麦克斯韦速率分布律

1、2.4 2.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律（Maxwell s law of distribution of speeds）描述气体分描述气体分子的无规则子的无规则热运动热运动全同粒子，按位置全同粒子，按位置分布是均匀的分布是均匀的如何描述分子的速如何描述分子的速率和速度率和速度二二 . 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦（年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在）导出了理气在无外场的平衡态（无外场的平衡态（T）下，）下， 分子速率分布函数为：分子速率分布函数为：22/v2/3v)2(4v)v(2kTmekTmNddNf不同温度不同温度质量下，质量下，分子按

2、速分子按速率的分布率的分布函数。函数。在在800-800+dv800-800+dv速率区间，单位速速率区间，单位速率区间分子数占总分子数之比率区间分子数占总分子数之比什么含义当62310)800(/800,273,102fsmVkTgm举例：调查成年人的身高分布情举例：调查成年人的身高分布情况，并描述之况，并描述之将所有人的身高一将所有人的身高一一罗列一罗列第一无统计意义第一无统计意义（分布）（分布）第二无统计规律第二无统计规律（描述）（描述）统计抽样调查方法统计抽样调查方法100人m1.50-1.55m1.50-1.55m的人数的人数1301301.45 1.50 1.55 1.60 1.6

3、5 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95总人数总人数138013801.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.561.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.951.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95两个问题两个问题纵坐标数字仅对该次调查有效，纵坐标数字仅对该次调查有效，不能反映总体情况不能反映总体情况横轴纵轴不横轴纵轴不一一对应一一对应无法得出任无法得出任意区间的人意区间的人数数身高身高1.531.53的人不的人不是是130001

4、3000?1.53-1.55?1.53-1.55的人的人数数比如比如统计图应该：统计图应该：hN在在h-h+h-h+h h身高区间，单位身高区间，单位身高的人数身高的人数例如：例如：13000/13000/（1.55-1.55-1.50)=26001.50)=2600人人/cm/cmdhdN在在h-h+dhh-h+dh身高区间，即身高区间，即h h高度处单位身高高度处单位身高的人数占总人数之比的人数占总人数之比平均速度与平均速度与瞬时速度的瞬时速度的关系关系NdhdNhf)(在在h-h+dhh-h+dh身高区间，即身高区间，即h h高度处单位身高高度处单位身高的人数的人数人群按身高的分布函数人

5、群按身高的分布函数二二 . 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦（年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在）导出了理气在无外场的平衡态（无外场的平衡态（T）下，）下， 分子速率分布函数为：分子速率分布函数为：22/v2/3v)2(4v)v(2kTmekTmNddNf分子数按速率的分布函数分子数按速率的分布函数,是用同一尺度，是用同一尺度，-单位速率间隔和百分比来谈分布的，单位速率间隔和百分比来谈分布的，它避免了分子数它避免了分子数N和速率间隔的大小对和速率间隔的大小对分布的影响分布的影响NdvdNvf)(在在v-v+dv速度区间，即速度速度区间，即速度v v处单位速度处

6、单位速度区间分子数占总分子数之比区间分子数占总分子数之比dvvNfdN)(dvdN在在v-v+dvv-v+dv速度区间，即速度速度区间，即速度v v处单位速度处单位速度区间的分子数区间的分子数速度区间速度区间v-v+dvv-v+dv的分子数的分子数21)(dvvNfN速度区间速度区间v1-v2v1-v2的分子数的分子数问题问题1717：列式求速率在：列式求速率在700m/s-700m/s-800m/s800m/s分子数占总分子数的比率分子数占总分子数的比率800700800700)()(dvvfNdvvNf f(v)0v v +dvNNfvvvdd)( T，m 一定一定vm 气体分子的质量气体

7、分子的质量 01dvvf归一化条件归一化条件曲线下面的总面积等于曲线下面的总面积等于1。在左图上的几何意义为：在左图上的几何意义为：三三. 三种统计速率三种统计速率 1.最概然（可几）速率（最概然（可几）速率（most probable speed） f(v)0vpT，m 一定一定v，得：，得：由由 vv vv0d)(dP fTRTmkT22vp处在最概然速率处在最概然速率 v p 附近附近的分子数占总分子数的百分比最大。的分子数占总分子数的百分比最大。如图示如图示iiiiiNN vv分立情况下：分立情况下：连续情况下：连续情况下：vi v， i NNNN00ddvvvv NNNvvd0 0d

