复合函数求导学习教案

1、会计学1复合复合(fh)函数求导函数求导第一页，共25页。复习复习: :基本初等函数基本初等函数(hnsh)(hnsh)的导的导数公式数公式第1页/共24页第二页，共25页。第2页/共24页第三页，共25页。高考链接高考链接0 x (2008海南宁夏文海南宁夏文)设设 ,若若( )lnf xxx则则 （ ） A. B. C. D. 0()2,fx2eeln22ln2Ba121-21A.1 B C D2axy 062 yx(2008全国全国卷文卷文)设曲线设曲线a在点（在点（1, )处的切线与直线处的切线与直线平行平行,则则( )A第3页/共24页第四页，共25页。例例5:在曲线在曲线y=x3-

2、6x2-x+6上上,求斜率最小的切线求斜率最小的切线(qixin)所对应的切点所对应的切点,并证明曲线关于此点对称并证明曲线关于此点对称.例题例题(lt)选讲选讲解解: ,故当故当x=2时时, 有最小值有最小值.1323112322)(xxxyy 即当即当x=2时时,y= -12,故斜率故斜率(xil)最小的切线所最小的切线所对应的切点为对应的切点为A(2,-12).第4页/共24页第五页，共25页。一、复习一、复习(fx)与引入：与引入： 如如: 求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数. 我们可以把平方式我们可以把平方式(fngsh)展开展开,利用导数的四利用导数的四则运则运算法则算法则

3、,再求导再求导.思考思考: 能否用其它能否用其它(qt)的办法求导呢的办法求导呢? 又如我们知道函数又如我们知道函数 的导数是的导数是 ,那么函数那么函数 的导数又是什么呢的导数又是什么呢?21xy 32xy3231)(xy第5页/共24页第六页，共25页。一、复习一、复习(fx)与与引入：引入： 为了解决上面的问题为了解决上面的问题,我们需要学习新的导我们需要学习新的导数的运算法则数的运算法则,这就是复合函数这就是复合函数(hnsh)的导数的导数. 如如:求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数,我们就可以令我们就可以令 y=u2,u=3x-2,则则 从而从而 ., 3,2 xuuuy结果

4、结果(ji gu)(ji gu)与用导数的四则运算法则求得的结果与用导数的四则运算法则求得的结果(ji gu)(ji gu)一致一致. .第6页/共24页第七页，共25页。二、新课二、新课复合复合(fh)函数的函数的导数：导数：1.复合函数复合函数(hnsh)的概念的概念: 对于函数对于函数y= f (x),令令u= (x),若若y=f(u)是是中间变量中间变量u的函数的函数, u= (x)是自变量是自变量x的函数的函数,则则称称y= f (x)是自变量是自变量x的复合函数的复合函数.2.复合复合(fh)函数的函数的导数导数:设函数设函数 在点在点x处有导数处有导数 ,函数函数y=f(u)在点

5、在点x的对应点的对应点u处有导数处有导数 ,则复合函数则复合函数 在点在点x处也有导数处也有导数,且且 或记或记第7页/共24页第八页，共25页。 在书写时不要把在书写时不要把 写成写成 ,两两者是不完全一样者是不完全一样(yyng)的的,前者表示对自变量前者表示对自变量x的求导的求导,而后者是对中间变量而后者是对中间变量 的求导的求导.注意注意(zh y):第8页/共24页第九页，共25页。3.复合复合(fh)函数的求导法则函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间等于已知函数对中间(zhngjin)变量的导数变量的导数,乘以中间乘以中间(zhngji

6、n)变量对变量对自变量的导数自变量的导数.法则法则(fz)可以推广到两个以上的中间变可以推广到两个以上的中间变量量. 求复合函数的导数求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导对哪个变量求导,一般地一般地,如果所设中间变量可直接求导如果所设中间变量可直接求导,就不必再选中间变量就不必再选中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的结合和综合的运用有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导要通过求一些初等

