第2章 测量误差分析及数据处理 v22

1、第第2 2章章 测量误差分析与数据处理测量误差分析与数据处理主要内容主要内容 基本的测量误差理论和测量数据处理基本的测量误差理论和测量数据处理 通过研究测量误差的产生原因、特点，有通过研究测量误差的产生原因、特点，有针对性的进行测量数据处理，降低测量误差，针对性的进行测量数据处理，降低测量误差，提高测量精度。提高测量精度。1. 什么是测量误差？为什么会出现测量误差？什么是测量误差？为什么会出现测量误差？ 测量误差：测量值与被测量真值之间的差异。测量误差：测量值与被测量真值之间的差异。 计量基准、测量仪器、测量方法、测量环境、计量基准、测量仪器、测量方法、测量环境、测量人员等因素。测量人员等因素

2、。实践证明：在任何测量过程中，无论采用什么测量方实践证明：在任何测量过程中，无论采用什么测量方法，使用何种测量仪器，测量结果都会存在误差。法，使用何种测量仪器，测量结果都会存在误差。通过研究测量误差，可以：通过研究测量误差，可以： 正确认识误差的来源和性质，以减小测量误差。正确认识误差的来源和性质，以减小测量误差。 正确处理测量数据，降低测量误差的影响。正确处理测量数据，降低测量误差的影响。 制定合理测量方案、选择合理测量方法和测制定合理测量方案、选择合理测量方法和测量仪器，提高测量结果的精确度。量仪器，提高测量结果的精确度。在仪器设计过程中，合理利用误差理论，分析在仪器设计过程中，合理利用误

3、差理论，分析产生误差的原因，提高仪器的准确性。产生误差的原因，提高仪器的准确性。0Axx1.1.绝对误差：绝对误差：测量值测量值x x与被测量真值与被测量真值A A0 0 ( (或实际值或实际值 A)A)之间的差值之间的差值Axxu 绝对误差是有单位的量，与被测量绝对误差是有单位的量，与被测量x x相同；相同；u 绝对误差是有符号的量，表示偏离真值的方绝对误差是有符号的量，表示偏离真值的方向和程度。向和程度。xAxCCxA被测量的实际值：被测量的实际值：修正值：修正值：与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值。的量值。 测量仪器的修正值可以通过上一级标

4、准的检定给出，测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。CxAU=8+(-0.03)=7.97mV U1=101-100=1V U2=6-5=1V测量的绝对误差与被测量的真值之比的百分数测量的绝对误差与被测量的真值之比的百分数%10000Ax%100%100AAxAxA实际相对误差：实际相对误差：示值相对误差：示值相对误差：%100 xxx2.2.相对误差相对误差x怎么得到？怎么得到？用仪器的测量用仪器的测量值代替实际值值代替实际值绝对误差能说明测量绝对误差能说明测量的准确程度吗？的准确程度吗？相对

5、误差能评价仪器相对误差能评价仪器的准确程度吗？的准确程度吗？不能不能因为仪器仪表的可测量范围不是一个因为仪器仪表的可测量范围不是一个点而是一个量程。点而是一个量程。在量程内被测量可能处于不同的位置，用相对误在量程内被测量可能处于不同的位置，用相对误差计算时分母需取不同数值，使仪器的误差值难差计算时分母需取不同数值，使仪器的误差值难以标注。以标注。%100%100AAxAxA0 0mx|mx |mx A AxAmAmx A mmmxx%100mmmxx 用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值（上限值下限值）之比来表示的相对误差。量程

6、值（上限值下限值）之比来表示的相对误差。仪表各量程内绝对误差的仪表各量程内绝对误差的最大值最大值满度相对误差（引用相满度相对误差（引用相对误差）对误差）应当认为：在一个量程内各处示应当认为：在一个量程内各处示值的最大绝对误差是个常数值的最大绝对误差是个常数m 电工仪表就是按引用误差电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的之值进行分级的, ,是是仪表在额定工作条件下不应超过的最大满度相对误差仪表在额定工作条件下不应超过的最大满度相对误差. . 我国电工仪表共分七级：我国电工仪表共分七级：0.10.1，0.20.2，0.50.5，1.01.0，1.51.5，2.52.5及及5.05.0。如果仪表为。

7、如果仪表为S S级，则说明该仪表的最级，则说明该仪表的最大引用误差不超过大引用误差不超过S%S%mxxSx测量点的最大相对误差测量点的最大相对误差: : 在使用这类仪表测量时，应选择适当的量在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使示值尽可能接近于满度值，指针最好能程，使示值尽可能接近于满度值，指针最好能偏转在不小于满度值偏转在不小于满度值2/32/3以上的区域。以上的区域。用用1.51.5级量程为级量程为0 0100mA100mA电流表测量电流表测量100mA100mA时的最大时的最大相对误差为相对误差为解：用解：用0.50.5级量程为级量程为0 0400mA400mA电流表测电流表测100