8、)(vvvfNi dNv=N f (v)dv，2.平均速率（平均速率（average speed）平均速率平均速率对麦氏速率分布经计算得：对麦氏速率分布经计算得：88vRTmkT 0d)()(vvvvf 规律：任意规律：任意v v 的函数的函数 ( (v v) )对对全体分子的平均值都可以用全体分子的平均值都可以用速率分布函数由上式求得：速率分布函数由上式求得：（与前同）（与前同）排序：排序： 3. 方均根速率（方均根速率（root-mean-square speed） RTmkT33v2mkTf3d)(022 vvvv（麦）（麦）73. 1:60. 1:41. 13:8:2:2p v v v

9、 讨论分子平均平动动能时用；讨论分子平均平动动能时用； 讨论分子碰撞问题时用；讨论分子碰撞问题时用； 讨论分子的速率分布时用。讨论分子的速率分布时用。pvv2v 例例18 设某气体的速率分布函数设某气体的速率分布函数)0(02vv v ，a )(vf)(00vv ，求：求：（1）常量）常量 a 和和 v0 的关系的关系v（2）平均速率）平均速率)(vfvv00为为解：解：1d)(0 vvf3000231dd)(0vvvvvvaaf （1）归一化条件）归一化条件303v aNNf 0d)(vvvv（2）设总分子数为）设总分子数为N， 002dvvvv a则则 0d)(vvvf404va 0403

10、043)3(41vvv （3） 202000d)(d)(vvvvvvvvvfNNf对否？对否？不对！不对！ 上式分母上的上式分母上的N应为应为 200d)(vvvNf 202000d)(d)(vvvvvvvvff323424)()(00vvaa vv 083例例19 19 容积为容积为30L30L的容器内，装有的容器内，装有20g20g气体，容器内压强为气体，容器内压强为0.50.5大气压，求大气压，求气体分子的最概然速率气体分子的最概然速率例例20 20 求温度为求温度为300K300K时，时，氮气分子的平均速率，氮气分子的平均速率，方均根速率方均根速率smMPVVp/109 . 322sm

11、RTsmRTNN/5173476822大气的组成大气的组成 地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦，地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦，但很多但很多H2H2分子和分子和HeHe原子的方均根速率超过了地原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率球表面的逃逸速率(11.2km/s)(11.2km/s)，故现今地球大，故现今地球大气中已没有氢和氦了。但气中已没有氢和氦了。但N2N2和和O2O2分子的方均根分子的方均根速率只有逃逸速率的速率只有逃逸速率的1/251/25，故地球大气中有大，故地球大气中有大量的氮气量的氮气 ( (大气质量的大气质量的76%)76%)和氧气和氧气( (大气质大气质量的量的2

12、3%)23%)。(h2(h2方均根速率方均根速率,1900m/s),1900m/s)L金属金属蒸汽蒸汽速率选择器速率选择器屏屏vt =LLv1 21v=t =,tt =令令得得：2通过改变通过改变可获得不同速率区间的分子。可获得不同速率区间的分子。2.分子速率分布的测定分子速率分布的测定斯特恩实验斯特恩实验100200100200速率区间速率区间(m/s) 百分数百分数200300200300300400300400400500400500500600500600600700600700700800700800800900800900900900100100分分子子 实实速速 验验率率 数数分

13、分 据据布布的的20.6 %20.6 %1.4 %1.4 %8.1 %8.1 %16.5 %16.5 %21.4 %21.4 %15.1 %15.1 %9.2 %9.2 %4.8 %4.8 %2.0 %2.0 %0.9 %0.9 % 1859年麦克年麦克斯韦从理论上斯韦从理论上得到速率分布得到速率分布定律。定律。 1920年斯特年斯特恩从实验上证恩从实验上证实了速率分布实了速率分布定律。定律。%0 100 200 300 400 500 600 700 800 900%0 100 200 300 400 500 600 700 800 900实验曲线实验曲线:六六. . 气体分子的平均自由程（

