第7章_线性离散系统

1、第8章第1页EXIT2022年5月4日7.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 7.2 信号的采样与保持信号的采样与保持7.3 Z变换变换第8章第2页EXIT2022年5月4日 控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲形式或是数码，由于信号在时间上是离散的，这类系统称为形式或是数码，由于信号在时间上是离散的，这类系统称为离散系统。随着计算机普通运用于自动控制领域以来，离散离散系统。随着计算机普通运用于自动控制领域以来，离散控制系统在生产、科研等各个领域中得到了广泛的应用。控制系统在生产、科研等各个领域中得到了广泛的应用。 对于连续时间

2、系统，采用微分方程和拉普拉斯变换进行分对于连续时间系统，采用微分方程和拉普拉斯变换进行分析和设计；析和设计；对于离散时间系统，则采用差分方程和对于离散时间系统，则采用差分方程和z变换进行变换进行分析和设计。分析和设计。通过通过Z变换这个数学工具，可以把传递函数，频变换这个数学工具，可以把传递函数，频率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。 本章将重点介绍本章将重点介绍Z变换理论变换理论.第8章第3页EXIT2022年5月4日两类离散系统：两类离散系统：（1）采样控制系统或脉冲控制系统）采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）离散信号

3、是脉冲序列（时间上离散）（2）数字控制系统或计算机控制系统）数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上量化）离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上量化）第8章第4页EXIT2022年5月4日7.1.1 离散控制系统的组成离散控制系统的组成 第8章第5页EXIT2022年5月4日 数字计算机在进行信息处理时必须接受数字信号，数字计算机在进行信息处理时必须接受数字信号，所以必须进行信号的转换。将连续时间信号转换为离所以必须进行信号的转换。将连续时间信号转换为离散数字信号的过程称为模散数字信号的过程称为模-数转换（数转换（A/D），反之，），反之，则称为数则称为数-模转换（模

4、转换（D/A）。它们是数字控制的必要过）。它们是数字控制的必要过程。程。)(*te第8章第6页EXIT2022年5月4日数字控制系统的特点：数字控制系统的特点：控制器的控制规律由计算机实现，使得控控制器的控制规律由计算机实现，使得控制规律比较灵活、控制精度高，而且可以借助计算机实现许多附制规律比较灵活、控制精度高，而且可以借助计算机实现许多附加功能，例如系统运行状态检测、报警、保护等。性价比超过模加功能，例如系统运行状态检测、报警、保护等。性价比超过模拟控制器。拟控制器。 在航空航天、军事、工业、公用事业系统中的各类控制系统已在航空航天、军事、工业、公用事业系统中的各类控制系统已经广泛地运用计

5、算机控制。经广泛地运用计算机控制。A/D转换过程转换过程（t）第8章第7页EXIT2022年5月4日A/D转换器：转换器：采样、量化、编码采样、量化、编码 把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字信号（二进制的整数），实际上具有对信号在时间点上字信号（二进制的整数），实际上具有对信号在时间点上采样采样，对信号幅值进行对信号幅值进行编码编码。（采样编码器）。（采样编码器） 一般要求一般要求A/D转换器具有足够的字长（转换器具有足够的字长（8 bit、10 bit、12 bit、14bit），要求量化单位），要求量化单位 q 足够小

6、。这样可以近似认为幅值的断足够小。这样可以近似认为幅值的断续性可以忽略不记。续性可以忽略不记。 同时，若采样编码的时间可以忽略，这时数字信号可以看成同时，若采样编码的时间可以忽略，这时数字信号可以看成脉冲信号，脉冲信号， A/D转换器可以认为采样周期为转换器可以认为采样周期为 TS 的理想采样开关。的理想采样开关。数字控制系统中的两个关键部件：数字控制系统中的两个关键部件：第8章第8页EXIT2022年5月4日D/A转换器：转换器：把离散的数字信号转换为连续模拟信号。把离散的数字信号转换为连续模拟信号。 D/A转换器有两个工作过程：转换器有两个工作过程：（1）解码，解码，把离散的二进制数字信号

7、转换为离散的模拟把离散的二进制数字信号转换为离散的模拟信号；信号；（2）模拟信号复现模拟信号复现，通过，通过“保持器保持器”将离散模拟信号复将离散模拟信号复现为连续的模拟信号，该信号才能真正驱动模拟放大器等。现为连续的模拟信号，该信号才能真正驱动模拟放大器等。第8章第9页EXIT2022年5月4日离散控制系统的优点离散控制系统的优点:1.采样信号特别是数字信号的传递可以有效抑制噪声，提采样信号特别是数字信号的传递可以有效抑制噪声，提高抗干扰能力；高抗干扰能力；2.允许采用高灵敏度的控制元件，提高控制精度；允许采用高灵敏度的控制元件，提高控制精度；3.软件实现的控制规律易于改变，控制灵活，效果好

