运动学教学案

1、第一章运动学第一章运动学运动学只是描述物体的运动状态，而不研究物体为什么具有某种运动状态以及这种运动状态发生改变的原因。这意味着运动学需要解决以下几个基本问题：（1）.运动的描述；（2）.运动学的实际应用；（3） .不同观察者对同一物体的运动学描述。运动学理论的建立过程就是上述三个基本问题的解决过程，从而构成了运动学的理论体系。本章围绕这三个基本问题的研究展开运动学的基本内容。M.1参考系坐标系对称性一绝对运动与相对静止相统一辩证唯物主义认为，绝对运动与相对静止是辩证统一关系，只有承认事物的相对静止，才能认识事物的绝对运动；只有认识了相对静止，才能理解事物的多样性；只有承认相对静止，才能认识和

2、利用不同事物。虽然在哲学中，“运动”被理解为物质的固有属性、物质存在的方式，包括了宇宙中发生的一切变化和过程，是一个非常基本的哲学范畴，但它也包含了物理学研究的机械运动形式。也就是说，在研究物体的机械运动时，必须承认机械运动的相对静止，否则，就无法认识机械运动，无法认识机械运动的多样性，更达不到利用机械运动规律为人类服务的目的。古希腊哲学家赫拉克利特说过：“人不能两次踏进同一条河流”，其含义是，一方面，河流的运动是绝对的，永恒的；另一方面，河流的运动也存在相对静止，即人在同一次踏进的河流，是同一条河流。只有承认人同一次踏进的河流是同一条河流，人们才可能去描述该时刻河流的运动状态，才可能通过研究

3、两次河流运动状态之间的区别，去认识河流的运动。如果夸大运动的绝对性，否认相对静止的存在，如克拉底鲁所说：“人不能同一次踏进同一条河流”，那么，物体的机械运动将变成瞬息万变、不可捉摸，人们就不可能去描述河流的运动状态。可见，只有承认物体的机械运动存在相对静止这个基本的自然观念，人们才可能去认识物体的机械运动，而且是通过相对静止去认识物体的运动状态。二参考系和坐标系1 .参考系与坐标系的基本概念为描述一个物体的运动而被选作参考的另一物体或保持相对静止的物体系，称为参考系。被选作参考系的物体，必须能够用来描述物体的运动，包括物体的空间位置和方位，通常，以实物形式存在的物体和场，都可以选作为参考系。依

4、据研究问题的方便，参考系可以任意选择，选择不同的参考系，可以得到物体运动参量的不同数值，但不同参考系下得到的物体运动规律，必须是相同的，这称之为物理规律的对称性。按是否满足牛顿运动定律，参考系分为惯性参考系与非惯性参考系，满足牛顿三大定律的参考系，称为惯性参考系，反之，称为非惯性参考系。固定于参考系之上的数学坐标系，称为坐标系。坐标系是参考系的数学抽象，引入坐标系的目的,是为了方便对物体运动的定量化描述。常见的坐标系有直角坐标系（即笛卡尔坐标系卜极坐标系、自然坐标系、球坐标系与柱坐标系等。依据研究问题的方便，对物体不同的运动，需要选择不同类型的坐标系。2 .几种典型的坐标系（1） .直角坐标系

5、直角坐标系也称笛卡尔坐标系，它由三条共点且互相垂直的射线组成（如图1.1.1）；三条射线的交点O称为坐标系的原点，每一条射线分别称为坐标系的x、y、z坐标轴；三个坐标轴的方向分别由三图1.1.1直角坐标系个单位常矢量i、j、k表示。如果物体的运动局限于在一个平面内运动，通常用二维直角坐标系（只有两个独立坐标或独立参量来定量描述其运动情况。在直角坐标系重，任意矢量A可以表示为A=AxiAyjAk(1.1-1)A = AAyA(1.1-2)矢量的大小或模表不为矢量的方向也可以由它与三个坐标轴之间的夹角（口、P、）来表示，因此，这三个夹角的余弦也称矢量的方向余弦。在直角坐标系中，方向余弦满足关系co

6、s2u+cos2P+cos2了=1。(1.1-3)同时，直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量，因此满足didjdk一=0,=0,=0。（1.1-4）dtdtdt（2） .自然坐标系O为坐标原点，用质点距离原点如图1.1.2,当质点运动轨迹为已知时，在运动轨迹上任取一点的轨道长度s来确定质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位矢量4、n）作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐标系。s称为自然坐标。以后将会看到，用自然坐标来描述一般曲线运动，是很方便的。自然坐标系将矢量分解到法向和切向进行研究，法向分量与轨道的曲率有关。设轨道上P1和邻图1.1.2自然坐标系近点P2切线之间的夹角为A0

7、,两点间的路成为As,则P1的曲率(1.1-5)(1.1-6)rdk=lim二一s0sdsP1的曲率半径1dskd过轨道上一点P1，可以作很多与轨道相切的圆，如果圆的曲率与Pl的曲率半径相等，称这个圆为Pl的曲率圆。曲率和曲率半径反映了曲线的弯曲程度。在自然坐标系中，任意矢量 A可以表示为A = An n + Att V(1.1-7)随着物体的运动，单位矢量n和明勺方向不断地发生变化：法向单位矢量n始终指向曲率圆的圆心，切向单位矢量.在无限小时间范围内的变化率可以表示为（如图1.1.3)dt(1.1-8).(t)图1.1.3切向单位矢量的变化（3）.极坐标系在一固定直线上选取一点 。作为坐标原

