谈圆锥曲线教学中学生思维品质的培养

1、谈圆锥曲线教学中学生思维品质的培养丰顺县教育局教研室刘超平丰顺县教师进修学校陈典型众所周知，人的能力有大小之分，中学生的思维能力也是如此，表现出参差不齐，其中最能体现思维能力差异的是学生表现出来的思维品质.数学的教学过程，就是要根据教材内容，不断挖掘其潜能，对学生进行思维品质的培养，才能有效地启迪学生的思维，提高课堂教学效率.下面就圆锥曲线教学中，如何培养学生思维品质，谈谈我们的一些做法.一、揭示概念内涵数学概念具有不同程度的抽象性和系统性，圆锥曲线这部分内容中，包含有许多概念，在这些概念的教学中，通过揭示概念的内涵，引导学生理解其实质，深入广泛地思考，全面深刻地分析有关问题，从而有效地培养学

2、生思维的广阔性 .例如，在双曲线概念的教学中，在前面学习“椭圆”定义的基础上，进一步得出双曲线的概念：“平面内与两定点 F 1、 F2 的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F 2|）的点的轨迹，叫做双曲线” .得出这一结论后，可向学生提出下列问题，帮助学生理解这一概念的内涵.1平面内与两定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹，是否一定都是双曲线？2在双曲线概念中，将“绝对值”去掉，其余不变，结论有何不同？3在双曲线概念中，将括号内“小于|F 1F 2|”改为大于（或等于）|F 1F 2|，其余不变，结论有何变化？4若概念中的常数为零，动点的轨迹是什么？通过这样的引导与启发，使学生对双曲线概念中的

3、“绝对值”和“常数”（小于 |F 1F 2|）等内涵有了较全面、较深刻的认识和理解 .二、重视概念的灵活运用灵活运用概念进行解题，是学习概念的目的之一， 也是解题的重要途径.在圆锥曲线的教学中， 有目的地引导学生运用概念进行解题，帮助学生观察、联想、探索理解概念的本质，使学生能灵活、熟练地用圆锥曲线定义解决有关问题，达到快捷，简洁的效果.从而培养思维的深刻性 .例 1 已知 P 是椭圆 x2y2 1上的一点 , F1 、 F2 分别是它的左、右两个焦点.以 |PF 2|为直径的圆与a2b 2长轴为直径的圆的位置关系是（）A 外切B 内切C相交D 相离分析：解决本题的关键是找出两圆的圆心距与两圆

4、半径的关系.如图 1，设 PF 2 的中点为 A，连 PF 1，则 |OA|是两圆的圆心距，且|OA|1|PF1|,又根据椭圆定义.联想到2|PF1 | PF2| 2a,得|PF 1|=2a |PF2|. 因此有|OA|1 (2a| PF2 |)a1 | PF2 | . 由于圆心距等于半径之差，故两22圆内切，从而问题得到解决 .为了加深学生对概念的运用，还可以给出下列思考题，巩固学生对本题的理解 .思考一：若本例中，椭圆改为双曲线，长轴改为实轴，其余不变，结论如何？思考二：若本例中的椭圆改为抛物线，长轴改为y 轴（或 x 轴），结论又如何？ 1思考三：若已知曲线x2y 21的右焦点为 F ，

5、点 A（ 1，2）是一定点， P 是曲线上一点，那么 |PA|1612 2|PF|的最小值是多少？经过这些问题的训练与解决，使学生对运用概念解题有了较深刻的认识.三、培养学生的独立见解独立见解是指善于根据客观事实，独立发现问题、 分析问题和解决问题.对所遇到的问题能设法独立解决，不盲目迷信或照搬现成的答案.例 2 已知实数 x、 y 满足 4x25xy 4 y 25, 设 S x 2y 2 , 则 11（） .Smax Smin（ 1993 年全国高中数学联赛试题）本题的一般解法是构造函数、 方程或利用均值不等式， 或通过三角换元等方法求解 .但下面的解法却独树一帜，简明快捷 .解：设xcos

6、 ,(其中 2x 2y 2 )ysin ,代入已知式化简整理得：2 1085 sin 2当 sin 21时 , Smax2max当 sin 21时 , Smin2min10 .310 .13问题至此，已迎刃而解，可见，利用极坐标法解决二次函数的最值问题，方法新颖别致，给人以耳目一新的感觉 .用此方法还可求解一些类似的高考试题，如：设实数 x、 y 满足 (x2) 2 y 2 3, 则 y 的最大值是.（ 1990 年全国高考试题）.x四、克服定势思维的影响学生的定势思维既可能对学生继续学习产生积极作用；也可能对学生继续学习产生消极作用；数学的教学过程，应注意最大限度地克服学生的定势思维对学习的

7、干扰，从而促进思维的发展，培养其思维的灵活性 .例 3已知过椭圆 x2y21的中心的直线与椭圆交于A、B 两点（图a2b22），求以 AB 为底边，底角为 （定值）的等腰三角形ABC 的顶点 C 轨迹方程 .本题若按常规解法，显得较为呆板、繁琐 .若排除定势思维的影响，敢于打破常规，借助复平面，利用复数的几何意义求解，就能收到既准又快的功效 .事实上，A、B关于复平面原点对称，因此，COAB，且 2COtg .又向量 OC与向量 OB 按顺时针 （或逆时针） 方向旋转 90 后得到的向量共线，由复数的几何OB意义得：Z CZ B tg(cos90i sin 90 ),ZCitgZ B .利用 B 在椭圆上，容易求出C 点的轨迹方程是：y 2x21.b2