2022年高考数学强基计划讲义 专题16：解析几何二

1、2022年高考数学尖子生强基计划专题16：解析几何二一、真题特点分析：1 .【2020复旦大学1】设抛物线V=2px,过焦点F作直线，交抛物线于A, B两点,满足通=3而.过点A作抛物线准线的垂线，垂足记 为点A ,准线交X轴于点C,若Sc% =126，则=2.12020武汉大学10】 已知直线4 ：y= 动点p在椭圆二+尤«2 b2= l(a>b>0)上,作PM /|交，2于点M ,作PN/2交4于点N .若1PM2+忸叫2为定值，则（）A. ab = 2B. ab = 3 C. a = 2b D. a = 3b 3.【2021复旦大学10】已知片，鸟分别是椭圆的左右焦

2、点，8为椭圆上一点，延长到点A,满足明=8A. AM的中点为”，则下列两个结论是否正确：结论1： AFLBH ;结论2: 8为椭圆的切线.二、知识要点拓展一.椭圆中的经典结论：22（A）点4（如九）在椭圆上餐+方=1上，则过兄的椭圆的切线方程是型+纯=1 a2 b2 '22（B）点月（知）在椭圆上=+斗=1外，则过外作椭圆的两条切线切点为 b小舄，则切点弦初的直线方程是等+券=1.a" b22（C）椭圆0 +与=1（。>%>0）的左右焦点分别为6、名，点P为椭圆上一点,NF/F,=a ,则椭圆的焦点三角形的面积为-b2 tan-.（A）双曲线中的经典结论：221点

3、好（天，马）在双曲线上-二=1 （a>0, b>0）上，则过外的双曲线的切 a b线方程是工出=a2 b1 '.222点兄（如乳）在双曲线上2a=1（a>0, b>0）外，则过兄作双曲线的两条 切线切点为耳、E,则切点弦片我的直线方程是誓-岑=1.cT b, v2 v23.双曲线二一七=1 （a>0,5K）的左右焦点分别为不 居，点尸为双曲线上 a o一点，ZFPF2=a,则双曲线的焦点三角形的面积为S姐pf, =tan§.三.抛物线：1 .过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的一条弦A6 ,记准线与x轴交点为E, AE、BE分别交y轴于

4、P、。两点，则：线段跖平分角NPEQ o KAE + K骊 = 0*A2 .端点坐标积恒定：过抛物线y2=2px(p>0)的焦点/的直线/,交抛物线于A(x，yJ、B(x2,y2),则:(1) Xx2 = , yty2 = -P2 41J-2网十国13 .共线：过抛物线y? = 2px(p>0)的焦点F的直线/,交抛物线于4 8两点, 如图示，有下列三个结论：(1)(2)(3)(4)A、。、4三点共线.B、。、A三点共线.设直线AO与抛物线的准线的交点为修，则8片平行于X轴.设直线30与抛物线的准线的交点为A一则A4平行于x轴.【知识拓展】一.圆锥曲线和直线的参数方程1.圆/+2=

5、产的参数方程是.222.椭咋+ *的参数方程是x="°se，其中。是参数。 y = rsin， x = acos0,4上八日以业心- 、a八其中。是参数，称为离心角。 y = bsmO3 .双曲线¥ = 1的参数方程是,x = asec0.,二其中。是参数。 y =。tan 4 .抛物线V =2p元的参数方程是* = 2"2,其中是参数。 y = 2pt5 .过定点(事,%),倾斜角为a的直线参数方程为x =/十，cosa, 为关 y = % +，sina数。这里参数，的几何意义是：|f |表示直线上的点(x,y)和定点(%,%)的距离；当点(x,y)在

6、点(飞,打)的上方时，f0,当点(元,y)在点(七,50)的下方时，f <0；当点（x, y）与点（毛,y0）重合时，=0，反之亦然。二.圆锥曲线的统一极坐标方程以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极 点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方 程为夕=叩,其中e为离心率，p是焦点到相应准线的距离。1-CC0S。三.焦半径公式设尸为圆锥曲线上任一点，/、d分别为点P到焦点及相应准线的距离，则1.对于椭圆, +方= l（a>b>0）, £（-0）、工（孰0）是它的两个焦点.设 P（x,y）是椭圆上的任一点，则有）