8、mA100mA时，最时，最大相对误差为大相对误差为%2%5 . 0100400%1001Sxxxxmmx%5 . 1%5 . 1100100%1002SxxxxmmxVAXX05. 0)(95. 45VXC05.0%1505. 0XXrX%5 . 01005. 0|mmMXXr%01. 195. 405. 0AXrA0.5级级习题习题 2.1习题习题 2.4 用用0.2级级100mA的电流表与的电流表与2.5级级100mA的电流表的电流表串联起来测量电流。前者示值为串联起来测量电流。前者示值为80mA，后者示，后者示值为值为77.8mA。（1）如果把前者作为校准表校验后者，问被校表的）如果把前

9、者作为校准表校验后者，问被校表的绝对误差是多少？应当引入的修正值是多少？测绝对误差是多少？应当引入的修正值是多少？测得值的实际相对误差为多少？得值的实际相对误差为多少？（2）如果认为上述结果是最大误差，则被校表的准）如果认为上述结果是最大误差，则被校表的准确度等级应定为几级？确度等级应定为几级？ （1）2.2mA，2.2mA，2.75% （2） 2.2% ，2.5级级共分七级：共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及及5.0oxiVAV 20lg()xxGA dB AAAx电压增益的测得值为：电压增益的测得值为：电压增益误差为：电压增益误差为：用对数表示为增益测得值的分贝值：

10、用对数表示为增益测得值的分贝值：分贝误差：分贝误差：4.4.分贝误差分贝误差相对误差的对数表示相对误差的对数表示 分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种相对误差，单位为分贝（相对误差，单位为分贝（dBdB）。）。)1lg(20)1lg(20 xAdBAAAxxAAAx取常用于表示增益或声常用于表示增益或声强等传递函数的值强等传递函数的值50002 . 16000iouUUA测量一个放大器，已知测量一个放大器，已知Ui=1.2mV，Uo=6000mV。设。设Ui的误的误差忽略不计，而差忽略不计，而Uo的测量误差的测量误差 u为为3%时，求放大倍数的时，求

11、放大倍数的绝对误差绝对误差 A、相对误差、相对误差 x及分贝误差及分贝误差 dB。电压放大倍数电压放大倍数增益增益dBAGux745000lg20lg20Uo的绝对误差的绝对误差)(1806000%)3(mVUUouo1502 . 1180ioUUA%3%1005000150uuAAdBxdB 26. 0%)31lg(20)1lg(20dBGx 26. 074三、电子测量仪器误差的表示方法三、电子测量仪器误差的表示方法仪器出厂时必须由检仪器出厂时必须由检验部门对其误差指标验部门对其误差指标进行严格检验进行严格检验误差，除了用于表示测量结果的误差，除了用于表示测量结果的准确程度外，也是电子测量仪

12、器准确程度外，也是电子测量仪器重要的质量指标。重要的质量指标。1965年年 无线电测量仪器总技术条件无线电测量仪器总技术条件(草案草案)1975年年 电子测量仪器误差的一般规定电子测量仪器误差的一般规定(暂行暂行) SJ943-751986年年 电子测量仪器误差的一般规定电子测量仪器误差的一般规定 GB6592-861971年年 国际电工委员会国际电工委员会IEC电子测量仪器工作电子测量仪器工作性能表示方法性能表示方法三、电子测量仪器误差的表示方法三、电子测量仪器误差的表示方法电子测量仪器误差的表示方法（电子测量仪器误差的表示方法（GB6592-86)GB6592-86)工作误差：工作误差：

13、在在额定工作条件额定工作条件下测定的仪器误差极限。下测定的仪器误差极限。 正常使用时所可能出现的误差的最大值，实际使用时正常使用时所可能出现的误差的最大值，实际使用时出现的误差可能要远小于此值。出现的误差可能要远小于此值。当仪器的各种影响量和影响特性都处于当仪器的各种影响量和影响特性都处于基准条件基准条件时，仪器所具有的误差。时，仪器所具有的误差。固有误差：固有误差：影响误差：影响误差：是指当一个影响量是指当一个影响量(影响特性影响特性)在其额定使用范围在其额定使用范围内，而其它影响量和影响特性均处于基准条件下内，而其它影响量和影响特性均处于基准条件下所测定的误差。所测定的误差。稳定误差：稳定

14、误差：仪器的标称值在其它影响量和影响特性保持恒定仪器的标称值在其它影响量和影响特性保持恒定的条件下，在规定的时间内所产生的误差极限。的条件下，在规定的时间内所产生的误差极限。与仪器的稳定度有关。与仪器的稳定度有关。工作误差：工作误差：50Hz1MHz，1mv1v量程为量程为1.5x + 0.5xm; 固有误差：固有误差：1kHz，1V时为读数的时为读数的0.41个字个字；温度影响误差：温度影响误差：1kHz 1v时的温度系数为时的温度系数为10-4/ ;频率影响误差：频率影响误差：50Hz1MHz为为(0.5x+0.1xm);稳定误差：在温度稳定误差：在温度-1040，相对湿度，相对湿度208

