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1、镇江市网络同步助学平台镇江市网络同步助学平台专家系列讲座专家系列讲座七年级数学七年级数学 同学们同学们,当老师提问或请同当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键再点击播放键.有理数的运算有理数的运算 单单 位：镇江市第十中学位：镇江市第十中学主主 讲：姚讲：姚 凌凌 云云 审审 稿：镇江市京口区教研室稿：镇江市京口区教研室 邬一文邬一文 知识回顾知识回顾作业精讲精评作业精讲精评知识拓展知识拓展有有理理数数的的运运算算除法除法运算运算加法加法减法减法乘法乘法乘方乘方混合运算混合运算乘法结合律乘法结合律加法

2、交换律加法交换律加法结合律加法结合律乘法分配律乘法分配律乘法交换律乘法交换律简便运算简便运算运算律运算律一、有理数的运算法则一、有理数的运算法则1.有理数加法法则有理数加法法则 同号两数相加同号两数相加, ,取相同的符号取相同的符号, ,并把绝对值相加；并把绝对值相加； 异号两数相加异号两数相加, ,绝对值相等时，和为零绝对值相等时，和为零（互为相反数的两数相加得（互为相反数的两数相加得0 0） ；绝对值不等时取绝对值较大的加数的符号绝对值不等时取绝对值较大的加数的符号, ,并用较大的并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值减去较小的绝对值； 一个数同一个数同0 0相加相加, ,仍得这个数。仍

3、得这个数。用数学语言描述有理数加法法则：用数学语言描述有理数加法法则：同号相加：同号相加： 若若a0,b0,则则a+b=若若a0,b0,b0,a0,bb, 则则a+b=2.有理数减法法则有理数减法法则 减去一个数，减去一个数， 等于加上这个数的相反数等于加上这个数的相反数. 即即 a-b=a+(-b)将减法转化为加法将减法转化为加法运算，这也体现了运算，这也体现了数学上的数学上的转化思想转化思想3.有理数的乘法法则有理数的乘法法则 1）两数相乘，）两数相乘， 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同任何数同0相乘，都得相乘，都得0.2）几个数相乘）几个

4、数相乘几个不等于几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；数决定，当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正当负因数有偶数个时，积为正. 几个数相乘，有一个因数为几个数相乘，有一个因数为0，积就为，积就为0.用数学语言描述有理数乘法法则：用数学语言描述有理数乘法法则：同号相乘同号相乘 若若a0,b0,则则 ab=若若a0,b0,b0,则则 ab=若若a0,则则 ab=数与数与0相乘相乘a为任何有理数，则为任何有理数，则 a0= 0+-4.有理数除法法则有理数除法法则除以一个数等于乘上这个数的倒数除以一个数等于乘上这

5、个数的倒数; 即即b1ab=a (b0) 两数相除两数相除,同号得正同号得正,异号得负异号得负,并把绝对值相除并把绝对值相除; 0除以任何一个不等于除以任何一个不等于0的数的数,都得都得0.将除法转化为乘法将除法转化为乘法运算，这也体现了运算，这也体现了数学上的数学上的转化思想转化思想5.有理数有理数的乘方的乘方 求求n个相同因数的积的运算个相同因数的积的运算,叫做乘方。叫做乘方。正数的任何次幂都是正数；正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数负数的偶次幂是正数.即aaa a= n 个an指数指数 底数底数 幂幂6.有理数的混合运算有理数的混合运算

6、1）有括号，先算括号里面的；）有括号，先算括号里面的；2）先算乘方，再算乘除，）先算乘方，再算乘除， 最后算加减；最后算加减；3）对只含乘除，或只含加减的）对只含乘除，或只含加减的 运算，应从左往右运算。运算，应从左往右运算。二、有理数的运算律1)加法交换律a+b=b+a2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)3)乘法交换律ab=ba4)乘法结合律(ab)c=a(bc)5)乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac 解答有理数的计算题时，巧用运算解答有理数的计算题时，巧用运算律，常常能够避繁就简，变难为易，提律，常常能够避繁就简，变难为易，提高解题的速度和准确性。高解题的速度和准确性。1、