7、=|尸耳|= a + ex, r2 = |P7s| a ex.>解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横 坐标（对+鸟=1是纵坐标）的一次函数.a b» （扩充）焦半径公式的另= l(a>b>0)为序弓=仍用=一-_是以耳为始边，耳p为终边的角，不是耳尸的倾斜角）. a-ccos0222.对于双曲线二=1 （心0, b>0） , £（-。,0）、工9,0）是它的两个焦 a b点.设P（x,y）是双曲线上的任一点，若点P在双曲线的右支上，则有 （=仍用= ex+a , 5= PF2=ex-a ；若点尸在双曲线的左支上，则有

8、5二|助| = -ex - a, 弓=| 尸勾=-ex+a .22» （扩充）：焦半径公式的另一种形式（三-马=1 （心0, bX）为 a b'A2右=PA =（。是以Kx为始边，AP为终边的角，不是工尸的倾斜角）.a-ccos0A-注意：当>0时，点P在右支上，当V0时，点P在左a-ccosOa - ccosO支上.3.对于抛物线V = 2px (p>0) , F(§0)是它的焦点，设P(x,y)是抛物线上的任一点，则 r = |PF| = x + K.设NxEP = 6,贝！|r = U. 21-cos 0四.共扼直径二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的

9、直径.若两直径中的每一直径平分与另一直径平行的弦，则称此两直径为共物直径. =-41 .设椭圆的方程为二+二= l(a>b>0),互为共匏直径的斜率关系为 a" b"77. b2kk =r ；a222 .设双曲线的方程为-4=1 (a>0, b>0),互为共朝直径的斜率关系 a2 b2为 kk' = 土 ；Cl3 .设抛物线的方程为y2 =2px ( p>0 ), 一组斜率为女的平行弦的中点轨迹 为射线y ="(尤>0).K五.过焦点的弦221.设椭圆的方程为上r +工 = l(a>b>0),过£(

10、-c,0)的弦长为2a + e(xt +x,), a b'过K(c,0)的弦长为2a- exx +x2).过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数.> (扩充)：焦点弦长的另一种形式为/=k2：”(。是以后为始边，F/a - C cos” 0为终边的角，不是五的倾斜角).2 .设双曲线的方程为，一1=1 ( a>0, b>0),过£(-c,0)的弦长为 a h'|2a + e（x +七）|,过工（c,0）的弦长为|为一6（% +七）| .» （扩充）：焦点弦长的另一种形式为/=2ab2-222na -c cos 8（。是以F/为始边，F

11、2P为终边的角，不是工尸的倾斜角）.3 .设抛物线的方程为V=2px （ p>0） , F（-,0）,设NxFP。,则焦点弦长六.双曲线的渐近线1.如果曲线上的点无限远离原点时，存在一条直线/,使得P与此直线的距离无限趋向于零，则这条直线称为曲线C的一条渐近线.双曲线-（ = 1的渐221近线方程为二-2=0,即尸±怎.a2 b2- a2.共朝双曲线的方程为5-上？ = ±1 ,共渐近线的双曲线系方程： a bJ / _ J下一尸互为共朝的两条双曲线有以下性质：2>0时得焦点在x轴上的双曲线；/IV0时得焦点在y轴上的双曲线；2=0时即是双曲线的渐近线；两共朝的

12、双曲线的离心率q、e2满足4+义=1; e?它们的四个焦点在同一个圆上.三、典例精讲例1.(复旦)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x上，AABC三个顶点都在抛 物线上，且AA3C的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为 4x+y 20 = 0,则抛物线方程为()(A) / =16x(B) /=8x(C) y2=-l6x(D)y2 = -8x例2.(同济)已知抛物线y2=2px。(1)过焦点的直线斜率为k,交抛物线于A、B,求|A8|；(2)是否存在正方形ABC。，使C在抛物线上，。在抛物线内？若存在，求这 样的女满足的方程。22例3.(清华)双曲线餐一与=1(。0泊0), 0尸2是左、右焦