8、点，以 。点为端点作射线，称由射线、原点和固定直线构成的坐标系为 极坐标系（如图1.1.4）,通常称射线为 极轴。在即坐标系中，用（P,8）来确定一点的位置,:表示点距原点的距离， 流示极轴与固定直线间的夹角。任意矢量通常分解为沿极轴垂直（切向）的两个分矢量，这两个方向的单位矢量通常用r。、辰示，即（径向）和与极轴A = A r。+AV(1.1-9)径向单位矢量始终在极轴上，方向由原点指向待描述点，切向单位矢量.始终与径向单位矢量垂直，方向与物体运动方向一致。在无限小时间范围内，矢量A的变化率可表示为（如图1.1.5）dAdt(1.1-10)i.s图1.1.5矢量变化率三对称性物理学中存在两类

9、不同性质的对称性，一类是某个系统或某件具体事物的对称性，常见的有结构对称、转动对称、镜像对称、时间对称、空间对称、点对称、轴对称等。另一类是物理规律的对称性。我们知道，物体运动的基本规律是不因时因地而异的，就是说，无论我们在什么时间、在哪一个地点进行物理实验，所得的基本物理规律有相同的形式.否则，这些物理规律就是不可重复的，就不是客观的普遍的科学规律了.这说明物体的运动规律对于时间的平移、空间的平移具有不变性.物理学认为，某规律在某种变换之后，若仍能保持不变，就称为具有对称性，而这种变换称为一种对称变换.例如，质点的运动方程在经过从一个坐标系平移为一个新坐标系的变换之后，仍保持原来的形式不变，

10、我们就说质点的运动方程关于坐标系的平移变换具有对称性实际上，物理规律若具有空间平移变换对称性，表明空间没有绝对的原点，可以任意选择空间的一点作为坐标原点。同样，物理规律若具有时间平移变换对称性，表明时间也不存在绝对的原点。进一步，如果运动定律在某一变换下具有不变性，必相应地存在一条守恒定律。也就是，物理定律的一种对称性，对应地存在一条守恒定律。例如，运动定律的空间平移对称性导致动量守恒定律，时间平移对称性导致能量守恒定律，空间旋转对称性（空间各向同性）导致角动量守恒定律。对自然界中各种对称性的产生和破坏进行研究，是物理学的重要内容，而从对称性出发，去探寻物质运动的规律也成为构建物理理论的一种重

11、要研究方法.关于对称性的进一步了解，可以参见本章的阅读材料。§1.2运动的叠加模型化方法考察一个实例：如图121,我们来描述地球上一个单摆振子的机械运动。首先，振子绕固定点O作简谐振动；其次，单摆随地球一起绕地轴O1O2O自转；第三，地球绕太阳公转，且地轴与公转平面间地轴O1卜单摆-一的夹角还不断变化；第四，太阳系绕银河系中心旋转，太阳如此等等。要描述单摆振子的机械运动，需要描述单_-_Ko2摆振子所参与的所有运动形式，这是比较繁杂的。图1.2.1地球上单摆振子参与的运动示意图科学研究的重要方法之一，就是把复杂的运动分解为若干简单运动形式的“叠加”，然后从简单到复杂，逐次研究各种简单

12、运动和简单运动的“叠加”规律，以达到认识一般复杂运动的目的。因此，若一个物体参与多个运动，物体最终的运动状态，是由多个分运动共同决定的，这需要研究运动的合成；另一方面，从外表看，一个物体的运动似乎十分复杂，不容易得到它的运动规律，或者很难找到决定物体复杂运动背后起主要作用的因素，但是，按傅里叶分析方法，人们总可以将这样的复杂运动分解为若干简单运动的叠加，进而在这些简单运动中，寻找到起主要作用的那个（或那些）因素，并得到对物体复杂运动的描述，这需要研究运动的分解。可见，运动的叠加是联系简单运动和现实复杂运动的桥梁，是运动学理论体系的重要组成部分。一运动叠加原理实验研究表明，矢量合成满足平行四边形

13、法则或多边形法则，正是因为矢量的这个运算法则，人们才能够将矢量在直角坐标系中表示成（1.3-1）式。仔细考察矢量的合成法则，可以得到结论：第一，如果物体依次参与三个坐标分量上的分运动，则在完成各个分运动之后的坐标位置，与三个分运动按矢量合成法则得到的位置矢量是相同的；第二，如果物体同时参与三个分量上的运动，则物体实际运动状态（如运动的轨迹等），在任何时刻都与三个分运动按矢量合成法则合成的运动状态相同；第三，如果物体只在某一个坐标方向上受到了改变其运动状态的原因，物体的总体运动状态会发生变化，但却对其余两个方向上的运动状态没有任何影响。概括这三个结论，就可以得到矢量的叠加原理或独立性原理：(1)