7、巧用加法的交换律和结合律进行、巧用加法的交换律和结合律进行 简便计算简便计算（1）把正负数分别结合相加；）把正负数分别结合相加；（2）把互为相反数或相加得整数的数结合相加；）把互为相反数或相加得整数的数结合相加；（3）把整数、分数、小数分别结合相加；）把整数、分数、小数分别结合相加； （4）把分母相同或分母有倍数关系的数结合相加。）把分母相同或分母有倍数关系的数结合相加。 2、巧用乘法的交换律和结合律、巧用乘法的交换律和结合律（1）把互为倒数的因数结合相乘；）把互为倒数的因数结合相乘；（2）把便于约分的因数结合相乘；）把便于约分的因数结合相乘；（3）把乘积为整数或末尾产生零的因）把乘积为整数或

8、末尾产生零的因数结合相乘。数结合相乘。3、巧用分配律，、巧用分配律，可以正用分配律：可以正用分配律：a（b+c）= a b+ac；或反用分配律：或反用分配律：a b + ac = a（b+c）；）；或先拆开后，再运用分配律。或先拆开后，再运用分配律。（2）先将除法统一成乘法，再运用乘法分配律先将除法统一成乘法，再运用乘法分配律进行计算。进行计算。1276521（2）( ) ( )12(242339361（1）直接计算较复杂，而）直接计算较复杂，而 靠近整十数靠近整十数40，可以，可以考虑用考虑用40 ，从而利用乘法分配律简化计算。，从而利用乘法分配律简化计算。242339241例例1、 计算计

9、算分析：（1）（3）1276521( )361( )= 18 30+21= 27)12(242339（1）= 480 += 1276521（2）( ) ( )361=分析：分析： 除法没有分配律，本题应先算小括号里除法没有分配律，本题应先算小括号里的，再算除法。的，再算除法。（3）1276521( )361( )但对比第二小题，发现但对比第二小题，发现AB与与BA互为倒数互为倒数,则可以将第（则可以将第（3）题转化为第（）题转化为第（2）题，以实现）题，以实现计算的简化。计算的简化。（2）( ) ( )3611276521解：原式的倒数解：原式的倒数=( ) ( )1361276521= 27

10、所以原式所以原式=1271、若算式中出现较复杂的分数，应先看它、若算式中出现较复杂的分数，应先看它靠近哪个整数、整十数、整百数，可以将靠近哪个整数、整十数、整百数，可以将它转化成这个整数和分数的和（差），然它转化成这个整数和分数的和（差），然后利用运算律简便计算。后利用运算律简便计算。2、有时可以将算式中的一部分看作一个整、有时可以将算式中的一部分看作一个整体，考虑用体，考虑用“整体思想整体思想”来处理。来处理。3、除法运算不能使用运算律，不妨将它转、除法运算不能使用运算律，不妨将它转化成乘法运算，或求原式的倒数，从而能化成乘法运算，或求原式的倒数，从而能利用运算律简化计算。利用运算律简化计算

11、。7312()3056318199919191(2000)191938000 137999 （）（）1819991919 （）（1）（2）（1）解：解：35307（）312()563307（）23（）307（）16（）307（）= + + = = 118520777原式的倒数原式的倒数7312()30563（2）所以原式所以原式= 1312()563)307(1）该巡警巡逻时离岗亭最远是多少）该巡警巡逻时离岗亭最远是多少km？2）在岗亭北面）在岗亭北面6km处有个加油站，该巡警巡逻处有个加油站，该巡警巡逻 时经过加油站几次？时经过加油站几次？3）A在岗亭的哪个方向？距岗亭多远？在岗亭的哪个方向

12、？距岗亭多远？4）若摩托车每行）若摩托车每行1km耗油耗油0.3L，那么该摩托车这，那么该摩托车这天巡逻共耗油多少天巡逻共耗油多少L?某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在某天他从岗亭出发，晚上停留在A处。处。规定向北方向为正，当天行驶记录如下规定向北方向为正，当天行驶记录如下（单位：（单位：km）：）：+10，-8，+6，-13，+7，-12，+3，-2+10-8+6-13+7-12+3-2以岗亭为原点，以岗亭为原点，1千米为千米为1个单位长度，画出个单位长度，画出数轴，并在数轴上表示出当天的行驶记录：数轴，并在数轴上表示出当天的

13、行驶记录：+10，-8，+6，-13，+7，-12，+3，-2解：解：1）该巡警巡逻时离岗亭最远是该巡警巡逻时离岗亭最远是10km；2）在岗亭北面）在岗亭北面6km处有个加油站，该巡警巡处有个加油站，该巡警巡逻时经过加油站逻时经过加油站4次；次；3）A在岗亭的南边在岗亭的南边9km。+10-8+6-13+7-12+3-2=-9（km）+10-8+6-13+7-12+3-2以岗亭为原点，以岗亭为原点，1千米为千米为1个单位长度，画出个单位长度，画出数轴，并在数轴上表示出当天的行驶记录：数轴，并在数轴上表示出当天的行驶记录：+10，-8，+6，-13，+7，-12，+3，-2解：解：4）摩托车的耗

