；数学运算【分析】令g(x) = 4D,依题意可得g'(x)>0, g(x)为R上的增函数，又/ (1) =e, exf(x)>e'o/电>半，即g(x)>g (1),从而可得答案.ex e【解答】解：令g(x) = /, exv/Xx)-/(x)>0,.g，(x) Jxfx)>0,ex.g(x)为R上的增函数，又/ (1) =e,即 g(x)>g( 1).一、, fx) , /(I) f(x) > ex <=> 娱/>1 =中

14、不等式f(x)> e'的解集为(l,+oo),故选：B.【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，考查等价转化思想，考查了逻辑推理能力 与数学运算能力，属于中档题.5. (2021春大竹县校级期中)已知函数/。) = (/心+1-奴2)(/口，一"2),若存在实数。使得了(x)<0恒成立，则实数，"的取值范围是()A. (；(1一/2), +oo)B. (-co, ；(1-历2)C. (1 /n2), 1)D. (-1,-(1 /zi2)【答案】B【考点】利用导数研究函数的最值【专题】函数思想：转化法：导数的综合应用；逻辑推理【分析】将问题转化为存在实

15、数”使得加+1<52</-2m恒成立，即可求解.【解答】解：要存在实数。使得/(x)<0恒成立，山+ 1-如2,一加一正一负恒成立,检验当xw(02)时，lnx+<0, e*H>0, e"2n> >/nx + l , e所以存在实数使得/依+1 < ar2 V恒成立，先考虑存在实数a使得勿r +1 v ar2恒成立，Inx +1 < ax2,<a，lnx + 二口 /、 /nr + 1，/ .记 g(x) = -丁-, g'(x) =rx 2x(Jnx +1)2lfvc 1所以xw(0,e2), gx) >0

16、, g(x)单调递增, xe(e 2 , +oo), g<x)vO, g(x)单调递减，所以 g(x)g = g(”)= (所以a.£2x-2ni再考虑存在实数。使得依2/为恒成立，即4<一，X只需刍<二，工<2e3”T恒成立，设“x) =工，x>0,2 x exexf(x)=VA , xg(0,2), eAzr(x)>0, f(x)单调递增，xg(2,+oo) , tr(x) < 0, «x)单调递减，所以=4，-<2e-2m-',解得xe(-oo，-(l-/n2), e e2故选：B.【点评】本题考查导数的综合应用

17、，解题中需要理清思路，属于中档题.6. (2021春大竹县校级期中)函数在定义域(0,+oo)内恒满足/(x)'(幻v3/(x),B.D.9 < / < 316 7(4) 4，3<14 /(4)其中r(x)为/(%)的导函数，则( )a.16 /(4) 64c区出<3 ,64 /(4) 4【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用；逻辑推理；数学运算；计算题；函数思想；构造法【分析】分别构造函数g(x) = &t xw(0,e), a(x) =华，xg(0,-kx>),利用导数研究XX其单调性，即可求得的取值范围./(4)【

18、解答】解：令g(X)= AW，XG(0,-KO), Xg,“)=的雪上，JCV Vx G (0, +oo) , f(x)< xff(x) < 3/(x)恒成立，/./(x)>0,则 g<x)>0,函数g(x)在xe(0,+oo)上单调递增，,.g (3) vg (4), BP4/ (3) <3f (4),/(4) 4令人(x) = , xe(0,+oo), x(加矿(x)'W(x),x4v Vxg(0,-k») , /(x)<jr(x)<3/(x)恒成立，h'(x) < 0，.函数万在x e (0,小)上单调递减，

19、：.h (3) >h (4),即幽纯，2764/(3) ? 27/(4) 64,综上可得，2幽364 /(4) 4故选：C.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7. (2021春岑溪市期中)曲线y = xeI在点(草)处的切线方程为()A. y = 2x-1 B. y = 2x +1C. y = xD. y = x-2【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算【分析】先求出导数，然后求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程.【解答】解:由已知得y' =

20、ei(x + l),故斜率为无=川八产2,故 y-l = 2(x-l),即 y = 2x-L故选：A .【点评】本题考查导数的几何意义及应用，属于基础题.8. （2019春思明区校级期中）设曲线f（x） = l+cosx在点（工,/（乙）处的切线与直线 44x-ay + l = 0平行，则实数。等于（）A. B. -C.五D.22【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；数学模型法：导数的概念及应用；数学运算【分析】求出/（x）的导函数，求得切线的斜率，利用曲线在点（生,/（工）处的切线与直线 44冗-砂+1=0平行，即可求得值.【解答】解：由曲线/（x） = l+co