15、0，大气压大气压86.7l06.7kPa的环境内，连续工作的环境内，连续工作7小时。小时。例如，例如，M一一33型交流数字电压表就是以上述四种误差型交流数字电压表就是以上述四种误差标注的。标注的。绝对误差，指最绝对误差，指最末一位显示值对末一位显示值对应的一个单位应的一个单位 1965年年无线电测量仪器总技术条件无线电测量仪器总技术条件(草案草案)的误差表示方法：的误差表示方法：仪器在规定的正常使用条件下所具有误差。一仪器在规定的正常使用条件下所具有误差。一般以满度相对误差的形式给出，也有的以误差般以满度相对误差的形式给出，也有的以误差的绝对数值和相对数值的代数和的形式来表示。的绝对数值和相对

16、数值的代数和的形式来表示。由于仪器超出规定的正常工作条件时所由于仪器超出规定的正常工作条件时所增加的误差。与影响误差相似。增加的误差。与影响误差相似。基本误差：基本误差：附加误差：附加误差：仪器只有基本误差的情况：仪器只有基本误差的情况：mmxSx%有基本误差和附加误差时：有基本误差和附加误差时：基本误差附加误差基本误差附加误差按照容许误差表示时：按照容许误差表示时：工作误差工作误差固有误差影响误差固有误差影响误差一、测量误差的来源：一、测量误差的来源：仪器误差：仪器误差： 由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、

17、疲劳等完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。因素而使仪器带有的误差。影响误差：影响误差： 由于各种环境因素（温度、湿度、电源电压、电磁由于各种环境因素（温度、湿度、电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。理论误差和理论误差和方法误差：方法误差：由于测量原理、近似公式、测量方法不合理而造由于测量原理、近似公式、测量方法不合理而造成的误差。成的误差。人身误差：人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯等原因，而在测量中使用操作不当、劳、固有习惯等

18、原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。二、测量误差的分类二、测量误差的分类 根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。误差、粗大误差三类。1.1.随机误差随机误差: : 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变测量），每

19、次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。产生原因：产生原因：由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。震、测量人员感官的无规律变化等。特点：特点：u 单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律，多

20、数情况接近正态分布。统计规律，多数情况接近正态分布。u 有界性有界性：误差的绝对值波动有一定界限。：误差的绝对值波动有一定界限。u 对称性对称性：正负随机误差出现的机会相等。：正负随机误差出现的机会相等。u 抵偿性抵偿性：测量次数足够多时，随机误差的算术平均值：测量次数足够多时，随机误差的算术平均值趋于趋于0 0。2.2.系统误差系统误差 在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差。按一定规律变化的误差。产生原因：产生原因： 仪器的制

21、造、安装或使用方法不正确，环境因素仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良读数习惯等。近似计算公式，测量人员不良读数习惯等。特点：特点：测量条件不变，误差为恒值，多次测量求平均不测量条件不变，误差为恒值，多次测量求平均不能消除；测量条件改变，误差随着某种规律变化，能消除；测量条件改变，误差随着某种规律变化，具有可重复性。具有可重复性。3.3.疏失误差疏失误差( (粗大误差粗大误差) )在一定测量条件下，测量值明显的偏离实际值所形成的误差。在一定测量条件下，测量值明显的偏离实际值所形成

22、的误差。产生粗差的原因有：产生粗差的原因有： 测量操作疏忽和失误测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。 测量方法不当或错误测量方法不当或错误 如用普通万用表电压挡直接如用普通万用表电压挡直接测高内阻电源的开路电压测高内阻电源的开路电压 测量环境条件的突然变化测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。变化等。|xA在剔除坏值之后，可以将在剔除坏值之后，可以将测量值一般地表

23、示为测量值一般地表示为 ：误差在数轴上的分布误差在数轴上的分布三、测量结果的评定三、测量结果的评定 准确度准确度指测量值与真值的接近程度。反映系统误差的大指测量值与真值的接近程度。反映系统误差的大小，系统误差越小，则准确度越高。小，系统误差越小，则准确度越高。精密度精密度指测量值重复一致的程度，反映随机误差的影响。指测量值重复一致的程度，反映随机误差的影响。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。精确度精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确用来反映系

24、统误差和随机误差的综合影响。精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。随机误差都小。 a b c a b c射击误差示意图射击误差示意图a为系统误差小，随为系统误差小，随机误差大，即准确机误差大，即准确度高，精密度低度高，精密度低b为系统误差大，随为系统误差大，随机误差小，即准确机误差小，即准确度低，精密度高度低，精密度高c为系统误差和随为系统误差和随机误差都小，即机误差都小，即精确度高精确度高在测量中，随机误差是不可避免的。在测量中，随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素随机误差是由大量微小的没有