14、 .物体参与几个矢量方向运动的最终状态，与这些矢量按平行四边形法则合成所得的合成矢量表示的运动状态相同；物体参与的任意矢量运动，都可以等效地认为是若干分矢量的合成。(2) .物体在某一个矢量分量方向上的运动状态改变，与该矢量其它分量上的运动状态或运动状态的改变无关。运动叠加原理是以运动参量是矢量为前提的，即，只要一个物理参量是矢量，其合成与分解就一定满足运动的叠加原理。矢量的平行四边形运算法则，是运动合成与分解的理论基础。标量不满足适量运算法则，因此，讨论标量的合成与分解是无意义的，标量按代数加减法运算。将运动叠加原理应用于具体的运动形式，就可以得到各种运动形式的运动叠加原理，比如振动的叠加原

15、理与波动的叠加原理等。二理想模型化方法严格地描述物体的运动，就应该给出物体中每一个点的运动情况。在实际问题中，这往往十分复杂，甚至是不可能实现的。下面分析几个实例，然后得到处理实际物体运动的一般方法。如图1.2.2所示单摆运动，容易看出，无论小球的直径与摆长相比有多么小，小球各点的运动情况并不完全相同。事实上，当小球直径比摆长小的很多时，小球各点的运动差异可以忽略不计，此时，可以选择小球的质心作代表点，近似认为质心的运动状态代表了小球中每一点的运动状况。这样，对小球运动状况的描述不仅可大大地得到简化，而且，所得的结果也不影响对小球运动状态描述的精度。我们把这种描述小球运动状态的近似模型，称为质

16、点模型。在高中物理中，我们把图1.2.2所示的运动称为单摆，但必须注意此时有两个限制条件：其一，小球的摆角阴艮小(通常规定为氏5。)，以保证小球所受到的回复力与角位移成正比，且方向相反；其二，小球在摆动过程中，不受空气或其它阻力作用，以保证小球在摆动过程中，能量守恒。即单摆也是一个理想的近似模型。(如图1.2.3中的A点，转动一定角度后，其位图1.2.3物体绕定轴的转动图1.2.4平面机械波模型再如绕定轴转动的物体，沿切线方向肯定会有形变置并不在径向的C点，而是形变到B点)，半径OA上各点的形变情况不尽相同。但是，如果这种形变很小，以至于它们可以被忽略，那么，物体绕定轴的转动就可以视为没有形变

17、的“刚体”在绕定轴转动，使对转动物体的运动状态描述得以大大简化，我们把这种理想化模型称为刚体模型。在实际问题的研究中，忽略掉一些次要因素，把实际物理过程看作为由少数主要因素决定的理想过程，这种由少数主要因素构成的数学计算模型，称为理想物理模型；这种研究方法，称为物理学中的模型化方法。理想模型化不仅是物理学的基本方法，也是所有自然学科的基本研究方法，对任何实际问题的研究，首要的任务就是抽象理想模型，否则，定量研究就不可能。今天，人们不仅习惯了在自然科学中使用模型化方法，而且正尝试将模型化、定量化方法引入传统的社会科学中，出现了一系列自然科学与社会科学的交叉学科，如教育统计学，模糊数学，物理经济学

18、等等。任何理想模型，都是对实际问题的近似和抽象，依据研究问题的精度不同，可以提取不同近似程度的理想模型，反过来，一旦理想模型被确定，理论研究结果与实际物理过程的接近程度也被确定，因此，任何一个理想模型，都有一定的适用范围，这个范围，常常就是人们所说的理论的适用条件。在学习任何一个理论或阅读任何一篇文献的时候，都应该首先弄清楚这些理论所对应的理想模型。随着研究问题精度的提高，原有的理想物理模型可能就不再适用，这时，人们往往不是简单地在原有模型的基础上继续添加以前被忽略的“次要因素”，而是以原有简单的理想模型为基础，适当地增加修正项，并以原有结果为基础，作适当的修正计算得到新的近似结果。这种思想对

19、应的数学工具，常常是不同阶的级数展开。二质点与刚体当物体的线度（几何形状）对其运动状态的影响可以忽略不计时，用一个集中了物体所有质量的数学点来代表物体运动状态，称此点为质点；称这种抽象模型为质点模型。如果不考虑物体的形变与转动（即物体只作平动），质点模型严格地代表了物体的运动状态，因为此时物体各点的运动状态是完全相同的。如果物体存在形变或转动，但这些因素对物体总体状态的影响可以忽略不计，此时，质点模型只近似代表了物体各点的运动状态。对前一种情况，分析物体受力时，将简化的质点恢复成具有形状和大小的物体与直接采用质点模型进行分析，不会产生任何差别，对应于中学讨论的物体受共点力问题。对后一种情况，必

20、须将物体受力平移到质心，将非共点力近似认为成共点力，即需要忽略或暂时不考虑物体所受的力矩或物体转动对其总运动状态的影响。当物体的形变对其运动状态的影响可以忽略不计时，将物体看作为一个不发生任何形变的数学几何体，称此几何体为刚体；称这种抽象模型为刚体模型。与质点模型相比，采用刚体模型处理实际问题时，记入了物体大小与几何形状对物体运动状态的影响，忽略的仅仅是物体的几何形变对其运动状态的影响。在分析受力时，必须准确分析物体受力的三要素，考虑力矩或转动状态对物体各点运动状态的贡献，对应于中学物体所受的非共点力情况。实际上，引入刚体模型的主要目的是研究物体的转动状态。§1.3描述一般曲线运动的