21、sx,可得r（x） = -sinx，当了=工时，呜）=-4,.曲线在点（2,为）处的切线与直线x-做+1=0平行， 44-=,贝Ia = -0 a 2故选：D.【点评】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行与斜率的关系，属于基础题.9.曲线y = gx3-2在点（1,-|）处切线的倾斜角为（）A. 1B. -C. D.-444【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；数学运算【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x = l处的导数，再由斜率等于倾斜角的正切值求切线的倾斜角.【解答】解：由丫 =/-2,得y' = r, 3.九=产1，

22、即曲线y = gd2在点（1,-|）处切线的斜率为1,则曲线y = gd-2在点（1,-|）处切线的倾斜角为故选：B.【点评】本题考查导数的几何意义及应用，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题.10. (2021春电白区期中)一辆汽车按规律s = a+i做直线运动，若汽车在，=1时的瞬时 速度为4,则“=()A. -B. -C. 2D. 323【答案】C【考点】变化的快慢与变化率；导数的运算【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；逻辑推理；数学运算【分析】求出s',由题意建立等式，求解。的值即可.【解答】解：因为s = a/ + l,则 s' = 2at >因为汽车

23、在t = 1时的瞬时速度为4,所以2a = 4,解得a = 2.故选：C.【点评】本题考查了导数在物理中的应用，解题的关键是掌握位移的导数即为瞬时速度，考 查了逻辑推理能力，属于基础题.二.多选题(共3小题)11. (2021春顺德区校级期中)已知/*)=如，下列说法正确的是()XA. f(x)在x = l处的切线方程为y = x-lB.单调递增区间为(to,e)C. /(x)的极大值为1 eD. 7(x)的极小值点为x = e【答案】AC【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点 切线方程【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算【分析】对/X

24、x)求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，可判断选项A：利用导数分析函数f(x)的单调性，极值可判断选项B, C, D.【解答解：/")=上空，f (1) =1, f (1) =0,./(x)的图象在点(1,0)处的切线方程为y-0 = / (1) (x-1),即y = l-(x-l) = x-l,故A正确：在(0,e)上，f(x)>0, f(x)单调递增，在(e,+oo)上，f'(x)<0 , /(x)单调递减，x = e是f(x)的极大值点，故B,。错误，/(x)的极大值也是最大值为/ (e) = = 1,故C正确； e e故选：AC

25、.【点评】本题考查导数的综合应用，单调性，最值，切线方程，属于中档题.12. (2021春电白区期中)已知函数/(x) = o?+以?+cx,其导函数y = /'(x)的图象经过点(1,0), (2,0),如图所示，则下列说法中正确的是()B. /(x)在(70,1)上单调递增C.当x = 2时，函数f(x)取得极小值D.当x = l时，函数f(x)取得极大值【答案】BCD【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】根据极值的定义及图形，便能看出函数分别在x=l,和x = 2处取得极值，从而能 判断说法正确的个数.【解答】解

26、：通过图形知道，f(x)在(-oo,l)上单调递增，x = l是函数f(x)的极大值点，x = 2是函数f(x)的极小值点，;.B、C > O 正确.故选：BCD.【点评】本题考查极大值和极小值的概念，以及对函数图象观察的能力，是中档题.13. (2021春徐州期中)已知定义在R上的函数/(x),其导函数_f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是()A. f (b) >f (a) >f (c)B.函数/1(外在=。处取得极小值，在x = e处取得极大值C.函数/(x)在x = c处取得极大值，在x = e处取得极小值D.函数/(x)的最小值为/ (d)【答案】ABD【考

27、点】利用导数研究函数的极值【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】利用/'(X)的图象，确定r(x)的正负，从而得到了(x)的单调性，再确定/'(x) = 0的 根，结合函数极值的定义，分析四个选项即可.【解答】解：由导函数的图象可知,函数/(x)在区间(-8,c) , (e,+8)内，fx) >0 ,则f(x) 单调递增，在区间(c,e)内，r(x)<0,则单调递减，所以/ (c) > f (a),故选项A错误；函数f(x)在x = c处取得极大值，在x = e处取得极小值，故选项5错误，选项C正确：函数/(x)没有最小值，故选项

