高等数学习题答案(同济第六版下)

1、第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意limf(x,y)A是点(x,y)以任何方式趋于(x0,y0)；(x,y)(Xo,y0)注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。习题811.求下列函数表达式：(1)f(X,y)xyyx，求f(xy,xy)解：f(xy,xy)xyxy(xy)xy22f(xy,xy)xy,求f(x,y)解:f(xy,xy)(xy)(xy)f(x,y)xy2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形(1)zIn(xy1)122xyxy1oy122y1解

2、:1x2y2oxxoxzln(x22y1)解:2x2y1of(x,y)ln(1|x|y|)解:1|x|y|o|x|y|13.求下列极限(1)(x,yim(0,i)xy解:(x,yim(0,1)xy(x,yim(o,o)2xy4xy加2jxy4解一：lim-(x,y)(o,o)xy2；xy4解二：lim(x,y)(o,o)xy2(x,y)m(o,o)xy1xy2limB(x,y)(o,o)xy4(xy4)xy(2,xy4)(x,J)im(o,o)1(2、xy4)肿,0)(2x)sin(xy)v'x2y211limx0y0x2解一：爲叫1,0）（2Jm（1,0）（2x)沁xxy解二：lim

3、(2(x,y)(1,0)x)sin(xy)lim(2(x,y)(1,0)lim(x,y)(1,0)(2x)x(4)lim00x2y21mooHXymooHXy2y2XmooHXy1-2mooHXy4.证明下列函数当2xx2y2y(1)解:解:limx0yof(x,y)x2lim2Xox2ykx'f(x,y)(x,y)2y2yx2lim2x0x222xyxy(x22xylim222兴xy(xy)22x02222xy(xy)5.下列函数在何处是间断的1(1)解:解:xyyy22xy22x2xHXy（0,0）时极限不存在：22kxT22kx1k21k222mooHXyy)24lim4x0x4

4、第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设zf（x,y）在（X0，y°）的某一邻域有定义，贝y精品文档xzfx(Xo,yo)limx0f(xox,yo)f(xo,yo)fy(Xo,yo)X.f(xo,yoy)f(xo,yo)limy0yfX(x0,y0)的几何意义为曲线yf(；0y)在点M(xo,yo,f(xo,yo)处的切线对x轴的斜率.f(x,y)在任意点(x,y)处的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)称为偏导函数，简称偏导数.求fx(x,y)时，只需把y视为常数，对x求导即可2.高阶偏导数zf(x,y)的偏导数fX(x,y),fy(x,y)的偏导数称为二阶偏

5、导数，二阶偏导数的偏导数称.二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个:为三阶偏导数，如此类推2222zzzz2j21j?xyxyyx若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序也有类似结果其中后两个称为混合偏导数.高阶混合偏导数习题1.求下列函数的一阶偏导数xzxyyz1zy,xyyzarctanx1(1)解:解:ln(x解:解:y(约2x2X.X2y2)1xXxx21xixy22ln(xyu2x22xxyyzt2uedt=r(1yyr22.xyz2)u,zy-T=x=)xy122xyy(XX2y2kx2y22yu222,xyzz2z22xyz精品文档x解:x2z2uy2z2u

6、y2z2x2z2ze,yze,zyexeuxz1xyy.xyuxxy1.x.y解：-coscos2sinsin,2coscossinsinxyyxxyxyyyxxyxz(1xyxy)(8)uecos()解：-z(1xy)xyln(1xy)x丄y(1xy)xyln(1xy)xyxx1xyy1xy(8)uecos()解：-uecos()sin(),uecos()sin()zsinxcos#yx2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数(1)求zx(0,1)解:乙(0,1)X2lim0x0x2yy(2)zxey(x1)arctan丄，求Zy(1,0)xlimey解：Zy(1,0)y0sin2(x2y)3.