21、线参量与角参量定量研究的基本方法是：抽象出理想模型，在此基础上，引入描述物理状态或过程的特征参量,然后建立各特征参量之间的数学函数关系式，进而得到定量的理论体系。抓住各类运动的基本特征，合理地引入描述这些运动特征的物理参量，是定量研究中很关键的步骤。所谓合理地引入物理参量，是指引入的参量能够方便地描述物体的运动；同时，所引入的物理参量，都必须能确切地描述物体的运动，即通过这些物理参量的差别，能够表征出两个作任意相似运动物体运动状态的差异。在机械运动的描述中，通常有时间参量，描述一般曲线运动的线参量、描述刚体转动的角参量、描述具有周期性运动的振动与波动参量，每一组参量，都能确切地描述物体所作的机

22、械运动，只是不同类别的参量，在描述不同机械运动形式时的方便程度不一样而已。我们把几类运动学参量放在一起集中讲述，目的是请读者体会：对具有不同特征的机械运动，如何引入适当的物理参量，使得对这些机械运动的描述变得更加方便。一时间参量1 .时间的描述时间是描述物质持续性、顺序性的物理参量。所谓持续性是指任何一个物体的运动都要经历一个或长或短的过程，所谓顺序性是指物质不同运动状态之间总存在一个先后顺序关系。时间的持续性与顺序性表明，时间具有一维性，即从过去、现在到将来方向发展，并且一去不复返。现实生活中，人的主观感觉能够感受到时间的流逝，这种主观感觉的时间称为主观时间。2 .时间的测量方法与计量标准连

23、续的主观时间是不可能测量的，任何的连续区域都不可能在其自身内部包含它的量度！只有借助测量工具一一时钟，用它将先后发生的物理事件与定量的数字联系起来，才可能测量两个物理事件的时间间隔，即时间。可见，度量时间的前提条件是：找到物质的某种运动属性，这种属性首先容易被定量标度，其次还必须能够和被测量的物理事件建立起一一对应关系，以定量标度被测量物理事件发生的先后秩序。这样，同时性概念就被提出来了，因为我们说火车七点钟到达，就是说火车到达时，钟表刚好运动到被定量标度的数字七，这两个物理事件必须同时发生。时间的测量是以同时性概念为基础的！如何判断两个物理事件是同时发生的呢？我们先给出两条基本假设和一个实验

24、结论：假设1:在同一惯性参考系中，同一地点发生的两个物理事件，其同时性是可以被实验判断的。假设2:在同一惯性参考系中，测量到两确定空间点的距离是相同的。迈克尔逊-莫雷实验结果：光在真空中的传播的速率均为c,与信号源的运动无关。现在来讨论在同一坐标系中，不同空间点的时间校准问题（即空间各点的同时性校准问题）。由假设1,可以在该坐标系的空间各点定义一个时间，称为地方时间。由假设2,总可以找到两确定空间点的中点，指示两空间点的实验员，发出光信号，如果在中点的观察者发现两列光信号同时到达，由迈克尔逊一莫雷实验结果，则称两确定点的地方时间已被校准。即原则上，同一惯性系的地方时间是可校准的。可见，同一惯性

25、系，可以有统一的时间表示，称这种同一惯性系的统一时间表示为惯性系时间。这也同时意味着，在惯性系中，有理由用（x,y,z,t）来表示物理事件发生的空间位置与时间了。有了惯性系时间，就可以在同一惯性系下对时间进行定义和测量了。随着科技的进步，人们找到了愈来愈稳定的物质运动属性来度量时间1,历史上，曾规定了天文秒”，即规定1秒的长度等于1900年地球连续两次通过春分点时间的1/31556925.9477。1967年，第13届国际计量大会决定采用葩原子钟作为新的时间计量标准，定义1秒的长度等于与葩133原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的9192631770倍。这个测量精度可以达到10-1

26、310-12秒。近年来，一些科学家还建议按射电脉冲星来校正时间标准。在某些，f#况下（如射电天文学中），保持时钟在确定时间间隔内（如1小时）的高度稳定性，比绝对时间精度更重要，此时，人们选用原子氢激射器，其稳定度比葩原子钟高100倍，在数小时内其频率变化不超过10-15。在所有物理量中，时间是目前人类测量得最准确的物理量。就象人类能够对极其细小的微观世界进行认识一样，如果人类能够对极短的时间过程进行测量（如psfs量级，即10-1210-15秒），那么，许多现在还不为我们认知的现象与过程，就会在精细的实验室中被展现出来，如DNA分子的复制与病变过程，原子间的化合反应过程，生物个体内的各种生命过

27、程等。最近几十年，关于时间瞬态过程与测试技术的科学研究，正蓬勃兴起。20世纪初，随着人们对空间微观世界的认识，诞生了量子力学，那么，随着人们对时间的瞬态过程研究，是否也会发现新的物理规律或新的物理现象？上世纪80年代，人们在研究瞬态电磁学时，发现了瞬态电磁波具有慢衰减等一些新现象赵凯华 罗蔚茵.力学高等教育出版社，1995.7第一版，2001.5第8次印刷 P8P11阮成礼 电磁导弹概论（全国高技术重点图书），北京，邮电出版社，1994.杨宏春 阮成礼.脉冲波形对其传输特性影响的研究 .电子与信息学报，25（10）, 2003.10,至今还处于研究之中。3 .绝对时间我们先给出一个基本假设：假