28、O错误.故选：ABD.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的应用，利用导数研究函数极值的应用，解 题的关键是掌握函数/(X)与/'(幻图象的关系，考查了逻辑推理能力，属于中档题.三.填空题(共4小题)14. (2021春安徽期中)已知实数a与6是函数=+ 的两个极值点，且ase,Xe2,则/ (b) -f (a)的最小值为一e【答案】e【考点】利用导数研究函数的极值【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算【分析】结合二次函数的性质求出b = L , t = -a-,得到/ (b) -f (a) aa=2( + )/na - ci H 9 a w e ,，令 g(x)

29、= 2(xi)lnx xh , e，根据函aax x数的单调性求出函数的最小值即可.【解答】解：/(x) = x - - + tlnx,定义域是(0,+oo),xrt.、 1 t X2 4- /X 4-1y/(x)=i+-=；， X X 厂方程f+戊+ 1=0的两根正根分别是a, b,贝lj ' 4 > ° ,解得：t <2 f 且 a + b = T, ab = l,贝(jb=- , r = -6r, aa则/ (b) -f (a) = 2(a + )lna-a + , aee 9 e2, aa.112- g(x) = 2(x4)lnx - x H , x w

30、e , ,XXr2-l贝|J g'(x) = -z-lnx.x当时，g，(x)>0恒成立，.g(x)在e, 上单调递增，n=g (e)=一，e则/ (b) f (a)的最小值是3 ,e故答案为：e【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题.15. (2021春乐山期中)若曲线/(x) = -e*+ 2的一条切线与直线/:x-ey + 5 = 0互相垂直，则该切线方程为_ex + y-2 = 0_.【答案】ex + y-2 = 0.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；数学运算【分析】求出原函数的导函数，得到函

31、数在切点处的导数，由题意求得切点的坐标，则切线 方程可求.【解答】解：由y = -，+2,得了 = -6，设切点为(%, %)，则y'U1c = -*,由题意，e* = e 得/ = 1 ,切点坐标为(1,2-e),切线方程为y-2 + e = -e(x-l),即ex + y 2 = 0.故答案为：ex+ y -2 = 0.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导 函数，是中档题.16. (2021春宜兴市校级期中)已知函数f(x) = /nx + A + x-3的极小值大于零，则实数k的 X取值范围是_(2,+oo)_.【答案】(2,*8).【

32、考点】利用导数研究函数的极值【专题】分类讨论；方程思想；转化法；导数的综合应用；数学运算bV k 4 c【分析】函数/(x) = /nr + + x-3 , xg(0,+oo) , fx) -:, x2 +x-k = 0 » XX= 1 + 43对于及其女分类讨论，即可得出函数/(%)的单调性极值，根据函数/。)的极小 值大于零及其根与系数的关系即可得出实数2的取值范围.【解答】解：函数/(x) = /nr +二+ %-3 , xg(0,4-oo),、1 k . X1 +x-kf(x) = 7 + 1=X JCX令犬+工一女二。， = 1 + 43令,（）,解得匕-2，此时Y+x-A

33、.O, r（x）.O,函数f（x）在8（0,转）上的单调递增， 4函数f（x）无极值.-1<Z,0 时，V+x-A>0, r（x）>0,函数/（x）在 X6（0,+oo）上的单调递增，函数73）无 4极值.人>0时，A>0,设方程f+工一攵=0的两个实数根为 , x2, Xj <x2,解得:-1-V1 + 4A:x.=12<0,>0,因此可得：函数/（X）在（0,公）上单调递减，在（石，+8）上单调递增.二天=工2时函数/3）取得极小值,kx + x>f(x2) = lnx2 d+ x2 3 = lnx2 + 工 + x2 - 3 = ln

34、x)+ 2x, -2 , f (1) =0 »x2x2又/(%)在(0,y)上单调递增，/. x2 > 1 .四口>1,解得>2.2实数&的取值范围是（2,”）.故答案为：（2,+oo）.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了 了推理能力与计算能力，属于难题.其中e是自然对数的底数.若717. (2021春邯郸期中)已知函数f(x) = x3-4x + 2e，- f（2a2） + f（-l-a,O,则实数。的取值范围为- 【答案】号,1.【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数思想；转化法：导数的综合应用；逻辑推