8、；软件实现的控制规律易于改变，控制灵活，效果好；4.可以分时控制若干系统，提高设备利用率，经济性好；可以分时控制若干系统，提高设备利用率，经济性好；5.引入采样方式，使大延迟系统稳定。引入采样方式，使大延迟系统稳定。第8章第10页EXIT2022年5月4日7.1.2 离散系统的研究方法离散系统的研究方法 研究离散控制系统的数学基础是研究离散控制系统的数学基础是Z变换，通过变换，通过Z变换这个变换这个数学工具，可以把以前学习过的传递函数，频率特性，根轨数学工具，可以把以前学习过的传递函数，频率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。迹法等概念应用于离散控制系统。Z变换是分析单输入变换是分析单输入

9、单单输出线性定常离散控制系统的有力数学工具。输出线性定常离散控制系统的有力数学工具。Z变换法和线变换法和线性离散控制系统的关系如同拉普拉斯变换和线性连续系统的性离散控制系统的关系如同拉普拉斯变换和线性连续系统的关系一样。关系一样。1. 用用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。2. 用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进行分析、设计。进行分析、设计。第8章第11页EXIT2022年5月4日A/D转换过程转换过程（t）第8章第12页EXIT2022年5月4日采样过程：连续信号采

10、样过程：连续信号 采样器采样器 离散信号离散信号 )(*tesT7.2.1 采样过程采样过程1. )(tx )(*tx 连连续续信信号号 采采样样信信号号 采样器的作用时间趋于采样器的作用时间趋于0 0而得而得到的理想采样信号到的理想采样信号 实际采样信号实际采样信号模拟信号模拟信号第8章第13页EXIT2022年5月4日2 理想脉冲序列理想脉冲序列0( )()sTsnttnT 单位理想脉冲序列单位理想脉冲序列理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述（重要）：（重要）：0*()()(ne neTttnTsT)(*tenTs时刻脉冲强度时刻脉冲强度脉冲产生的时刻脉冲产生的时刻第8章第14页E

11、XIT2022年5月4日 *0( )nEsLe nTtnT0( )nTsstnTstnTet edte*0( )nTsnEse nT e第8章第15页EXIT2022年5月4日7.2.2 采样定理：采样定理： 连续信号连续信号x(t)经过采样而变成离散信号经过采样而变成离散信号x*(t)，这种离散化处理会不会丢失原来连续信号这种离散化处理会不会丢失原来连续信号x(t)所含所含有的信息？或者说，我们能否有离散信号有的信息？或者说，我们能否有离散信号x*(t)无无失真地恢复原来连续信号失真地恢复原来连续信号x(t)？如果能，离散化处？如果能，离散化处理需要满足什么条件？香农（理需要满足什么条件？香

12、农（shannon）采样定理）采样定理解决了这一问题。解决了这一问题。第8章第16页EXIT2022年5月4日 按间隔进行采样后，信号的傅立叶变换是周期函数，按间隔进行采样后，信号的傅立叶变换是周期函数，是是原函数傅立叶变换的原函数傅立叶变换的T TS S分之一按周期所进行的周期延拓。分之一按周期所进行的周期延拓。“等间隔离散化等间隔离散化”的函数的傅立叶变换是的函数的傅立叶变换是“周期周期” 频谱。频谱。1 1 采样信号的频谱采样信号的频谱 1()()snsjjjnss2采样信号的傅氏变换为：采样信号的傅氏变换为：P292P292第8章第17页EXIT2022年5月4日第8章第18页EXIT

13、2022年5月4日2、香农采样定理：、香农采样定理：第8章第19页EXIT2022年5月4日如果采样器的如果采样器的 输入信号输入信号 具有有限带宽，具有最高频率具有有限带宽，具有最高频率为为 的分量，只要采样周期满足以下条件：的分量，只要采样周期满足以下条件：)(teh(2)sh2( )2shTs信号信号 可以从采样信号可以从采样信号 中恢复过来。中恢复过来。)(te)(*te2sh在工程中一般取：第8章第20页EXIT2022年5月4日 工程上采用的将采样信号恢复为连续时间信号的装置称工程上采用的将采样信号恢复为连续时间信号的装置称为保持器，而最常用、最简单的保持器是零阶保持器。为保持器，

14、而最常用、最简单的保持器是零阶保持器。 理想低通滤器幅频特性理想低通滤器幅频特性 从采样信号中恢复出连续时间信号称为信号的复现。在满足从采样信号中恢复出连续时间信号称为信号的复现。在满足采样定理的前提下，采样信号没有混叠现象。这样，如用一个采样定理的前提下，采样信号没有混叠现象。这样，如用一个具有下图所示幅频特性的理想低通滤波器就可以无畸变的把原具有下图所示幅频特性的理想低通滤波器就可以无畸变的把原信号复现出来。信号复现出来。7.2.3 信号的复现及零阶保持器信号的复现及零阶保持器第8章第21页EXIT2022年5月4日)(tgh)( 1)( 1)(shTtttg脉冲过渡函数：脉冲过渡函数：幅