28、设3:光在真空中的传播速度为无限大，或光在真空中传递有限距离时，不需要时间。在假设3的前提下，重新分析图1.3.1的实例，容易得到结论：在S系、S'系中，光信号会同时到达P1、P2,即在一个惯性系下观察到的两个同时发生的物理事件，在另外一个惯性系下观察到它们也是同时发生的两个物理事件。同时性不再具有相对性，而是具有绝对性！由此不难推断：可以找到一个宇宙时钟，它可以标度宇宙的统一时间！时间对任何惯性系来说，都是均匀流逝的！亚里斯多德在他的著作物理学中论述道：“时间之流逝，处处皆同，与万物无关”；牛顿在他的著作自然哲学的数学原理中写到：“绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，而且由于其本

29、性而在均匀地、与任何其它外界事物无关地流逝着”。这种把时间看作为与物质、物质运动无关，孤立、永恒存在，而且均匀流逝的观念，称为绝对时间观念。绝对时间是假设3的必然结果，但当惯性系间的相对运动与光速相比，可以忽略不计时，绝对时间就具有了合理性，这正是牛顿力学的适用条件。4 .时间的含义我们以辩证唯物主义的一些论断来归纳时间概念的基本含义：“时间具有持续性与顺序性，或一维性”；“世界上除了运动着的物质，什么也没有，而运动着的物质只有在空间和时间之内才能运动”；“时间和空间是绝对性与相对性的统一”；“时间和空间是有限性与无限性的统一”。二描述一般曲线运动的线参量当物体作平动或一般曲线运动时，人们通常

30、采用质点模型来描述物体的运动，描述质点运动的参量通常有：位置矢量、位移矢量、速度矢量和加速度矢量。通常称这几个物理参量为描述一般曲线运动的线参量。1.位置矢量与运动方程(1) .位置矢量对质点运动状态的最粗略描述，就是指明某一时刻，质点所处的空间位置和方位。时刻t,由坐标原点指向质点的有向线段，称为t时刻质点的位置矢量，位置矢量也简称位矢。位置矢量的直角坐标表示为r=xiyjzk(1.3-1)位置矢量的长度，称为位矢的模2'2'2r=r=yxyy+z(1.3-2)按国际单位制(SI),长度与距离的单位是m(米)。质点P相对原点O的方位，由方向余弦表示co«s=x,co

31、sp=,cos?=Z(1.3-3)rrr在直角坐标系中，方向余弦满足如下关系cos2工"cos2:cos2=1(1.3-4)对直角坐标系的任何矢量，(1.3-2)(1.3-4)式总是成立的，在以后讨论位移、速度和加速度矢量等物理参量时，我们不再罗列这几个式子。(2) .运动学方程与轨道方程质点的运动状态或运动状态的变化情况，可以通过位矢随时间和空间位置的变化来描述。位矢随时间变化的函数，称质点的运动学方程。在运动学方程中，消去时间t,得到质点的空间运动轨迹方程，称为质点的轨道方程。一旦知道了质点的运动学方程，质点的运动状态和运动状态的变化情况就被唯一确定了，因此，运动学的根本任务之一

32、就是要给出物体的运动学方程。质点运动学方程的直角坐标表示为r(t)=x(t)iy(t)jz(t)k(1.3-5)质点运动学方程的直角坐标分量表示为x=x(t),y=y(t),z=z(t)(1.3-6)值得注意的是：运动学方程的分量式实际反映了运动的叠加性。由(1.3-5),得到直角坐标系下质点运动的轨道方程为f(x,y,z)=0(1.3-7)求解质点运动学方程和轨道方程的基本方法是：首先，写出质点在各坐标分量上的运动规律，即(1.3-6)式，得到运动学方程的矢量形式(1.3-5);其次，在运动学方程的分量表示中，消除时间参数t,就可以得到轨道方程(1.3-7)。例1.3.1质点从图1.3.3中

33、A点开始做匀速圆周运动, 解：运动学方程质点运动学方程的直角坐标分量表示为x=Rcos(st), y=Rsin(Kt)质点运动学方程的直角坐标表示为r(t) = Rcos( t)i Rsin( t)j写出质点的运动方程与轨道方程。由质点运动学方程的直角坐标分量表示式，消去时间t,得到质点运动的 轨道方程为2.位移与路程位矢给出了任意时刻质点所处的空间位置与方位，但对质点运动状况的描述，往往还需要知道某段时间内，质点运动状态的变化情况。如图 1.3.4,在时间t内，由初始位矢指向末位矢的有向线段，称为位移。在时间t内，物体运动轨道的长度，称时间t内物体运动的 路程。位移与路程分别描述了在给定时间

34、范围内，质点总体的位置改变情况及所经历的实际轨迹是对时间t内，质点运动状态所发生变化的总体描述。位移矢量的直角坐标表示r = r(t t) -r(t) = .：xi yj zk(1.3-8)位移矢量的模rr = J'x2 + Ay2 +Az2(1.3-9)讨论(i).路程As和位移笈的区别与联系图1.3.4位移矢量路程是标量，位移是矢量，一般地，总有As4闵成立；只有在质点做单向直线运动的情况下才有丝=|倒。但是，下面的等式在任何情况下都是成立的(1.3-10)山mr=Lms或dr=ds(ii).r身Ar的区别(1.3-11)其中，方、电分别表示沿位移矢量方向和位移矢量法线方向的单位矢