7、求下列函数的高阶偏导数(1)zxln(xy)，求-22zz2，2，xy2zxy解：-ln(xy)1,-zxxyy212z2z1zx2,22xxyyxyy222zcos(x2y)，求zzz2?2?x2y2xy解：2cos(x2y)sin(x2y)xzy2z2xz4cos(x2y)sin(x2y)2sin2(x2y)2z2cos2(x2y),2y2求7x8cos2(x2z2y),-xy4cos2(x2y)x22ydt，精品文档3x解:22z2xexyx4.设f(x,y)2xze,2X3y_22xy0解:fx(O,O)2(1x2fy(O,O)Hym0fx(x,y)fy(x,y)fxy(O,O)fyx

8、(O,O)5.设z2x2)e"6.设r证明：2y2xz.x2y2e,4xyexy，求fxy(O,O)和fyx(O,O).2yf(0,0)x2xf(O,y)f(O,O)y4,224x4xyy2y2壬，x(xy)4,22x4xyx2(x4y22、2,xy)limylimx0x山0ylimOy0y)fx(O,O)ylimxO1丄)一yfx(x,O)fx(O,O)5需0limy0yx5-0xxlimxO(1x1)yx2求证x2y1ex12y1(-xx2y2z2由轮换对称性2z2r2丄2y2丄2z2r23r2x本节主要概念，1.全微分的定义x(丄x1)y证明2ey2r2z2e2zx22r,2z

9、2y定理，公式和重要结论2r2yrx-x2r2z3r2r_3r第三节22rx3r全微分精品文档右函数zf(x,y)在点(Xo,yo)处的全增量z表示成zAxByo(),x2y2则称zf(x,y)在点(x0,y0)可微，并称AxByAdxBdy为zf(x,y)在点(x0,y0)的全微分，记作dz.2可微的必要条件：若zf(x,y)在(x0,y0)可微，则(1) f(x,y)在(x°,y。)处连续；(2) f(x,y)在(xoy。)处可偏导，且Afx(x°,y°),Bfy(x°,y°)，从而dzfx(x°,y°)dxfy(x&#

10、176;,y°)dy.一般地，对于区域D内可微函数，dzfx(x,y)dxfy(x,y)dy.3.可微的充分条件：若zf(x,y)在(x°,y°)的某邻域内可偏导，且偏导数在(x°,y°)处连续，则zf(x,y)在(x0,y0)可微。注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数习题831.求下列函数的全微分(1)zln.x2y2arctany1 xy解:dz知(x2y2)1 d(x2y2)2 x2xdxydy2xy(2)+xyzarctan1xydz-1(xy、21xy1(1xy)2(3)dI”xy)(1xy)(dx22(1xy)(xy)

11、sinxzy,y0dy)(x(1xy)y)(ydxxdy)222(1y)dx(x1)dy22(1xy)(xy)sinxlnysinxlnysinxSinX解:dzdeed(sinxlny)y(cosxlnydxdy)y(4)ux解:dud(xX3-222dx(5)x(x_y1y2)sin二20f(0,0)，所以f(x,y)在点(0,0)连续,xyz2)(5)uex(x_y2z2)x(x_y2z2)222解:dudeedx(xyz)222222dx(xyz)(xyz)dxx(2xdx2ydy2zdz)222(3xyz)dx2xydy2xzdz)222222所以dudex(xyz)ex(xyz)(

12、3x2y2z2)dx2xydy2xzdz)(6)uxyz解:dudxyzyzlnxdeeyz|nx(ydxzinxdyxyinxdz)xyz(比dxzlnxdyx2.求函数解:dzzln(12(xdxydy)yinxdz)y2)，当x1,y2时的全微分.dz|(1,2)1x2y22(dx2dy)233.求函数解:dz114zx，当xxdyydxx2,y2dy)1,x0.1,y0.2时的全增量与全微分.dz|(2,1)20.20.10.125z-|(2x0.1,10.2)；l(2,1)2.141.62.14.研究函数f(x,y)(x22y)sinx24.21T0.1194.2(x,y)(x,y)

13、(0,0)在点(0,0)处的可微性.(0,0)解:由于limf(x,y)y0m(ooHxy2X.1xsin_xins2y2Xs2y21xsin2xlxm02nsi2y22XXlimf(x,0)f(0,0)x0(0fn)s2y(0foimy(0f(0f2X又fx(0,0)(0yX2Xo(0Xf(0fX2X解：对角线长为f(x,y),x2所以f(6.05,7.9)f(6,8)df|©8)第四节xdxydy则df(x,y)22,Jxy60.0580.1“0.5.6282109.95J628210多元复合函数的求导法则所以f(x,y)在点(0,0)处可微5. 计算(1.02)'(1.