35、理；数学运算【分析】先求得函数x)是R上的奇函数，把不等式转化为/(2/K-f(a + l),利用导数判断函数Ax)的单调性，进一步将不等式转化为2a2,a +1,求解即可.【解答】解：由题意可得，函数/(x) = xJ4x + 2e“-£的定义域为R,2,2又 /(X)= x + 4x H2/ = -(T - 4x + 2/) = 一/(x)，exex故函数是A上的奇函数，又因为 /'(X)= 3/ -4 + 2, + 二度'-4 + 2小2, 、= 3x2。，当且仅当x = 0时取等号，所以f(x)在定义域R上为单调递增函数，则不等式 /(2a2) + /(-1-

36、«) 0 可变形为 /(2a2), -= fa +1),则2a2, a+ 1,解得一L张女1 ,2故实数a的取值范围为-L1.2故答案为：-,1.2【点评】本题考查了函数与不等式的综合应用，函数奇偶性的判断，利用导数研究函数单调 性的应用，解题的关键是将不等式进行等价转化，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化 简运算能力，属于中档题.四.解答题(共5小题)18. (2021思明区校级模拟)已知函数f(x) = x/nx-ar , aeR.2、一(1)若/。) + 3.0恒成立，求实数4的取值范围；X(2)当a = -l时，证明：f(x)>4x +-x【答案】(1) (-OO,历

37、2 + J： (2)证明见解析.【考点】利用导数研究函数的最值【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算099【分析】(1)由/(© + -.0,得区,/收+二恒成立，令(x) = /ir + = ,x>0 ,利用导数求其 XXX最小值，即可得到a的取值范围：« _ 2x(2)当 =一1时，利用导数求出= x +的最小值，g(x) = 4x +，工>0的最大 值，再由x)的最小值大于g(x)的最大值得结论.【解答】解：(1)由/(x) +.0,即x/nr-ox +.0恒成立，得a,以工+ y恒成立. XXX令/2(x) = /nr + 3，x>0

38、, 则由 hx) = -3 =，. 4 =。+ 2),?1 =。，得4 = 2 .XXX XX当xe(0,2)时，/(x)<0, (x)单调递减；当xc(2,+oo)时，/(x)>0,力(外单调递增，函数"X)在x = 2时取到最小值，即而,=(2)=历2 + ；.', % /2 H，2故a的取值范围是(-co,济2 +，；证明：(2)当a = -l时，要证/(x)>4x + ,即要证x + x/nx>4x + '?, XX由/(x) = x + x/内，x>0 ,得/'。) = 1 + /心 + 1 = /"+2，令

39、r(X)=°，则 =，e当 xe(0,1)时，f'(x)<0, f(x)单调递减：e当xed,E)时，/。)>0，f(x)单调递增，e./(X)在X = !处取到极小值，也是最小值，即/(X),而=/(!) =-4. ee e人 /、 a 1 - /" n .1.1 ，/、 (2x - l)(2x +1 ex)令 g(x) = 4x +,x>0 , 则 g (x)=；,xx令 r(x) = 2x +1 -,则 «力=2 - 2e2x = 2(1- e2x),当x>0时，f(x)<0, £(x)在(0,+oo)上单调递

40、减，.*.r(x)</(0) = 0,令 g'(x) = 0,得 x = ；,当 xe(0)时，g'(x)>0, g(x)单调递增；当xe(g,+a>)时，g'M<0, g(x)单调递减，从而可得g(x=g(：) = 4-2e,而 /(x)刖=-5> 4 2e = g。)/,1 /x故当 a = -1 时，/(x) >4x +.x【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查函数与方程思想，考查逻辑思维 能力与推理论证能力，考查运算求解能力，属难题.19. (2021 鸡冠区校级三模)已知函数/(戈)=加+ “，-x) + 2

41、.(1)当a=-l时，求/(x)函数的单调区间；(2)当。>0时，若f(x)的极大值点为入，求证：/(X1)<-2/”2 + g .【答案】(1)函数/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+oo).(2)见证明过程.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】方程思想；转化法；导数的综合应用；不等式的解法及应用；数学运算【分析】(1)当。=一1时，函数/(xM/nx-x?+x + 2 , xe(0,+oo).求导即可得出函数/(x) 的单调区间.(2)当a>0时，fx) =竺士1 .令2ax2 -ax+ =0 , = a2 -8a ,对判