13、点，P是右支 b-上的任一点，且S*PF、=36a，。(1)求离心率e；(2)若A为双曲线左顶点，。为右支上任一点，且NQAK=/INQKA恒成立？例4.(武大)如图，过抛物线。：产=8尤上一点P(2,4)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物 线交于A、B两点、。(1)求直线A8的斜率；(2)如果A、B两点均在V =8x (y40)上，求 面积的最大值。例5.(北大)已知£，G是平面上两定圆，另有一动圆C与G，G均相切，问圆 心C的轨迹是何种曲线？说明理由。例6.(复旦)已知道平面上的线段/及点P,任取/上的一点Q,线段PQ的最小 值成为点尸到线段/的距离，记作水P, /)。(1)、求

14、点 P(1,D 到线段/： x y 3 = O(3WxW5)的距离 d(P, /)；(2)、设/是长为2的线段，求点的集合。= P| d(P, /)W1所表示的图形 面积；(3)、写出到两条线段/rA距离相等的点的集合O = P|d(P, l)=d(P, /2), 其中l2= CD； A, B, C, D是下列三组中的一组。三、真题训练1 .(复旦)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是()(A) p2 + 2p(cos + V3sin) = 5(B)夕2-6pcos，一40sin8 = 0(C) p2 -pcosO = 1(D) p1 cos20 + 2/?(cos0 + sin0) = 12.(

15、华南理工)已知圆0： / + 丫2 =/，点pg,勿sbwo)是圆0内一点。过点p 的圆0的最短的弦在直线4上，直线的方程为6x-ay = /,那么()。(A) /"2，且与圆0相交(B) /, ±A ,且(与圆0 相切/) ± /2,且/，与圆0(C) /,/2,且与圆0相离相离3.(复旦)已知常数匕,占满足0<4<22/#2 = 1。设G和G分别是以 y = 土匕(x-l) + l和y = 土&(x-I) + l为渐近线且通过原点的双曲线，则G和G的 离心率之比且等于()。(C) 11 + 乂1 + k-,'4.(复旦)设有直线族和

16、椭圆族分别为x = r,y = Htf+双也人为实数，为参数)和 生£+旷2=1 (“是非零实数)，若对于所有的加，直线都与椭圆相交，则a应满足()。(A) tz2(l-Z?2)>l(B) a?。一从)>1(C) a2(i-h2)<(D)a2(l-b2)<l5 .(同济)若圆I? +9 - 4x-4y-10 = 0上至少有三个不同的点到直线/ ： 如+力=0的距离为2a,则直线/的斜率的取值范围是 o226 .(武大)椭圆 + g = l(a>%>0)的半焦距为c,直线y = 2x与椭圆的一个交 点的横坐标恰为c,则该椭圆的离心率是 O7 .(中南

17、财大)如图，已知椭圆C：二+与= l(ab0)的一个焦点到长轴的两 b个端点距离分别为2+百和2-百，直线y = h;(& >0)与A3相交于点。，与椭圆 相交于E、口两点。(1)求此椭圆场程。(2)若加 =6而，求攵的值。(3)求四边形AE8歹面积的最大值。8 .(清华)已知椭圆的两个焦点为6(一 1,0),鸟(1,0),且椭圆与直线y = 相 切。（1）求椭圆的方程（2）过月作两条互相垂直的直线/” 4,与椭圆分别交于RQ及M,N,求四边形 PMQN面积的最大值与最小值。9 .（复旦）已知椭圆在二空+_/=1与抛物线在第一象限内有两个公共 22点4 B,线段AB的中点”在抛物

18、线），=1_（尤+ 1）上，求410 .（同济）设有抛物线=2内（尸0）,点3是抛物线的焦点，点C在正x轴上, 动点4在抛物线上，试问：点C在什么范围内时，NB4c恒是锐角？五、强化训练1、（交大）曲线y2=2px（p>0）与圆（%2）? + 丁2=3交于A、B两点，线段AB的中点 在y = x上，求p。2、（浙大）椭圆f+4（y-a）2=4与抛物线i=2y有公共点，求a的取值范围。3、（浙大）双曲线下一齐= l（a>O,bO）的离心率为逐，A（x，yJ、8（天,月）两点 在双曲线上，且A：。/。（1）若线段AB的垂直平分线经过点Q（4,0）,且线段AB的中点横坐标为（工,），试求司 的值；2（2）双曲线上是否存在这样的点A与B,满足砺_L丽？不存在4,（武大）已知点p。,-1，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴上，点M在直线AB上， 且满足丽第=0, AM=3AB.1（1）当点A在