14、油量与行驶的方向无关，只与）摩托车的耗油量与行驶的方向无关，只与行驶的路程有关，所以只需将行驶记录的数据行驶的路程有关，所以只需将行驶记录的数据的绝对值相加求路程。的绝对值相加求路程。10+8+6+13+7+12+3+2=61（km）61 0.3=18.3（L）该摩托车这天巡逻共耗油该摩托车这天巡逻共耗油18.3L。利用数轴进行有理数的相关计利用数轴进行有理数的相关计算，可以形象直观的解决问题。算，可以形象直观的解决问题。这也体现一种非常重要的数学这也体现一种非常重要的数学思想思想数形结合。数形结合。若若a、b是有理数，且是有理数，且ab 0，则则 的值不可能是（的值不可能是（ ）（A）-2

15、（B）0 （C）1 （D）2|bbaa分析：若分析：若a是任意有理数，那么根据绝对值是任意有理数，那么根据绝对值的性质，的性质，a就要分情况讨论：就要分情况讨论：a=a (a为正数为正数)0 (a为为0)-a (a为负数为负数)由由ab 0 可知可知a、b均不为均不为0，则，则a、b都有两都有两种可能：正数或负数。种可能：正数或负数。a 为正数时，为正数时，a=a，则，则 =1a 为负数时，为负数时，a=-a，则，则 =-1b 为正数时，为正数时，b=b，则，则 =1b 为负数时，为负数时，b=-b，则，则 =-1所以，当所以，当a、b都为正数时，原式都为正数时，原式=1+1=2当当a、b都为

16、负数时，原式都为负数时，原式=-1+（-1）=0当当a为正数，为正数，b为负数时，原式为负数时，原式=1+（-1）=0当当a为负数，为负数，b为正数时，原式为正数时，原式=-1+1=0当当a、b一正一负时，原式一正一负时，原式=1+（-1）=0同样，同样，若若a、b是有理数，且是有理数，且ab 0，则则 的值不可能是（的值不可能是（ ）（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2|bbaaC分四种情分四种情况讨论况讨论只需分三种只需分三种情况讨论情况讨论分析：分析：若若a、b、c是有理数，且是有理数，且abc 0，则，则 的值是的值是 。 ccbbaa分析：若分别讨论分析：若分别讨论a、b、c的情

17、况，则情的情况，则情况较多，不妨参照上例，进行如下分类：况较多，不妨参照上例，进行如下分类：（1）abc三个都是正数三个都是正数（2）abc中两正一负中两正一负（3）abc中一正两负中一正两负（4）abc三个都是负数三个都是负数3、1、-1、-3与绝对值有关的问题，往往需与绝对值有关的问题，往往需要分情况讨论，而且随着分类要分情况讨论，而且随着分类的标准不同，解题的繁简程度的标准不同，解题的繁简程度也不同，但无论如何分类，都也不同，但无论如何分类，都要注意不重复不遗漏。要注意不重复不遗漏。23已知点已知点A、B在数轴上分别表示在数轴上分别表示a、b 对照数轴填写下表：对照数轴填写下表： ab6

18、 6-6-6-6-6-6-62 2-1.5-1.54 40 04 4-4-4-10-10 -1.5-1.5A A、B B两点两点的距离的距离2aABb6aABb10aABb2aABb12aABb0a（b）A（B) 若若A、B两点间的距离记为两点间的距离记为d，试问试问d和和a、b有何数量关系？有何数量关系？a6 6-6-6-6-6-6-62 2-1.5-1.5b4 40 04 4-4-4-10-10 -1.5-1.5A A、B B两点两点的距离的距离26102120从表格中的每组数据来看：从表格中的每组数据来看： d=a-b或或b-a d=a-bd=b-ad=b-ad=b-a d=a-b所以所