35、量。3.速度与速率描述质点在时间t内运动状态的变化，不仅需要描述质点运动状态的总体变化，还需要描述质点在运动过程中位置矢量或路程的变化快慢，因为，时间t内具有相同位移或路程的质点，其运动状况并不一定完全相同。引入平均速度、速度（瞬时速度卜速率与平均速率参量，来描述质点位置矢量或路程的变化快慢。（1）.平均速度在四时间间隔内，质点发生的位移Ar与At的比值，称为平均速度。23平均速度的直角坐标表示rrtAtxtyzzi+j+k=：t.=ttVxi+Vyj+Vzk(1.3-12)用平均速度反映质点运动的快慢程度，是比较粗糙的，因为它反映的只是位移在一段时间内的平均变化快慢。为此，引入速度（瞬时速度

36、）参量，用以反映位移瞬时变化快慢。（2）.速度（瞬时速度）当At->0时，Ar/At称为速度（瞬时速度）。V=lim互=dr.t：0tdt速度的直角坐标表示v="=dxi+dyj+-dzk=vxi+vj+vzkdtdtdtdtVxVyVz直角坐标系下，速度的模(1.3-13)(1.3-14)2/dy、2/dZ2222+(dt)+(dt)=(Vx)+(Vy)+(Vz)(1.3-15)（3）.速率（瞬时速率）与平均速率当AtT0时，As/At称为速率（瞬时速率）。(1.3-16)速率的直角坐标表示由（1.3-10）与（1.3-16）式，可得drdy9_,dSdx2y2dz2222广

37、出二不二遍)(dt)(dt)=、(Vx)(Vz)(1.3-17)即，速度的大小就是速率。在四时间间隔内，质点发生的位移As与At的比值，称为平均速率。V（1.3-18）t值得注意的是：瞬时速度的大小等于速率，但不一定等于平均速率；平均速度的大小不一定等于平均速率。例1.3.2已知一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为：x=4.5t2-2t3。求：（1）.第二秒内的平均速度；（2）.第二秒末的瞬时速度；（3）.第二秒内的平均速率。解：（1）.第二秒内的平均速度；_x.x(2)-x(1)v=i=.：t2-1i=0.5i(m/s)(如何理解平均速度前的负号？)(2) .第二秒末的瞬时速度v=dxi=

38、(9t6t2)idt当t=2s时，v=-6m/s。(3) .第二秒内的平均速率由(1.3-18)式，求解平均速率时首先应当判断物体运动方向是否有改变,即判断速度的方向是否有改变，由问题(2),知道物体运动方向发生改变，于是令解得v=i=(9t-6t2)i=0dtt=1.5ss=x(1.5)-x(1)+x(2)-x(1.5)=2.25v-S=2.25(m/s)例1.3.3依据速度的定义，写出速度在自然坐标系与极坐标系下的数学表达式解：速度在自然坐标系下的表达式在自然坐标系中，速率的定义(1.3-16)式仍然适用，则t时刻质点的速率为由图1.1.1及导数的几何意义，在自然坐标系中，速度可以表示为s

39、_ds_v=ljm-T-TvTt0tdt表示轨迹上任意一点的切线方向，上时中最后两个等号利用了速度在极坐标系下的表达式(1.3-10)式。如图1.3.5,在极坐标系中，规定沿质点的位置矢量表示为r方向的单位矢量为r0,与ro垂直的单位矢量记为n,t时刻r(t)=r(t)r。由速度的定义，极坐标系下的速度为v噜(r%)=drr0r普dtdtdt由图1.3.5,有图1.3.5.径向速度与切向速度Ar0=r00n=dr0rdtindt定义drdrVr三£%,Vn三r*ndtdt容易看出，Vr表示质点沿径向的速度，称径向速度，Vn表示质点沿横向的速度，称横向速度。值得注意的是，在直角坐标系中

40、，单位矢量是常矢量，随时间的变化率为0,而在自然坐标系与极坐标系中，单位矢量的方向是不断变化的，随时间的变化率不为0。4.平均加速度与加速度引入平均加速度与加速度的目的，是为了描述时间t内，质点速度的变化快慢。(1).平均加速度与加速度给定时间内，质点速度的平均变化快慢，称为平均加速度。a=且寸时刻t,质点速度的变化快慢，称为加速度。(1.3-19)a二lim0号二年加速度与速度改变量的方向一致，与速度本身方向没有必然联系。(1.3-20)(2)不同坐标系下加速度的表示加速度的直角坐标表示a/vxdtdVy.dtjddtzk(1.3-21)a=嚓idt2乌dt2吟kdt2(1.3-22)以ax

41、、ay、az代表a的直角坐标分量，有(1.3-23)a二axiayjazk加速度的直角坐标分量为加速度的大小axdvx"dT_ d2x dt2aydVy"dT_ d2 y dt2dvz _ d2zdt dt2(1.3-24)2 2 2x ay az(1.3-25)加速度的自然坐标表示由例题1.3.3,在自然坐标系中，质点运动的速度V=dsTdt于是，加速度为P1On L/ P2、下日1曲率园器竽(1.3-26)dtdtdt利用速率的定义(1.3-16)式图1.3.6切向加速度与法向加速度a噜pvddf(1.3-27)式中，v表示质点运动的速率，现讨论第二项中求导因子的物理含