7、函数的导数数,逐步掌握复合函数的求导法则逐步掌握复合函数的求导法则.第9页/共24页第十页，共25页。三、例题三、例题(lt)选选讲：讲：例例1: 求下列求下列(xili)函数函数的导数的导数:解解: (1) 设设y=u5,u=2x+1, 则则:第10页/共24页第十一页，共25页。4)31(1)2(xy 解解: ,设设y=u-4,u=1-3x,则则:42)sin1()3(xy 解解: ,设设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,说明说明: : 在对法则的运用熟练在对法则的运用熟练(shlin)(shlin)后后, ,就不必再写中间就不必再写中间步骤步骤. .三、例题三、例题(lt)选选讲：

8、讲：第11页/共24页第十二页，共25页。随堂练习随堂练习(linx)求下列求下列(xili)函数的导数函数的导数(3) y=(3x+2)第12页/共24页第十三页，共25页。练习练习(linx)1:求下列函数求下列函数的导数的导数: 答案答案:课本课本(kbn): P25 1,2第13页/共24页第十四页，共25页。例例2: 设设f(x)可导可导,求下列函数的导数求下列函数的导数: (1)f(x2); (2)f( ); (3)f(sin2x)+f(cos2x)解解: 三、例题三、例题(lt)选选讲：讲：第14页/共24页第十五页，共25页。四、小结四、小结(xioji)： 利用复合函数的求导

9、法则来求导数时利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量选择中间变量是复合函数求导的关键是复合函数求导的关键(gunjin).必须正确分析复合函必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其分清其间的复合关系间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体体,这个暂时的整体这个暂时的整体,就是中间变量就是中间变量.求导时需要记住中间求导时需要记住中间变量变量,注意逐层求导注意逐层求导,不遗漏不遗漏,而其中特别要注意中间变量而其中特别要注意中间变量的系数的系数,求导后求导后,要把中间变量转

10、换成自变量的函数要把中间变量转换成自变量的函数.第15页/共24页第十六页，共25页。例例3:如果如果(rgu)圆的半径以圆的半径以2cm/s的等速度增加的等速度增加,求圆半径求圆半径R= 10cm时时,圆面积增加的速度圆面积增加的速度.解解:由已知知由已知知:圆半径圆半径R=R(t),且且 = 2cm/s.又圆面积又圆面积S=R2,所以所以=40(cm)2/s.故圆面积增加故圆面积增加(zngji)的速度为的速度为40(cm)2/s.例例4:在曲线在曲线 上求一点上求一点,使通过该点的切线平行于使通过该点的切线平行于 x轴轴,并求此切线的方程并求此切线的方程.解解:设所求点为设所求点为P(x

11、0,y0).则由导数的几何意义则由导数的几何意义(yy)知知:切线斜率切线斜率把把x0=0代入曲线方程得代入曲线方程得:y0=1.所以点所以点P的坐标为的坐标为(0,1),切线方程为切线方程为y-1=0.第16页/共24页第十七页，共25页。例例5:求证双曲线求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆与椭圆(tuyun)C2:4x2+9y2=72在交在交 点处的切线互相垂直点处的切线互相垂直.证证:由于曲线的图形关于坐标轴对称由于曲线的图形关于坐标轴对称(duchn),故只需证故只需证明其中一明其中一 个交点处的切线互相垂直即可个交点处的切线互相垂直即可.联立两曲线方程解得第一象限联立两曲线方程解得

12、第一象限(xingxin)的交点为的交点为P(3,2),不妨不妨证明过证明过P点的两条切线互相垂直点的两条切线互相垂直.由于点由于点P在第一象限在第一象限,故由故由x2-y2=5得得同理由同理由4x2+9y2=72得得因为因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直所以两条切线互相垂直.从而命题成立从而命题成立.第17页/共24页第十八页，共25页。 我们曾经利用我们曾经利用(lyng)导数的定义证明过这样的一个结论导数的定义证明过这样的一个结论:“可导的偶函数的导函数为奇函数可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在我们利用现在我们利用(lyn