14、97)则(1.02)3(1.97)3f(x0x,y。y)f(x0,y。)df0.0212(0.03)30.060.36295的近似值.解：令f(x,y)Jx2匚厂236.6. 已知边长x6m,y8m的矩形，如果x边增加5cm,而y边减少10cm,求这个矩形的对y角线的长度变化的近似值，贝ydf(x,y)'X代yfy,2<xy再设(xo,yo)(1,2),x0.02,y0.03本节主要概念，定理，公式和重要结论复合函数的求导法则(链式法则)如下：1.设u(x,y),v(x,y)在(x,y)可偏导，zf(u,v)在相应点有连续偏导数,zf(x,y),(x,y)在(x,y)的偏导数为z

15、fufvzfufvxuxvx'yuyvy2.推广：(1)多个中间变量：设u(x,y),v(x,y),w(x,y),zf(u,v,w)则zf(x,y),(x,y),(x,y)且zfufvfwzfufvfwxuxvxwx'yuyvywy只有个中间变量：设u(x,y),zf(x,y,u)则zfx,y,(x,y)且zfufzfufxuxxyuyy只有个自变量:设u(tJ,v(t),w(t)则zf(t),(t),(t)且dzfdu丄dvfdwdtudtvdtwdt习题8-41.求下列复合函数的一阶导数(1)zex2y,xsint,yt3精品文档解:dzzdxzdyex2ycost2ex2

16、y3t2(costdtxdtydtzarcsin(xy),x3t,y4t3解:dzzdxzdy312t2dtxdtydt.1(xy)2.1(xy)2zarctan(xy),yxe解:dzzdyzxexy(x1)exdxydxx1(xy)21(xy)21:22xxe2、sint2t6t)e2312t1t2(34t2)2ueax(yz)a21解:uudyudzaeax(yz)axeacosxaxesinxxydxzdx1a21a21a2yasinx,zcosxdudxaxe/22(asinxacosxacosxsinx)1aaxe2ax2(a1)sinxesinx1a2.求下列复合函数的一阶偏导数

17、(1)zu2v2,uxy,vxy解：2u2v2(uv)4xx2u2v2(uv)4yyzx2Iny,sx-t,y3s2t解:z12xs2ss3s2xTny32右ln(3s2t)322t)22ln(3s2t)stytt(3st3s2tz2xs.2lny242s亍ln(3s2t)2s2t)2s2ln(3s2t)23打ttytt(3stt3s2t3.求下列复合函数的一阶偏导数(f是c类函数)(1)zf(x2y2,exy)解:2xf1yexyf2，二xyzf(xy,y)2yf1xexyf2解:yf1，xf(f2y22f(xy)解:2xyff2y2fx22x精品文档uxyzfP)x解:yzfy2xy浮，上

18、xzf1xyx4.设uf(x,xy,xyz)且f具有二阶连续偏导数，求zfx2uxz解:yf2xzf32口xfi2zxfi3f2yxf22zxf23】zfsyzxf32zxf33xyxyxxy解:fxfy2y1tIf2xXyX2zr11y12Xy2xfTf2fT22xyxxXXyXy2yxzz5.已知zxf()2y()，其中f,有二阶连续导数，求,2xy6.设zf(xy,)g(=)，其中f,g有连续二阶偏导数，求yx解:xyf1f2ygy2xyf1-f2yggx2zfxyfnxf121f2xf214f22WgygT123gxyyyyyxxxyf11x1y1212飞f222gJ3gyyxx第五节

19、隐函数的求导公式(1)若方程F(x,y)0确定隐函数yy(x)，则dyFxdxFy(2)若方程F(x,y,z)0确定隐函数zz(x,y)，则二Fx；zxFzy本节主要概念，定理，公式和重要结论1.一个方程的情形2.方程组的情形FyFz(1)若G(x:;:z)0确定yy(x)，zz(x)，则dy(x,z)dz(y,x)dx(F,G)，dx(F,G)(y,z)(y,z)(2)若F(x,y,u,v)0确定uu(x,y)则G(x,y,u,v)0vv(x,y)'(F,G)(F,G)(F,G)(F,G)u(x,v)u(y,v)；v(u,x)v(u,y)x(F,G)y(F,G)；x(F,G)，y(F

20、,G)(u,v)(u,v)(u,v)(u,v)习题851求下列方程所确定的隐函数yy(x)的一阶导数凹dx(1)x2xyey0解：2xdxydxxdyeydy0(eyx)dy(2xy)dxdy2xydxeyxsinyexy0解:sinydyexdxy2x2dx2xydy20(siny2xy)dy(yex)dx(F,G)(F,G)eydxsiny2xyxy解：yInxxInyyInxdydxxInx(yInxx)dyy(xlnyy)dxdydxxydxdyxyInxdyyy(xInyy)x(yInxx)y2dxxylnydxx2dyInx2y2解：Inx2y2yarctan丄xyarctanxx