19、以 d=| ab | 能用统一的形能用统一的形式来表达吗？式来表达吗？绝对值就是指数轴绝对值就是指数轴上表示一个数的点上表示一个数的点到原点的距离到原点的距离d能用含绝对值的能用含绝对值的形式来表达吗？形式来表达吗？=|a-b| =|a-b| =|a-b| =|a-b| =|a-b| (3)利用（利用（2）中的结论回答下列问题：）中的结论回答下列问题：数轴上表示数轴上表示x和和-1的两点的两点A和和B之间之间的距离是的距离是 ，如果如果A和和B两点之间的距离两点之间的距离d=2，那么，那么x为为 ； d=| ab | | x(-1) | 即即| x+1 |-3或或1当代数式 x+1 + x-2

20、 取最小值时，相应的x的取值范围是 。本题即求数轴上哪个点到表示本题即求数轴上哪个点到表示-1的点距离的点距离与到表示与到表示2的点的距离的和最小。的点的距离的和最小。观察数轴易得，当表示观察数轴易得，当表示x的点在表示的点在表示-1和和2的点之间时，距离之和最小。的点之间时，距离之和最小。x-1x2联系前几问，不难想到联系前几问，不难想到 x-2 可以表示数可以表示数轴上表示轴上表示x的点与表示的点与表示2的点之间的距离。的点之间的距离。本题还有其本题还有其他方法吗？他方法吗？当当x2时，时， x+1 + x-2 =x+1+x-2=2x-1所以当所以当-1x2时，时， x+1 + x-2 有

21、最小值为有最小值为3注意：分情况讨论后，通常要考注意：分情况讨论后，通常要考 虑临界点是否符合题意。虑临界点是否符合题意。对于含有绝对值符号的加法运算，对于含有绝对值符号的加法运算，常用方法有：常用方法有：1、对、对x的取值进行分类讨论求解；的取值进行分类讨论求解；2、利用绝对值的几何意义，利用数轴、利用绝对值的几何意义，利用数轴 入手。入手。方法方法2更直观形象，结合数轴可以直接更直观形象，结合数轴可以直接得出答案。得出答案。 x+3 可看作表示可看作表示x的点到表示的点到表示-3的点的距离；的点的距离； x+1 可看作表示可看作表示x的点到表示的点到表示-1的点的距离；的点的距离； x-1

22、 可看作表示可看作表示x的点到表示的点到表示1的点的距离。的点的距离。由图可知，当由图可知，当x为为-1时，它到表示时，它到表示-3、-1、1的点的的点的距离之和最小。即距离之和最小。即 x+3 + x+1 + x-1 的的最小值为最小值为41、 求代数式求代数式 x+3 + x+1 + x-1 的最小值。的最小值。2、（、（1）工作流水线上顺次排列）工作流水线上顺次排列3个个工作台工作台A、B、C，一只工具箱应放，一只工具箱应放在何处，才能使工作台上操作机器在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？的人取工具所走的路程最短？（2）如果工作台由）如果工作台由3个改为个改为4个呢，

23、那么个呢，那么工具箱应如何放置能使工具箱应如何放置能使4个操作机器的人个操作机器的人取工具所走的路程之和最短？取工具所走的路程之和最短？点拨：把流水线看成数轴，工作台、工具箱看点拨：把流水线看成数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样就找到了解决本题的模作数轴上的点，这样就找到了解决本题的模型型数轴，将本题转化为上题的形式来求。数轴，将本题转化为上题的形式来求。24先阅读，然后解答问题先阅读，然后解答问题计算计算1+5+52+53+52010的值。的值。先观察算式中的数，发现后面的数都是前面的数先观察算式中的数，发现后面的数都是前面的数的的5倍，针对此题特点，可设原式为倍，针对此题特点，可设原

24、式为S=1+5+52+53+52010，然后两边同乘以，然后两边同乘以5，利，利用错位相减，可求得用错位相减，可求得S，具体解题过程如下：，具体解题过程如下：设设S=1+5+52+53+52010， 两边同乘以两边同乘以5，得：，得：5S= 5+52+53+52010+52011， -，得：，得：4S=520111.所以，即所以，即1+5+52+53+52010= 为什么两边同为什么两边同时乘以时乘以5？5倍倍5S与与S有相同的部分有相同的部分,把这相同的部分消去，把这相同的部分消去，就能求出就能求出S的值的值通过阅读，你一定学会了这种解决通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请用你学到的方法计问题的方法，请用你学到的方法计算算1+3+32+33+32010 的值。的值。本题和例题相似，本题和例题相似，是有是有“”的式子，的式子，应先寻找其规律。应先寻找其规律。观察算式中的数，发现后面的数都是观察算式中的数，发现后面的数都是前面的数的前面的数的3倍，针对此题特点，可倍，针对此题特点，可设原式为设原式