15、值为幅值为1，持续时间为，持续时间为 Ts对应的对应的L变换变换1( )( )1( ) 11()ssTT shshseG sL g tLttTsses)(t)(tgh当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲 ，则脉冲响应，则脉冲响应（输出）（输出） 零阶保持器零阶保持器可以将采样点幅值保持至下一个采样瞬时，把采可以将采样点幅值保持至下一个采样瞬时，把采样信号变为阶梯信号样信号变为阶梯信号 ：第8章第22页EXIT2022年5月4日零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性)/(2/2/2/)/()/(sin22)(21)(sssssjsssjTjTjTjThejeee

16、jejGssT/2ss3s2)(jGhT零阶保持器的特性：零阶保持器的特性：（1）低通特性）低通特性（2）相角迟后特性（）相角迟后特性（P295图图7-18）（3）时间迟后特性）时间迟后特性 （平均迟后时间（平均迟后时间 TS/2)p295图图7-17第8章第23页EXIT 在前面的分析中已经指出，为了使采样信号不在前面的分析中已经指出，为了使采样信号不失真地复现原连续信号，应该满足两个条件：失真地复现原连续信号，应该满足两个条件：采样频率满足香农采样定理；采样频率满足香农采样定理；（WsWs=Wh）采样信号应该通过低通滤波器滤掉采样引起的高采样信号应该通过低通滤波器滤掉采样引起的高频分量，频

17、分量，其其物理意义是采样开关后接的连续环节物理意义是采样开关后接的连续环节应该具有较好的低通滤波特性，则采样后的信号应该具有较好的低通滤波特性，则采样后的信号可以恢复为原信号。可以恢复为原信号。2022年5月4日第8章第24页EXIT2022年5月4日第8章第25页EXIT2022年5月4日0( )()()ssnftf nTtnT0( )( )()snT ssnFsL ftf nT esT szezTssln10( )( )()nsnF zZ ftf nT z7.3.1 Z变换的定义变换的定义(单边单边Z变换变换)连续信号连续信号：f（t）其理想采样信号其理想采样信号： z为变换算子，是一个复

18、变量为变换算子，是一个复变量 F（z）定义为采样信号）定义为采样信号f*（t）的）的Z变换。变换。其其拉氏变换拉氏变换：第8章第26页EXIT2022年5月4日说明：说明： F（z）实际上是理想采样信号实际上是理想采样信号f*（t）的拉氏变换；的拉氏变换；从定义上看从定义上看,F（z）只考虑了采样时刻的信号值只考虑了采样时刻的信号值f（nTs）。因此。因此F（z）是采样信号是采样信号f*（t）的的Z变换，并非变换，并非是连续信号是连续信号f（t）的的z变换。变换。 0( )( ) ( )()nsnF zftf tf nT z 第8章第27页EXIT z变换是变换是s变换的变形，只适用于离散信号

19、，变换的变形，只适用于离散信号，只表征连续函数在采样时刻的特性，与采样时刻只表征连续函数在采样时刻的特性，与采样时刻之间的特性无关。之间的特性无关。2022年5月4日12( )(0)()(2)ssF zff TzfTz是一个开放形式的级数。是一个开放形式的级数。第8章第28页EXIT2022年5月4日1.级数求和法级数求和法已已知连续函数知连续函数f (t) 的采样值的采样值f（nTs） 0( )( )()nsnF zftf nT z 7.3.2 Z变换的求法变换的求法写成闭合式。写成闭合式。 一般，一般，函数的函数的Z Z变换的级数形式都是收敛的，变换的级数形式都是收敛的，可以写可以写成闭合

20、形式。成闭合形式。第8章第29页EXIT2022年5月4日例例7-1 试求单位阶跃信号的试求单位阶跃信号的Z变换。变换。 解：单位阶跃函数解：单位阶跃函数1(t)1(t)在任何采样时刻的值均为在任何采样时刻的值均为1 1。即。即()1()1(0,1,2,)ssf nTnTn0120( )1( )1( )111nnF zttzzzz 11z11( )1( )11zF ztzz 可写成闭合形式可写成闭合形式若若1z是一个等比级数，公比是一个等比级数，公比第8章第30页EXIT2022年5月4日 Z变换的无穷级数形式的物理含义：变换的无穷级数形式的物理含义： 变量变量z-n的系数代表了连续时间函数在

21、各采样的系数代表了连续时间函数在各采样时刻的采样值时刻的采样值。通过级数求和法求取通过级数求和法求取Z变换的缺点：变换的缺点： 需要将无穷级数写成闭合形式。需要将无穷级数写成闭合形式。第8章第31页EXIT2022年5月4日2.部分分式法部分分式法已知已知连续函数连续函数f（t）的的拉氏变换拉氏变换1( )( )( )kiiiAM sF sN sss1( )i skisTiAzF zzetsiieA对应对应Z变换变换iiAssi sisTAzze第8章第32页EXIT2022年5月4日例例7-2 7-2 求求拉氏变换为拉氏变换为 的连续函数的连续函数的的Z Z变换变换 。 1 (1)s s解：解：111( )(1)1F ss sss02( )1(1)(1)ssssssTTTTTTz