25、确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。微振动等。多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。随机误差对测量结果的影响。1. 数学期望数学期望等精度测量结果的算术平均值：等精度测量结果的算术平均值：（样本平均值）（样本平均值）inixnx11等精度测量结果的数学期望：等精度测量结果的数学期望：

26、（总体平均值）（总体平均值）)1(lim1ininxxnE0AixixExiiEx 0AExiiiAxx000Axii随机误差：随机误差：系统误差：系统误差：绝对误差：绝对误差：当消除了系统误差之后，随机误当消除了系统误差之后，随机误差等于绝对误差。差等于绝对误差。2. 算术平均值原理算术平均值原理)1(lim1ininn0即随机误差的数学期望等于即随机误差的数学期望等于0对于有限次测量，当测量次数足够多时：对于有限次测量，当测量次数足够多时：011inin0AEx 对于有限次测量，在仅有随机误差的情况下，当测量次对于有限次测量，在仅有随机误差的情况下，当测量次数足够多时，测量值的平均值接近于

27、真值数足够多时，测量值的平均值接近于真值随机误差随机误差的抵偿性的抵偿性系统误差为系统误差为0的情况下的情况下在实际测量工作中，采用某些技术措施基本消除系在实际测量工作中，采用某些技术措施基本消除系统误差的影响，并且剔除疏失误差后，虽然有随机统误差的影响，并且剔除疏失误差后，虽然有随机误差的存在，但可以用多次测量值的算术平均值作误差的存在，但可以用多次测量值的算术平均值作为最后测量结果。为最后测量结果。剩余误差剩余误差-残差：残差：有限次测量时，各测量值与其算术平均值之差。有限次测量时，各测量值与其算术平均值之差。xxuii011xnxnxnxuniinii验证计算的算术平验证计算的算术平均值

28、是否正确均值是否正确3. 3. 方差与标准差方差与标准差 随机误差反映了实际测量的随机误差反映了实际测量的精密度精密度即测量值的分散即测量值的分散程度。但由于随机误差的抵偿性，不能用它的算术平均程度。但由于随机误差的抵偿性，不能用它的算术平均值来估计测量的精密度。值来估计测量的精密度。当测量次数当测量次数时，测量值与期望值之时，测量值与期望值之差的平方的统计平均值。即：差的平方的统计平均值。即：niixniinExn122121)(1niin121标准差：标准差： 标准差是对随机误差平方后在求平均，使个别较大的误标准差是对随机误差平方后在求平均，使个别较大的误差占的比例较大，即标准差对较大的随

29、机误差反映灵敏，用差占的比例较大，即标准差对较大的随机误差反映灵敏，用来表征测量的精密度。来表征测量的精密度。方差：方差：描述随机误差的描述随机误差的分散程度分散程度 1 1、随机误差的正态分布、随机误差的正态分布为什么随机误差大多为什么随机误差大多接近正态分布？接近正态分布？22221)(ei222)(21)(xiExiex(a)(a)随机误差随机误差(b) (b) 测量数据测量数据0 )( p x xp p( (x x) )0 0图图2 21 1 随机误差和测量数据的正态分布曲线随机误差和测量数据的正态分布曲线 0)(p1 2 3 321测量数据测量数据X X的概率密度函数为：的概率密度函

30、数为：测量值对称的分布在测量值对称的分布在数学期望的两侧数学期望的两侧 越小，表示测量值越越小，表示测量值越集中，精密度越高集中，精密度越高niiniixxnun1212)(11112、贝塞尔公式：贝塞尔公式：1122nxnxnii时测量数据的时测量数据的精密度怎么表示？精密度怎么表示？当当n为有限次测量时，为有限次测量时，可以用剩余误差来可以用剩余误差来表示标准差。表示标准差。标准差的估计值，标准差的估计值，即贝塞尔公式即贝塞尔公式贝塞尔公式的另贝塞尔公式的另一种表达形式一种表达形式niiniixxnun1212)(11112、贝塞尔公式：贝塞尔公式：1122nxnxniin-1为自由度为自

31、由度n=1时，时， 的值不确定，所以一次测量的数据是不的值不确定，所以一次测量的数据是不可靠的。可靠的。3、算术平均值的标准差算术平均值的标准差在相同条件下，对同一被测量进行在相同条件下，对同一被测量进行m m组划分，每组重复进行组划分，每组重复进行n n次测量，则每一组测量值都有一个平均值次测量，则每一组测量值都有一个平均值ix当对精密度要求更高时，可用算术平均值的标准差表示：当对精密度要求更高时，可用算术平均值的标准差表示：nx当当n n为有限次测量时，用算术平均值标准差的为有限次测量时，用算术平均值标准差的最佳估值最佳估值表示：表示：nx这些算术平均这些算术平均值并不相同值并不相同xxi