42、别式与a 分x类讨论即可得出函数/(x)的单调性极大值点与极大值，进而证明结论.【解答】解：(1)当a = -l时，函数/*) = /依-/+x + 2 , xg(0,+oo).广=1-2x+1 =3 士1 = ： +,XXX可得函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减.因此函数/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为).(2)证明：当a>0时，fx) = + 2ax-a =幺竺把. xx令 2ar -ar + 1 =0 , = - 8。，由解得0<4,8,则r(x).O,函数/3)在xe(0,E)上单调递增，无极值，不满足 题意，舍去.由>(

43、), a>0,解得a>8,设方程2依2 - ar + l = 0的两个实数根分别为 , x2, x, < x2.则与+毛=,，4 =、一 > 0 .则0 <西< ；v七.2ax =ax.则 /，(#= 2a(x-/)(x-w),X可得函数/(X)在(0,占)上单调递增，在(占，X?)上单调递减，在(刍，+00)上单调递增.可得/(X)的极大值点为“，/(内)=/MX, + (X； % ) + 2 = /IX| - Xy 4-,令 g(x) = bixx + > tz > 8 »，/、 1 a8M=x-2,2、-a(x)q函数g(x)在(

44、o,2)上单调递增,a在(2, 3上单调递减x，、/2、，2423, 21c 1二. £(x) £() = Inx + < In + = -2m2 + .a a2a2822/. f (%) < 2/? 2 + .【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨 论、转化方法，考查了了推理能力与计算能力，属于难题.20. (2021南明区校级模拟)已知函数/(AOulV-latTawR)在0, 1上的最小值为-1.326(1)求4的值；(2)讨论函数g(x) = /(x)-2x+W>wR)的零点个数.710710【答案】(1)

45、 « = 1； (2)当人一，或人>”时，函数g(x)有1个零点；当/? = 一,或6时,63637in函数g(x)有2个零点；当一,<6<吧时，函数g*)有3个零点.63【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的最值 【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】(1)利用导数分4,0, 0<«<1 ,。= 1和a>l四种情况求出函数的最小值，然后 列方程可求出。的值；(2 )由(1) (x) = -x3-x2-2x + fe ,可得 b =V+L2+2x ,构造函数 3232hM = -x3+-x2 +

46、 2x,利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图象可得答案. 32【解答】解：(1)由 f(x)uLr3-；奴2, f'(x) = x1 -ax = x(x-a),当4,0时，/'(x)在0, +oo)上恒大于等于0,所以f(x)在0, 1上单调递增， /UU,=/(O) = O,不合题意；当 0<。<1 时,则 xeO, a时，f'(x)<0, f(x)单调递减：xwa,时,f'(x)>0, f(x)单调递增,所以 f(x)而“ =f(a) =-la3 = -Ifl3,所以a = l,不满足0<a<l;当a = l时，在

47、0, 1 ±, /'(xKO且不恒为0,所以/(x)在0, 1上单调递减,/(X)皿“=/(d适合题意； 3 26当a>l时，在0 , 1 ± , f'(x)<0 ,所以f(x)在0 , 1上单调递减，fMinin = /(I) = a = , 所以"=1，不满足”>1； 3 2 o综上，a = l.(2)由(1) (x) = -x3 -x2 -2x + /?,所以6 =+2x,3232令人(幻=一§/ 4-x2 +2x,则 hx) = -x2 +x + 2 =-(x-2)(x+1),所以、(2) =0, (一1) =

48、0,且当xv1 时，hx)<0；当-1 v x v 2 时,hr(x) > 0 ；当 x > 2 时,hf(x) < 0 ,1 17所以(幻极小值=(-1) = - + -2 = -» (x)极大值= (2) =-x-+-x4 + 4 = y , 如图：7in当或b> 时，函数g(x)有1个零点； 63当b=一：或力=与时，函数身(x)有2个零点；当-N<b<W时，函数g(x)有3个零点. 63【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系、利用导数研究函数的单调性与最值，属中档 题.21. (2021孟津县校级模拟)定义在(0,y)上的关于x的函

49、数/(x) = (x-l)e* -.(1) a = e,讨论/(x)的单调性；(2) f(x1,3在(0, 2上恒成立，求。的取值范围.,e2 .3【答案】(1)在xe(0,l)上，f(x)单调递减;在xw(l,+oo)上,/'(x)单调递增；(2) a.【考点】利用导数研究函数的最值：利用导数研究函数的单调性【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算【分析】(1)求出函数/(x)的导函数/'(X),分别令f'(x)<0和/'(x)>0即可判断函数/(x) 的单调递减区间和递增区间；(2)由(1) f'M = x(ex-a)