42、义。由图1.3.6,有dt忑心日da”=li*=limn=亚n(1.3-28)dt.J0.：t.J0.：tdt(1.3-29)dididsvdt-dsdt-p上式中，利用了曲率半径的定义式(1.1-6),将(1.3-28)(1.3-29)式代入(1.3-27),有a=dv忑+、n=a三忑+ann(1.3-30)其中a=当，an=v-2(1.3-31)dt-a2弋表质点在切线方向速率变化的快慢，称为切向加速度；%表示质点速度方向变化的快慢，称为法向加速度。作一般曲线运动的质点，其总加速度的大小为a=Ya2+a2=闺(1.3-32)方向tg二-an(1.3-33)a.值得注意的是，(1.3-31)

43、式中，v是指速率，而不是速度。例1.3.4某质点在xoy平面内运动，运动方程为：x=2t(m),y=t2(m)。求：(1).第1s末的加速度、切向加速度、法向加速度以及质点的轨道半径；(2) .质点在第1s到第3s之间所走过的路程。解：(1).第1s末的加速度、切向加速度、法向加速度以及质点的轨道半径由题给条件，可以写出质点的运动学方程为2r(t)=2tit2j加速度a=d-7r=2jdt2加速为常数，当t=1s时，有沿y方向的加速度，大小为2(m/s2)。切向加速度与法向加速度质点运动的速度v=dr=2i2tjdt于是质点运动的速率v=v=河+v2=J22+(2t)2当t=1s时aT

44、1;=df|t#=看，22+(2t)2|y=行(m/s2)法向加速度an=a2-at2=.2(m/s2)22质点的轨道半径an=v-；=L=4.、2(m/s2):an(2).质点在第1s到第3s之间所走过的路程s=jvdt=j，22+(2t)2dt=V1TF+ln(t+<T7t2)3=9.98(m)例1.3.5判断下列写法是否正确_ _ dV(2) a.=dvdtdvdt(4) a =Vdt(5).drdtdsdt解：这个题目涉及到加速度、切向加速度、速率的定义，矢量与矢量大小的微分运算等知识。对任意 矢量A,注意以下运算关系(i) . A =AlA2(ii) . |AA =J|4A|2

45、 十|iA2|2 =As(当日 t 0 时)(iii) . AA = A(t+At) A(t)= |AA2(当日 t 0 时)dAdA(iv) . dA =(矢量模的运算法则)dtdt注意到以上四个运算关系，并结合相关物理量的定义，就容易判断(4)和(5)式是正确的。三描述刚体转动的角参量引入位矢、速度和加速度参量， 可以从粗略到细致地描述质点的一般曲线运动,或者说用这一组物理参量，可以方便地描述出质点运动的特征。但是，用它们描述质点的封闭曲线运动(如圆周运动)或刚体的转动，则并不十分简便。如图1.3.8,在离转轴不同距离的质点,其位移改变量或运动的路程、速度等参量是不同的，用线参量描述刚体的

46、 转动状态，必须指明是离转轴多远质点的线参量；不仅如此，即便给出了 确定点的线参量，也很难直观地描述出刚体转动的角度及转动的快慢程度。 因此，尽管从原则上，质点的封闭曲线运动或刚体转动这类机械运动，仍 然可以用线参量进行描述，但这种描述方法不是方便的。容易看出，刚体图1.3.8刚体转动上任意质点的运动，在任意相同时间内，转过的角度以及转动随时间的变化规律，总是相同的，依据这个基本特征，人们引入了描述这类机械运动的角参量。与引入线参量的方法类似，角参量的引入，也是由粗略到精细，先整体后过程，逐步、直观地描 述封闭曲线或刚体的转动状态。与线参量相对应，角参量包括：角位移、角速度与角加速度。1.描写

47、刚体转动的角参量在t时间内，物体绕转轴转过的角度，称为 角位移；且规定逆时针方向角位移为正，顺时针方向 角位移为负。- Mt .1) ft)(1.3-34)在一般情况下，角位移并不满足矢量合成法则，因此，角位移并不是矢量。但在刚体绕固定轴转动时，角位移可以作代数加减运算。在 SI制中，角位移的 单位是弧度（rad）。某一时刻t,角位移随时间变化的快慢，称为 角速度。. = ddt-（1.3-35）角速度是矢量，方向按右手螺旋法则判定。在 SI制中，角 位移的单位是弧度（rad/s）某一时刻t,角速度随时间变化的快慢，称 角加速度。dt在SI制中，角位移的单位是弧度（rad/s2）。图1.3.9

48、角速度的右手螺旋法则(1.3-36)2.角参量与线参量之间的关系圆周运动既可以看作是刚体上某质点的转动,也可以是单质点的一般曲线运动，因此，它既可以用线参量来描述，也可以用角参量来描述。在圆周运动情况下，可以得到线参量与角参量的变换关系。设质点作半径为R的圆周运动，则速度与角速度的数量关系为(1.3-37)(1.3-38)(1.3-39)(1.3-40)dsRd二_ds=Rdf=-v=Rdtdt结合图1.3.9,容易得到圆周运动速度与角速度的矢量关系式类似地，可以得到圆周运动切向、法向加速度与角参量的关系式a上山Kdtdt2an=v二R-2nR应当注意，（1.3-17）式到（1.3-40）式是