21、dxydy22xyxdyydxxdy2xydx2yxdxydyxdyydxdydx2求下列方程所确定的隐函数z(x,y)的一阶偏导数(1)z3解：2xz2xz2z_3z22x'y02y03zdz2zdx2xdzdy0z1c2y3z2x(3z22x)dz2zdxdyx3sin(x2yz)x2yz精品文档解：3sin(x2yz)x2yz3cos(x2yz)(dx2dydz)dx2dydz3cos(x2yz)1dz13cos(x2yz)(dx2dy)zxz1y2xzIn-y解:xzlnzzlnydx(1Inz)dzInydzdyyy(iInzIny)dzydxzdy，x1zz1InzIn/y

22、y(1InzIny)x2yz2Xyz0解:x2yz2xyz0dx2dydz1-(yzdxxzdyxydz)0、xyz(xyzxy)dz(yz、xyz)dx(xzxyz)dyzyzTxyzzxz/xyzxxyzxyyxyzxy2(1)设ezxyz0,求2x解:ezxyz0ezdzyzdxxzdyxydzzyzzxzzxexy'yzexy3求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数0(ezxy)dzyzdxxzdyxyz-(2)设z3解:z(ez二y)x2(ezxy)zxze(ezz2yexyxy)33xyza3,3xyzzzze)zyx(ezxy)222z(1xyzyzy22/773xy(z1

23、)2zxy2(1y(1yz、xzze)二zyexy(ezxy)23zdz3(yzdxxzdy2)xydz)20(z2xy)dzyzdxxzdyx)zyzzxz2，2xzxyyzxyz2z(zy)(zxy)yz(2zx)yyxz2xz(zyr)(zxy)yz(2z=zxyzxy(z2xy)22225322z(zxy)yxz(zxy)yz(2zxzx(zxy)z2xyzxyz(z2xy)(z2xy)2(z2xy)3精品文档设exysin(xz)1,解：exysin(xz)1exysin(xz)(dxdy)exycos(xz)(dxdz)0sin(xz)cos(xz)dxsin(xz)dyztan(

24、xz)1,-ztan(xz)xy22seczsec(xz(xz)-z)tan(xz)xyy(4)设zlnzxet2dit0,求2zyxycos(xz)dz解：zInz(1$dze"dxzxt2edt0ysin(xz)cos3(xz)eydy0zex2(1Z)二y(1z)2zey2x2ze4.设U(1z)2(1z)323222xyz，而zz(x,y)是由方程xyz3xyz所确定的隐函数，求u(1,1,1)x解：uxy2z3duy2z3dx2xyz3dy3xy2z2dz又xyz3xyz2xdx2ydy2zdz3(yzdxxzdyxydz)dz|(w)dxdy，du|(w)dx2dy3dz

25、|(w)du|(1,1,1)dx2dy3dz(1,1,1)2dxdy(1)设zo2x2y22y3z2，求史史x20dxdx解.dz2xdx2ydydz2ydy2xdx2xdx4ydy6zdz03zdz2ydyxdxdzxdyx(16z)dx13z'dx2y(13z)uxeusinv亠uuvv设u,求JJyeucosvxyxy所以(1,1,1)2x5求由下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数dzdyxdx13z心2y(13z)dx(eusinv)duucosvdv解：dy(eucosv)duusinvdvdudvusinvdxucosvdyueu(sinvcosv)1ucosvdxusi

26、nvdyueu(sinvcosv)1usinvucosvxeu(sinvcosv)1,yeu(sinvcosv)1vcosvvsinvxeu(sinvcosv)1,yeu(sinvcosv)1uu土zz6.设xecosv,yesinv,zuv，求一,xy解：dxeucosvdueusinvdvdueu(cosvdxsinvdy)dyeusinvdueucosvdvdveu(sinvdxcosvdy)又dzvduudvveu(cosvdxsinvdy)ueu(sinvdxcosvdy)eu(vcosvusinv)dxeu(ucosvvsinv)dy所以eu(vcosvusinv),zeu(uco