32、i 用公式用公式 计算各测量值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中例例 用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测量值的序列个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii )(767.11112Cnonii)(53.011767.1Cnox解：平均值解：平均值标准差的最佳估计值：标准差的最佳估计值：算术平均值的标准差的最佳估计值：算术平均值的标准差的最佳估计值：1 1、权的概念、权的概念等

33、精度测量等精度测量：即在相同地点、相同的测量方法和相同：即在相同地点、相同的测量方法和相同测量设备、相同测量人员、相同环境条件（温度、湿测量设备、相同测量人员、相同环境条件（温度、湿度、干扰等），并在短时间内进行的重复测量。度、干扰等），并在短时间内进行的重复测量。 非等精度测量：非等精度测量：在以上测量条件不相同时，进行的测在以上测量条件不相同时，进行的测量，则称为非等精度测量。量，则称为非等精度测量。 各次（或组）的测量值可靠程度不同，因而不能简各次（或组）的测量值可靠程度不同，因而不能简单地取某一组测量值的算术平均值作为最后的测量单地取某一组测量值的算术平均值作为最后的测量结果，也不能简

34、单地用结果，也不能简单地用 来计算。来计算。nx/例如：例如：第一组测量次数第一组测量次数n1=36，第二组测量次数，第二组测量次数n2=4，假设两组，假设两组的的 相同，但算术平均值的标准差不同：相同，但算术平均值的标准差不同：611nx222nx表示第一组的表示第一组的平均值更可靠平均值更可靠因而应当让可靠程度大的测量结果在最后报告值因而应当让可靠程度大的测量结果在最后报告值中占的比重大一些，中占的比重大一些，可靠程度可靠程度小的占的比重小一小的占的比重小一些。些。权，记作权，记作W2ixikWi=1，2，m定义：定义：假定同一个被测量，有假定同一个被测量，有m个算术平均值，设每组的测量个

35、算术平均值，设每组的测量次数不同，而标准差相同，这时他们的权就取决于每组次数不同，而标准差相同，这时他们的权就取决于每组的测量次数。的测量次数。ixni22222121 mxxxmnnn22222121 mxxxmWWW222211:1:1:21mxxxmWWW 2 2、加权平均值、加权平均值加权平均：将非等精密度测量等效为等精密度测量，从加权平均：将非等精密度测量等效为等精密度测量，从而求出非等精密度测量的而求出非等精密度测量的估计值估计值的方法。的方法。NiiWxNx11mmiiWWWWN 211m为非等精密度测量的组数为非等精密度测量的组数miiiNiixWx11miiimiiWxWWx

36、111考虑各组数据加权后的平均值，称为加权平均值：考虑各组数据加权后的平均值，称为加权平均值：三组测量值权的比为三组测量值权的比为16：1：4，可以把它等效成，可以把它等效成16+1+4=21组等精密度测量的结果，则加权平均值：组等精密度测量的结果，则加权平均值：VxW 44.20) 3 .2041 .2015 .2016(41161Vx 5 .201Vx 3 .203已知电压有三组不等精密度测量值的算术平均值及其已知电压有三组不等精密度测量值的算术平均值及其标准差：标准差：Vx 1 .20205. 01x20. 02x10. 03x则各组权的大小为：则各组权的大小为：4:1:1610. 01

37、:20. 01:05. 01:222321WWW2.4 2.4 系统误差的特征及其减小的方法系统误差的特征及其减小的方法 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。多次测量求平均不能减少系统误差。变化。多次测量求平均不能减少系统误差。a.a.恒值系统误差恒值系统误差b.b.线性系统误差线性系统误差c.c.周期性系统误差周期性系统误差d.d.复杂变化的系统误差复杂变化的系统误差iixiniininxn1111011Axxnini c a 0

38、t 图3 7 多 种 系 统 误 差 的 特 征 其 中 ： a -不 变 系 差 b -线 性 变 化 系 差 c -周 期 性 系 差 d -复 杂 规 律 变 化 系 差 d b 由仪器仪表引由仪器仪表引起的固有误差起的固有误差电池电压电池电压逐渐下降逐渐下降晶体管晶体管b b值随环境温度值随环境温度周期性变化而变化周期性变化而变化一般用正确度来表征系统误差大小，系统误差越小，一般用正确度来表征系统误差大小，系统误差越小，正确度越高。正确度越高。.2 判断系统误差的方法判断系统误差的方法改变测量条件、测量仪器或测量方法，比较测量结果。改变测量条件、测量仪器或测量方法，比较