50、,分情况讨论4,1、1 <和a.",并分别利用导数研究函数的最值验证是否满足题意，进而得出"的取值范围.【解答】解：(1) f'x) = xex - ax- x(ex - a), a = e 时，fx) - x(ex - e),在xw(0,l)上，/'(x)<0, f(x)单调递减；在xw(l,+o。)上，/'(x)>0, /(x)单调递增.(2)由(1) f'(x) = x(e' - a),若W, 1,在(0, 2±, f'(x)>0, /(x)单调递增，f (2) =e2-2a>3,

51、不合题意；若l<a<e2,在(0,/na)上，/r(x)<0, /(x)</(0) =-1 ；在(Ina, 2±, f'(x)>0, /(x)<f (2) =e2-2a,2 o由题意，e2 - a < e2,2若 a",在(0,2)上，f'(x)<0, /(x)单调递减，则在(0, 2上，/(x)</(0) = -l<3符合题意，综上所述，a.-. 2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、含参数恒成立问题，考查分类讨论的数学思 想，属中档题.22. (2021 孟津县校级模拟)函数/(x) =

52、2/(x + 2) +，一+ x-2(x>2).x + 2(1)讨论/(x)的极值点的个数;(2)设g(x) = e"(x),若g(x)。恒成立，求。的取值范围.e【答案】(1)当即0时，函数f(x)的极值点的个数为0,当>0时，f(x)的极值点的个数为1;(2) 8, +oo).【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；转化法；导数的综合应用；数学运算【分析】(1)求出/(x)的导函数，对。分类讨论，利用导数即可求解极值点的个数；(2 )将 不等式 转化为 a. 5(x + 2)e-'-x - 2(x +

53、2)/n(x + 2) - x2 + 4 恒 成立，设(x) = 5(x + 2)e- 2(x + 2)/(x + 2)-£ + 4 ,利用导数求得6(x)的最大值，从而可得a的取 值范围.【解答】解：(1)f(x) = J + = (x + 2+2(x：2)-a ,x + 2 (x + 2)2*+2)2当4,0时，x>-2, /'(x)>0, f(x)单调递增，函数f(x)无极值点；当 a > 0 时，fx) = ” + 3) _£ = 0 n x = -3 土 J1 + a，而 -3 - dl + a < -2 ,故 x = -3 - +

54、 a (x+2)2不是极值点，当x w (-2,-3 + Jl + a)时,f(x) < 0 ,此时函数单调递减，当xw(-3 + VTii,+8)时，f(x)>0,此时函数单调递增，所以f(x)有唯一的极值点x =-3 + JiTG ,综上可得，当a,0时，函数/(x)的极值点的个数为0；当a>0时，x)的极值点的个数为1.(2)g(x) = exf(x) = ex(2/n(x + 2) 4-i-x-2).恒 成 立x+2eoa.5(x + 2)e1' -2(x + 2)ln(x + 2)-x2 + 4 恒成立，设Mx) = 5(x + 2)"i -2(x

55、 + 2)/n(x+2)-x2+4,有 hx) = -5(x + Y)e ''x -2ln(x + 2)-2(x +1) = (x + l)(5e-1 + 2)-2ln(x + 2),所以 A'(-l) = 0 ,当一2cx<-1 时，-(工 + 1)(5"1 + 2)>0, -2ln(x+2)>0, '(x)>0, (x)单调递增；当x>1 时，一(+ 1)(5"1 + 2)<0, -2/n(x + 2)<0, A,(x)<0, (x)单调递减, 所以当x = -l时，/l(x)取得最大值，由

56、题意a./(-l) = 8,所以。的取值范围为8, +00).【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查转化思想与运算求解 能力，属于中档题.考点卡片1 .函数的零点与方程根的关系【函数的零点与方程根的关系】函数的零点表示的是函数与X轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一 样的.但是，他们的解法其实质是一样的.【解法】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不 多讲了.我们重点来探讨一下函数零点的求法(配方法).例题：求函数f (x) =?+5? - 27? - 101X - 70的零点.解：,:f (x) =x4+5 - 27? - 101x - 70=(x - 5)*(x+7)e(x+2)e(x+l)，函数/ (x) =x4+5x3 - 27X2 - 101X - 70 的零点是：5、- 7、- 2、- 1.通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的 乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0 时的解即可.【考查趋势】考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可.2 .变化的快慢与变化率【知识点的知识】1、平