49、在圆周运动条件下得出来的，因而只对圆周运动使用。对一般曲线运动，只在曲率圆切点附近邻域适用。四对一般曲线运动描述的应用举例1 .匀变速运动的描述附表1.3.1匀变速运动规律的描述匀变速直线运动匀变速圆周运动状态参量位置，位移r,r日，演速度V=drdtd=,方向按右手螺旋定则dt加速度advd2radtdt2d=蚂dt运动规律的描述匀速运动s=s0+vt,v=const,a=00=00+©t,0=const,P=0匀变速运动1.2s=s0+v°t+'vt22c_/_vt-v0=2a(s-%)vt=v0+at-Vo+vtxv-2，a-const0=g+80t+gPt2

50、cot2_02=2(日-00)0t=CO0+Pt00+3tR0-,Pconst2在中学，我们已经详细地讨论了作匀变速直线运动，或在某一运动方向上作匀变速直线运动质点的运动规律及计算方法，现在继续讨论角速度均匀变化的刚体转动问题。实际上，从数学角度，只要是速度均匀变化（单位时间内，速度增量相同）的运动，其速度与位移的数学计算公式都应具有相同的函数关系式，即都满足等差数列的变化规律。因此，我们直接给出匀变速运动的计算公式（见表1.3.1）。2 .运动学的两类问题运动学的基本任务就是要描述物体的运动状态，由前面的讨论可知，知道了物体的运动方程，通过微分运算，可以求解出物体的速度与加速度参量；反之，知

51、道了物体的速度或加速度，以及物体运动的初始状态，通过积分运算，也可以确定物体的运动方程。两种情况下，都可以唯一确定物体的运Vo,求船在动状态，这两类问题，构成运动学应用的两类基本问题。例1.3.6如图所示，在离水面高度为h的岸边上，有人用绳子拉船靠岸，收绳的速度恒为离岸边的距离为s时的速度和加速度。解：以l表示从船到定滑轮的绳长，则vo= dl/ dt。由图可知-22s = l -h船的速度d sv 二 一 dt_ldlJ<h2-dt负号表示船在水面上向岸靠近。船的加速度a = dvdt-ds图 1.3.10 例 1.3.6 图、s2 hV03 s1d 11v0-h2dt负号表示a的方向

52、指向岸边，因而船向岸边加速运动。例1.3.7质点在水平面内从静止开始沿半径R=2m的圆周运动，设计时起点的角位移为0,质点的运动规律表述为：«=kt2,k为常数，已知质点在第2s末的线速度为32m/s。求：t=0.5s时，质点的线速度、加速度、角位移。解：(1).t=0.5s时，质点的线速度。由题意，运动常数k应是确定的。由v=R'v=Rkt2=2kt2考虑到第2s末的线速度为32m/s。故k=42-于ZEv=8t=Vt_o.5=2(m/s)(2) .t=0.5s时，质点的加速度。质点的加速度包含切向加速度和向心加速度。2由an=v=an=2(m/s2)Ra = dv = a

53、dt2=8 (m/s )a=Ja；+a2=j82+22=8.25(m/s2)tg=亘-1-tg,=13.6a.a.(3) .t=0.5s时,质点的角位移t2二 dt 二t10.5°Aot= 0.167 (rad)f4t2dt=4t3本3tmM.4相对运动相对运动问题与对称性原理前面，我们在同一参考系下，对一些典型的运动作了描述，并得到了对应的运动规律。现在的问题是，如果不同的观察者(即选择不同的参考系)对同一物体的运动状态进行描述，所得的描述结果或运动规律相同吗？研究不同观察者所得物理规律之间的关系问题，就是通常所说的相对运动问题。研究相对运动问题的核心，是要得到不同观察者所得物理规

54、律之间的数学变换规律。很明显，不同的观察者对同一物体运动状态的描述结果不一定完全相同，例如坐在汽车里的乘客观察到道路两旁的树向后运动，而静止在地面的观察者看到道路两旁的树却是不动的。但是，我们不能由此得到结论：物体的运动状态或规律会“因人而异”！因为运动规律的基本特征是它必须具有普适性。不同观察者所观察到的物理参量结果，可以不同，但是，包含在这些参量背后的物理规律，应该是相同的、不变的，这就是所谓的物理规律的对称性。把物理规律的对称性，提升为人类认识自然规律的基本原理，称这个原理为对称性原理。狭义相对论创立之前，人类探索新的物理规律，遵循“问题t理论t实验T理论T实验的研究模式。狭义相对论创立后，爱因斯坦发现狭义相对论遵守运动的变换不变性原理，明确提出了对称性原理，并创造性地用对称性原理建立了广义相对论，自此以后，理论物理的研究方法又有了“问题T理论T理论的对称性T理论”的研究模式，理论是否满足对称性原理，也成为判别该理论是否正确的重要依据之一。二十世纪里，人类认识了与对称性有关的更多规律（如对称性与守恒量之间的关系），形成了上述两种研究模式相结合的理论物理研究方法，因此，对称性原理又被称为二十世纪