39、测量结果。将所测数据及其剩余误差按先后次序列表或作图，观将所测数据及其剩余误差按先后次序列表或作图，观察各数据的剩余误差值的大小和符号的变化。察各数据的剩余误差值的大小和符号的变化。1.1.试验对比法试验对比法：2.2.剩余误差观察法剩余误差观察法：只适用于发现恒只适用于发现恒值系统误差值系统误差主要用于发现变主要用于发现变值系统误差值系统误差2/112/ninniiiuu2/)1(12/)3(ninniiiuu3.3.马利科夫判据：马利科夫判据：当测量次数当测量次数n n为偶数时，为偶数时，当测量次数当测量次数n n为奇数时，为奇数时， 将测量数据按测量条件的变化顺序排列起来，分别求将测量数

40、据按测量条件的变化顺序排列起来，分别求出剩余误差，然后把这些剩余误差分为前后两部分求和，出剩余误差，然后把这些剩余误差分为前后两部分求和，再求其差值。再求其差值。若若 ，则可以认为存在线性系统误差。，则可以认为存在线性系统误差。maxiu若若 ，则表明不存在线性系统误差。，则表明不存在线性系统误差。0用于发现是否存用于发现是否存在线性系统误差在线性系统误差21111nuuniii4.4.阿贝赫梅特判据阿贝赫梅特判据: : 将测量数据顺序排好，求出剩余误差将测量数据顺序排好，求出剩余误差u ui i，将，将u ui i依次两两依次两两相乘，然后取和的绝对值，再用此列数据求出标准差的估相乘，然后取

41、和的绝对值，再用此列数据求出标准差的估计值。若下式成立：计值。若下式成立：则可以认为存在周期性系统误差。则可以认为存在周期性系统误差。对于存在变值系统误差的测量数据，原则上应舍弃不用。对于存在变值系统误差的测量数据，原则上应舍弃不用。但是，若其剩余误差的最大值明显地小于测量允许的误差但是，若其剩余误差的最大值明显地小于测量允许的误差范围，则可以考虑使用。范围，则可以考虑使用。用于发现是否存在周用于发现是否存在周期性系统误差期性系统误差.3 系统误差的削弱或消除方法系统误差的削弱或消除方法1. 从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差 要从

42、测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。 测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。 注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大。量的影响较大。 尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。2.2.用修正方法减少系统误差用修正方法减少系统误差修正值修正值- -误差误差= -(= -(测量值真值测量值真值) )xAxC实

43、际值测量值修正值实际值测量值修正值CxA3.3.减小恒值系统误差的典型测量方法减小恒值系统误差的典型测量方法 零位式测量法（零示法）零位式测量法（零示法） 将被测量与已知标准量相比较，当二者的效应互相将被测量与已知标准量相比较，当二者的效应互相抵消时，指零仪器示值为抵消时，指零仪器示值为0 0，达到平衡，这时己知量的，达到平衡，这时己知量的数值就是被测量的数值。数值就是被测量的数值。BBxERRU2零示法的优点：零示法的优点：1 1）只需判断检流计）只需判断检流计G G有无电流，不需要度读数，准确度有无电流，不需要度读数，准确度取决于标准量；取决于标准量；2 2）回路中无电流，导线上无压降，因

44、此误差小。）回路中无电流，导线上无压降，因此误差小。零示法的零示法的缺点？缺点？ 替代法替代法 用已知标准量替代被测量，通过改变已知量用已知标准量替代被测量，通过改变已知量使两次的指示值相同，则可根据已知标准量的数使两次的指示值相同，则可根据已知标准量的数值得到被测量。值得到被测量。 微差法微差法3.3.减小恒值系统误差的典型测量方法减小恒值系统误差的典型测量方法不改变电路不改变电路的工作环境的工作环境测量电路的测量电路的分布电容分布电容只要求二者接近，只要求二者接近，而不必完全抵消而不必完全抵消2.5 2.5 疏失误差及其判断准则疏失误差及其判断准则粗大误差是明显歪曲测量结果的误差。这粗大误

45、差是明显歪曲测量结果的误差。这种误差来自测量方法不当、影响较大的偶种误差来自测量方法不当、影响较大的偶然因素或测量者的粗心等原因。然因素或测量者的粗心等原因。 疏失误差疏失误差/ /粗大误差：粗大误差：2.5 2.5 疏失误差及其判断准则疏失误差及其判断准则例如，用例如，用块内阻为块内阻为10kV、量程为、量程为2.5V档的万用表去测档的万用表去测量一放大器。分别测量一放大器。分别测得得Ub = - 0.88V，Ue= -0.92 V，然后计算得出，然后计算得出Ube=Ub-Ue= +0.04 V。2.5 2.5 疏失误差及其判断准则疏失误差及其判断准则 根据上述测量结果，放大器必然处于截止状

