高考复数知识点精华总结

1、复数1复数的概念：(1) 虚数单位i;(2) 复数的代数形式z=a+bi,(a,bR)；(3) 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2复数集宀粉有理数整数实数(b0)分数复数abi(a,bR)无理数(无限不循环小数)虚数(b纯虚数(a0)非纯虚数(a0)3复数a+bi(a,bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当0时，a+bi是虚数，其中a=0且bM0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=O,则a+bi=0是实数。4复数的四则运算若两个复数z仁a1+b1i，z2=a2+b

2、2i，(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；(2)减法：z1-z2=(a1a2)+(b1b2)i；(3)乘法：z1z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i；三(池b)融a#2)i(4)除法：Z2a22b227(5) 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况(6) 特殊复数的运算：n<)i(n为整数)的周期性运算；(1±i)=±2i；1仝若3=-2+2i，则33=1，1+3+32=0.5共轭复数与复数的模(1) 若z=a+bi，则zabi，zz为实数，(2) 复数z=a+bi的模|Z|='ab,且zz6. 根据两个复数相

3、等的定义，设a,b,c,daczz为纯虚数(b工0).2!z|=a2+b2.R,两个复数a+bi和c+di相等规定为a0a+bi=c+dibd.由这个定义得到a+bi=0两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。4. 复数a+bi的共轭复数是a-bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称若b=0，贝U实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。5. 复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将-1结合到实际运算过程中去如(a+bi)(abi)=a2+b26复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+bi工0)的复数x

4、+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即abi(abi)(cdi)acbd(bcad)i22cdi(cdi)(cdi)cd7. 复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。(二)典型例题讲解1. 复数的概念例1.实数m取什么数值时，复数z=m+1+(n1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4) 对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+(m1)i中，因为mER,所以m+1,m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，(1)m=1时，z是实数；(2)m1时，z是虚数；m10(3) 当m10时，即m=

5、1时，z是纯虚数；m10(4) 当m10时，即m<1时，z对应的点Z在第三象限。例2.已知(2x1)+i=y-(3y)i，其中x,yER,求x,y.2x1y5解：根据复数相等的意义，得方程组1(3y)，得x=2,y=4.2m23m22例4.当m为何实数时，复数z=m25+(m2+3n10)i;(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.解：此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.2m2250m3m100(1)z为实数，则虚部m2+310=0,即解得m=2-m=2时，z为实数。2m3m100(2)z为虚数，则虚部m2+3r10工0,即m225022m23m2022m2250m3m10

6、0解得m2且m±5.当m2且m±5时，z为虚数.解得m=2,当m=2时，z为纯虚数.诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求.例5.计算:i+i2+i3+i2005.解：此题主要考查in的周期性.i+i2+i3+i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+i2003+i2004)+i2005=(i1i+1)+(i1i+1)+(i1i+1)+i=0+0+0+i=i.或者可利用等比数列的求和公式来求解(略)诠释：本题应抓住in的周期及合理分组.例8.使不等式m2-(m23m)iV(m24m+3)i+10

7、成立的实数解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法.m2(m23m)iV(m24m+3)i+10,且虚数不能比较大小，2m10|m|10m23m0m0或m3m24m30，解得m3或m1，m=3m3时，原不等式成立.诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件xy.例9.已知z=x+yi(x,yR)，且2ilog2X8(1log2y)i，求z.解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法.2xy80xy3Xy.2ilog2x8(1log2y)ilog2x1log2yxy2*?*?*?x2x1解得y1或y2,z=2+i或z=1+2i.诠释：本题应抓住复数相

8、等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程(指数，对数方程)例10.已知x为纯虚数，y是实数，且2x1+i=y(3y)i，求x、y的值.解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法.设x=ti(tR,且t工0),贝U2x1+i=y(3y)i可化为2ti1+i=y(3y)i，即(2t+1)i1=y(3y)i，2t1(3y)1y5y=1,t=2,5x=2i.(1)(2)(3)2. 复数的四则运算例1.计算：2n(1I)i)2(n1)i)，nN+1.3/(若3=2+2i，33=1，计算(石亦)(苗咼(75V3i)2(4)S=1+2i+3i2+4i3+100i99.2

9、n(1i)2(n1)(12i)2n(1i)2(2：)n(2i)解：(1)(1i)=(1i)2i(<2.3i)(2、5i)7(1)n12i2i=2i(詁斗(2)222k1,kN2k,kN1、3i、6/.)(i宁)6i66(2)6=2.3；2ii,5.2ii(3)由于2,'3ii,2.5i(后血)(亦血)(75T3i)2(42J3i)(T2扬)=|iiC、5.3i)2|53i)2|(J53)2=8.(4)S=1+2i+3i2+4i3+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i34i)

10、+(5+6i78i)+(97+98i99100i)=25(22i)=5050i.例2已知复数z满足|z2|=2,z+zR,求乙解：设z=x+yi,x,yR,则44zz+z=z+zz4yi4(xyi)/z+zR,联立解得，当22xy4y22xy=0,(yxy又|z2|=2,y=0时，x=4或x=0(舍去x=0,(x2)2+y2=4,因此时z=0),当y工0时，y'3,z=1±-3,综上所得z1=4,z2=1+'3i,z3=1'3i.例3.设z为虚数，求证：z+z为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi(a,bR,0)，于是11az+z=(a+bi)+a

11、bi1所以0,(z+z)Rbiabia2b2(ab2.2bab=0ab.2)(b2)iababa2+b2=1|z|=1.例4.复数z满足(z+1)(z+1)=|z|2，且z1为纯虚数，求z.解：设z=x+yi(x,yR),则丄(z+1)(z+1)=|z|2+z+z+1=|z|2,z+z+仁0,z+z=1,x=2.222Z1(z1)(z1)|z|2zz1x2y2xyixyi122z1=(z1)(z1)|z1=|z11为纯虚数,-31上？丄仝x2+y21=0,y=土2,/z=2+2i或z=22i.例5.复数z满足(1+2i)z+(310i)z=434i，求乙解：设z=x+yi(x,yR),则(1+

12、2i)(x+yi)+(310i)(xyi)=434i,整理得(4x12y)(8x+2y)i=434i.4x12y4x4.8x2y34,解得y由于a(2,1),z=4+i.丄例6.设z是虚数，3=z+z是实数，且一1<3<2,1z（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=1z，求证u为纯虚数;（3）求3u2的最小值。解：（1）设z=a+bi（a,bR,b工0），贝U(a3=a2b、.2,2)iab,即|z|=1(2)u由3=2a,z1au=1z=1是纯虚数。biabi1<3<2,1a2(1(3)_b23u2=2a+(12(a1)a)21a12a由于3是实数且bM0,.a2+b2=1,1z的实部a的的取值范围是（一2,1）.b22bia）2b21a2(1a)