14、气体分子的平均自由程（mean free pathmean free path）汽油瓶问题汽油瓶问题:1858年克劳修年克劳修斯研究声音和斯研究声音和气体分子速率气体分子速率是同数量级的是同数量级的,但声音和气味但声音和气味却不能同时到却不能同时到达达粒子走了一条粒子走了一条艰难曲折的路艰难曲折的路B线度线度 10-8m碰撞规律碰撞规律使气体使气体由非平由非平衡态衡态平衡态平衡态实现实现能量能量均分均分使分使分子速子速度有度有稳定稳定分布分布气体分子自由程气体分子自由程线度线度 1010-8-8m m一个分子连续两次碰一个分子连续两次碰撞之间经历的平均撞之间经历的平均 自自由路程叫平均自由程由

15、路程叫平均自由程 zvz一个分子单位时间里一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率平均碰撞频率单位时间内分子经历的单位时间内分子经历的平均距离平均距离 ，平均碰撞，平均碰撞 次次zv设分子设分子 A A 以相对平以相对平均速率均速率 运动，其运动，其它分子可设为静止它分子可设为静止. .平均碰撞频率平均碰撞频率(mean collision frequency)(mean collision frequency)Zu 2 2d dd du2 d n n单位时间内分子单位时间内分子 A A 走走 u u ，相应的圆柱体体积为相应的圆柱体体积为 ，则则uunz 碰撞截面运

16、动方向上,以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A碰撞.该圆柱体的面积 就叫碰撞截面统计理论可计算统计理论可计算vu2所以所以vndz22nd221二、真空的概念二、真空的概念P1PdkT22nkTP P理论公式表明理论公式表明zvlZl但容器的线度但容器的线度l 实际分子的平均自由程就是容器的线度实际分子的平均自由程就是容器的线度l微观上的真空与压强无关微观上的真空与压强无关时时l例例21 直径直径5厘米的容器厘米的容器 内部充满氮气内部充满氮气,真空度真空度10-3 Pa 已知氧分子有效直径已知氧分子有效直径d=3.7*10-10m) 求求: 常温常温( (293K) )下平均自由程的理

17、论计算值下平均自由程的理论计算值 解：解：kTPn 2931038. 110233317m/1047. 2nd221172101047. 2107 . 321m66. 6例例22 22 求常温常压下（求常温常压下（300K300K，1.0131.013* *10105 5Pa)Pa)氧气分子的氧气分子的 ，已知氧分子有效直，已知氧分子有效直径径d=2.0d=2.0* *1010-10-10m) m) zand)(1030. 2272mpdkT)1 (1074. 7292svvndz)(1078. 183smRtzv2.10 气体的输运过程气体的输运过程气体的输运过程输运过程：气体由非平衡态过渡

18、到平输运过程：气体由非平衡态过渡到平衡态的过程衡态的过程非平衡态：系统各部分物理性质不均匀物理量热运动形式输运过程物理现象定向速度交换动量动量输运粘滞现象密度交换质量质量输运扩散现象温度交换能量能量输运热传导现象输运过程与物理性质不均输运过程与物理性质不均匀程度及气体分子热运动匀程度及气体分子热运动程度有关程度有关1、粘滞现象与动量输运、粘滞现象与动量输运（1）为什么交换动量，会产生内摩擦力）为什么交换动量，会产生内摩擦力VbVa)(skgdtdm)(skgdtdmVbVa列车A、B速度分别为为Va、Vb，并排行驶，特殊机械以 的速率将A、B的物质互换，求额外加多大力使A、B速度不变)(skgdtdm解：对解：对A A，设速度方向为正方向，设速度方向为正方向单位时间获得冲量单位时间获得冲量= =单位时间获得动量减失去动量单位时间获得动量减失去动量)(VbVadtdmdtdpFtmVatmVbtp由于交换物由于交换物质质A A受反向，受反向，B B受正向，大受正向，大小为小为 的力。的力。)(VbVadtdm(2)(2)牛顿粘滞定律牛顿粘滞定律sdzdvdtdpF（3 3）微观分析）微观分析 由于分子热运动，不同流层分子相由于分子热