46、根据上述测量结果，放大器必然处于截止状态，而实际放大器却工作正常，且态，而实际放大器却工作正常，且Ube= - 0.32V。这是由于该万用表这是由于该万用表2.5V档内阻仅为档内阻仅为2.510=25k，它并联在基极与地之间，显著减小了下偏置电阻，它并联在基极与地之间，显著减小了下偏置电阻，测出的测出的Ub值就比实际值小，这属于测试方法不当，值就比实际值小，这属于测试方法不当，应该直接测基极和发射极之间的电压或选用高阻应该直接测基极和发射极之间的电压或选用高阻抗电压表测量。抗电压表测量。置信限：置信限： k k置信系数（或置信因子）置信系数（或置信因子）k在置信区间在置信区间 内包含真值的概率

47、称为置信概率。内包含真值的概率称为置信概率。kxEx)(置信概率是图中阴置信概率是图中阴影部分面积影部分面积2.5.1 2.5.1 测量结果的置信问题测量结果的置信问题2.5 2.5 疏失误差及其判断准则疏失误差及其判断准则22221)(epi121222dekkdpkPkxExP)()(dedpkPkkkk)2(2221)()(当分布和当分布和k k值确定之后，则置信概率可定：值确定之后，则置信概率可定：对于正态分布的随机误差：对于正态分布的随机误差：在在370个随机误差中，仅个随机误差中，仅有一个误差大于有一个误差大于3 2.2.格拉布斯准则格拉布斯准则： 3iu GuiG G为格拉布斯系

48、数，按重复测量次数为格拉布斯系数，按重复测量次数n n及置信概率确定及置信概率确定 3456789101195%1.151.461.671.821.942.0399%1.161.491.751.922.412.4812131415161718192095%2.292.332.372.412.442.472.52.532.5699%2.552.612.662.72.742.782.822.852.88cpncpn2.5.2 不确定度与坏值的剔除准则不确定度与坏值的剔除准则对于出现疏失误差的测量结果要剔除，判断疏失误差的依据：对于出现疏失误差的测量结果

49、要剔除，判断疏失误差的依据：适于测量次数足够多时适于测量次数足够多时 3iu1.1.莱特（拉依达）准则莱特（拉依达）准则：适于测量次数较少时适于测量次数较少时 3 准则准则剔除数据应当注意的问题：剔除数据应当注意的问题： 所有的检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定。所有的检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。 剔除异常数据时要慎重，有时一个异常数据可能反映出剔除异常数据时要慎重，有时一个异常数据可能反映出一种异常现象，轻易剔除可能放过发现问题的机会。一种异常现象，轻易剔除可能放过发现问题的机会。

50、 若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算，再行判别。剔除，重新计算，再行判别。 在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。作不正常。2.6.1 2.6.1 有效数字及数字的舍入规则：有效数字及数字的舍入规则：1.1.数字舍入规则数字舍入规则 由于测量数据和测量结果均是近似数，其位数各不相同。由于测量数据和测量结果均是近似数，其位数各不相同。为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便，在数据处理时，为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便，在数据处理时，需对测量数

51、据和所用常数进行舍入处理。需对测量数据和所用常数进行舍入处理。 以保留数字的末位为单位，它后面的数字若大于以保留数字的末位为单位，它后面的数字若大于0.50.5单位，末单位，末位进位进1 1；小于；小于0.50.5个单位，末位不变；恰为个单位，末位不变；恰为0.50.5个单位，则末位为奇个单位，则末位为奇数时加数时加1 1，末位为偶数时不变，即使末位凑成偶数。，末位为偶数时不变，即使末位凑成偶数。简单概括为简单概括为“小于小于5 5舍，大于舍，大于5 5入，等于入，等于5 5时采取偶数法则时采取偶数法则”。例：将下列数据舍入到小数第二位。例：将下列数据舍入到小数第二位。需要注意的是，舍入应一次

52、到位，不能逐位舍入。需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。上例中上例中0.694990.69499，正确结果为，正确结果为0.690.69，错误做法是：，错误做法是：0.694990.69500.6950.700.694990.69500.6950.70。在在“等于等于5 5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。2. 2. 有效数字有效数字 由于在测量中不可避免地存在误差，并且仪器的分辨能力有一由于在测量中不可避免地存在误差，并且仪器的分辨能

53、力有一定的限制，测量数据就不可能完全准确。当用这个数表示一个量时，定的限制，测量数据就不可能完全准确。当用这个数表示一个量时，为了表示得确切，通常规定误差不得超过末位单位数字的一半。为了表示得确切，通常规定误差不得超过末位单位数字的一半。 这种误差不大于末位单位数字一半的数，从它左边第一个不为这种误差不大于末位单位数字一半的数，从它左边第一个不为零的数字起，直到右面最后个数字止，都叫作零的数字起，直到右面最后个数字止，都叫作有效数字有效数字。有效数字的位数只有效数字的位数只由误差的大小决定由误差的大小决定对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格