13、g)复合函数的导数重新加以证明复合函数的导数重新加以证明:证证:当当f(x)为为可导的偶函数可导的偶函数时时,则则f(-x)=f(x).两边同时对两边同时对x 求导得求导得: ,故故 为为 奇函数奇函数.同理可证另一个同理可证另一个(y )命题命题. 我们还可以证明类似我们还可以证明类似(li s)的一个结论的一个结论:可导的周期函数的导可导的周期函数的导函数也是周期函数函数也是周期函数.证证:设设f(x)为为可导的周期函数可导的周期函数,T为其一个为其一个周期周期,则对定义则对定义 域内的每一个域内的每一个x,都有都有f(x+T)=f(x). 两边同时对两边同时对x求导得求导得: 即即 也是

14、以也是以T为为周期的周期函数周期的周期函数.第18页/共24页第十九页，共25页。例例7:求函数求函数 的导数的导数.说明说明:这是分段函数的求导问题这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达先根据各段的函数表达 式式,求出在各可导求出在各可导(开开)区间的函数的导数区间的函数的导数,然后再用然后再用 定义定义(dngy)来讨论分段点的可导性来讨论分段点的可导性.解解:当当x1时时, .又又 ,故故f(x)在在x=1处连续处连续.而而从而从而(cng r)f(x)在在x=1处处不可导不可导.第19页/共24页第二十页，共25页。 在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线在上面的例子中涉及到

15、了二次曲线在某点的切线问题问题(wnt),但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限限的情况的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切线怎可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切线怎样求的问题样求的问题(wnt),由于它涉及到隐函数的求导问题由于它涉及到隐函数的求导问题(wnt).我们不便去过多的去研究我们不便去过多的去研究. 下面举一个例子使同学们了解下面举一个例子使同学们了解(lioji)一下求一般曲线在任意一下求一般曲线在任意点的切线的方法点的切线的方法.(说明说明:这个内容不属于考查范围这个内容不属于考查范围.)例子例子:求椭圆求椭圆 在点

16、在点 处的切线方程处的切线方程.解解:对椭圆方程的两边分别求导对椭圆方程的两边分别求导(在此把在此把y看成是关于看成是关于x 的函数的函数)得得:于是所求切线方程为于是所求切线方程为:备用备用(biyng)第20页/共24页第二十一页，共25页。例例2:求下列求下列(xili)函数的导数函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;解解:(3)y=tan3x;解解:(2)解解:(4)解解:第21页/共24页第二十二页，共25页。利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程(fngchng)如下如下:(1)过圆过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点上一点(y din

17、)P0(x0,y0)的切的切线方程是线方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)过椭圆过椭圆 上一点上一点P0(x0,y0)的切线方程是的切线方程是:(2)过椭圆过椭圆(tuyun) 上一点上一点P0(x0,y0)的切线方程是的切线方程是:(4)过抛物线过抛物线y2=2px上一点上一点P0(x0,y0)的切线方程是的切线方程是:y0y =p(x+x0).(3)过双曲线过双曲线 上一点上一点P0(x0,y0)的切线方程是的切线方程是:第22页/共24页第二十三页，共25页。证证:设设x有增量有增量x,则对应则对应(duyng)的的u,y分别有增量分别有增量u, y.因为因为 在点在点x处可导处可导,所以所以 在点在点x处连续处连续.因因此当此当x 0时时, u 0.当当u0时时,由由 ,且且 得得:当当u=0时时,公式公式(gngsh)也成也成立立. 上面的证明其实不是一个很严格的证明上面的证明其实不是一个很严格的证明,而且中间还会而且中间还会有不少的疑问有不少的疑问,譬如譬如, u=0时公式也成立时公式也成立, 怎样去理解怎样去理解;x 0时与时与u 0时的极限相等问题等等时的极限相等问题等等.因此同学们只要了解因此同学们只要了解公式证明中的基本思想公式证明中的基本思想(sxing)和方法即可和方法即可,不必过多的去不必过多的