54、； niixnx11求出算术平均值求出算术平均值xxuii01niiu列出残差列出残差 ，并验证，并验证niiun1211按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值: :按莱特准则，或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差；按莱特准则，或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差；剔除坏值后，再重复求剩下数据的算术平均值、剩余误差及标准剔除坏值后，再重复求剩下数据的算术平均值、剩余误差及标准差，并再次判断，直至不包括坏值为止。差，并再次判断，直至不包括坏值为止。nx计算算术平均值的标准差估计值计算算术平均值的标准差估计值xxA写出最后结果的表达式即写出最后结果的表达式即 （单位）（单位）判断

55、有无变值系统误差。如有变值系统误差，应查明原因，修正判断有无变值系统误差。如有变值系统误差，应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；或消除系统误差后重新测量；解：（解：（1）求出算术平均值）求出算术平均值 30.205161161iixx（2）计算列于表中，并验证）计算列于表中，并验证 01niiu（3）计算标准偏差：）计算标准偏差： 4434. 011611612iiu（4）按莱特准则判断有无）按莱特准则判断有无 查表中第查表中第5个数据，个数据，所以所以x5 =206.65应视为含有粗大误差的数据，应予以剔除。应视为含有粗大误差的数据，应予以剔除。 330. 13iu335. 15x现剩

56、下现剩下15个数据，重复以上个数据，重复以上4个步骤。个步骤。（5）重新计算剩余）重新计算剩余15个数据的算术平均值：个数据的算术平均值： 及重新计算列于表中，并验证及重新计算列于表中，并验证 21.205x01niiu（8）对剩余误差作图，判断有无变值系统误差。由图可见无）对剩余误差作图，判断有无变值系统误差。由图可见无明显累进性或周期性系统误差。明显累进性或周期性系统误差。 （6）重新计算标准偏差：）重新计算标准偏差： 27. 011511512 iiu（7）按莱特准则再判断有无）按莱特准则再判断有无查表得各数据的剩余误差绝对值均小于查表得各数据的剩余误差绝对值均小于 ，则认为剩下的，则认

57、为剩下的15个数据中不再含有粗大误差。个数据中不再含有粗大误差。 81. 03iu3（9）计算算术平均值的标准偏差：）计算算术平均值的标准偏差： 07. 015/27. 015/x（10）写出测量结果表达式：）写出测量结果表达式： 2 . 02 .2053xxx测量数据的表示方法测量数据的表示方法 1列表法列表法2图示法图示法 3经验公式法经验公式法 测量数据表测量数据表对数据变化的趋势不如图对数据变化的趋势不如图解法明了和直观解法明了和直观 列表法是图示法和经验列表法是图示法和经验公式法的基础公式法的基础 图示法图示法形象、直观，从图形中可以很直观地看出函数的变化规律，形象、直观，从图形中可

58、以很直观地看出函数的变化规律，如递增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等如递增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等 图形只能得出函数的变化关系或变化趋势，而不能进行图形只能得出函数的变化关系或变化趋势，而不能进行数学分析。数学分析。将大量的包含误差的测量数据绘制成一条尽量符合实际情将大量的包含误差的测量数据绘制成一条尽量符合实际情况的光滑曲线，称为曲线修匀。况的光滑曲线，称为曲线修匀。作图方法一般是先按成对数据（作图方法一般是先按成对数据（x，y）描点，再）描点，再连成曲线。但要注意连出的曲线光滑匀整，并尽连成曲线。但要注意连出的曲线光滑匀整，并尽量使曲线与所有点接近，不强

59、求通过各点，要使量使曲线与所有点接近，不强求通过各点，要使位于曲线两边的点数尽量相等。位于曲线两边的点数尽量相等。 分组平均描曲线分组平均描曲线经验公式法经验公式法通过对实验数据的计算，采用数理统计的方法，确定它通过对实验数据的计算，采用数理统计的方法，确定它们之间的数量关系，即用数学表达式表示各变量之间关们之间的数量关系，即用数学表达式表示各变量之间关系。系。 数学模型数学模型 根据变量个数的不同及变量之间关系的不同，分为一元根据变量个数的不同及变量之间关系的不同，分为一元线性回归（直线拟合），一元非线性回归（曲线拟合），线性回归（直线拟合），一元非线性回归（曲线拟合），多元线性回归和多项式

60、回归等。多元线性回归和多项式回归等。 xbby1011/Yy1/Xx01Ybb Xy00100bbxy00100bbx一元线性回归一元线性回归 一元线性回归一元线性回归 用一个直线方程来表达上列测量数据之间的相互关系，用一个直线方程来表达上列测量数据之间的相互关系，即求出直线方程中的两个系数即求出直线方程中的两个系数a a和和b b，此过程就是一元线性回，此过程就是一元线性回归，工程上又称为直线拟合。归，工程上又称为直线拟合。1.1.端点法端点法此方法是将测量数据中两个端点，起点和终点（即最大量此方法是将测量数据中两个端点，起点和终点（即最大量程点）的测量值（程点）的测量值（ ）和（）和（ ）