27、svvsinv)xy7设yf(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)0所确定的x,y的函数，其中f,F都具有一阶连续偏导数试证明fFfFdyxttxdxfFFtyt解:由yf(x,t),dyf1dxf2dt1(F1dx又F(x,y,t)0F1dxF2dyF3dt0dtF2dy)F3dyf1dxf2F1dxf2F2dy(F3f2F2)dy(F3ff2F1)dxF3F3所以吐空址dxF3f2F2第六节多元函数微分学的几何应用本节主要概念，定理，公式和重要结论1.空间曲线的切线与法平面设点M0(x0,y0,z0)，(1)参数方程情形：若:xx(t),yy(t),zz(t),则切向量为t(x(t。)，

28、y(t0),z(t。)；其中x2(t0)y2(t0)z2(t0)0；切线方程为XX。yy°ZZ0x(t°)y(t°)z(t°)法平面方程为x(to)(x(2)一般方程情形：若Xo)y(to)(yyo)F(x,y,z)G(x,y,z)Z(to)(ZZo)则切向量为(F,G)(F,G)(F,G)切线方程为(y,z)'xXo(F,G)(y,z)(F,G)(y,z)2.空间曲面的切平面与法线法平面方程为Mo(XMo(Z,X)'(x,y)M(Xo,Yo,Zo)ijFxFyGxGykFzGzM(xo,yo,zo)(0)；yyo(F,G)(z,x)Mo

29、(F,G)(x,y)(F,G)(z,x)设点Mo(xo,yo,Zo)Xo)Mo(yyo)Mo(F,G)(x,y)(zZo)0.Mo(1)隐式方程情形若:F(x,y,z)o，则法向量为nFx(Mo),Fy(Mo),Fz(M。)F(M°)(o)；切平面为Fx(Mo)(xXo)Fy(Mo)(yyo)Fz(M°)(zZo)o；法线为XXoyyozzo(2)显式方程情形则法向量为Fy(Mo)Fz(Mo)f(x,y)，切平面为Fx(Mo)若:zzx(Xo,yo),Zy(Xo,yo),1，ZZoZx(xo,yo)(xXo)Zy(xo,yo)(yyo)；法线为xXoyyozZo(y,z)(

30、Z,X)(X,y)(u,v)(Uo,vo)(U,v)(Uo,vo)(u,v)(Uo,vo)XXoyyozzoZx(Xo,yo)Zy(xo,yo)1则法向量niXujkyuZu(y,z)(Z,X)(x,y)(o)Xvyv乙(Uo,vo)(u,v)(u,v)(U,v)(Uo,vo)切平面为(xXo)(Z,X)(yyo)(x,y)()(zZo)(u,v)(Uo，vo)(u,v)(Uo，vo)(U,v)l(Uo,vo)(3)参数方程情形若:xx(u,v),yy(u,v),zz(u,v)，0；法线为o.习题861.求曲线xl,y1、，zt12对应t1的点处的切线和法平面方程r解：1(U2)1x2y

31、76;zi切线：x22三41811法平面：4(x2)y8(z1)04xy8z-222.求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程(1)ezzxy3，点(2,1,0)解:n(y,x,ez1)|(2丄0)(1,2,0)切平面：x2法线:(2)zcx212x2a2(yy122yb1)0x2y4，点(x°,y°,z°)解：n切平面:(空21(a2,b2,2x0,厂(xa)|(x0,Y0,z0)c2y0(2x0a2xx°2(xa即竽aX°)(xX°)x0)u2b哑(yb2(y2yy°(y(yy°)y°)y。)2y01(

32、zc2xpa2z0z。)0c22y°zb2cxXq2X02a3.求出曲线x解：设曲线x法线:yy。2y。眉t3,yt3Z°ca2(xx°)2x0b2(yy°)2y0c(zZ°)平面x2yzrn(3t2,2t,1)ct2,zt2,z,y6的法向量为t上的点，使在该点的切线平行于平面x2y2(3t,2t,1)t在点(x,y,z)|t的切向量为n(1,2,1)6.(1,2,1)3t24t10由题意可知1J、11所以，该点为(，,2792y2y24.求椭球面3x(2z9上平行于平面z29在点(x0,y°,Z0)处的法向量为n1,1,1)2yz

33、0的切平面方程，则rn(3x0,y0,z0)，由题意可知，3x01令3x0y0tx0-，乂1213t22,24tt916t27t3解：设曲面3x2y°z212t,z°t，又3xo心z：9，所以-V3，代入得4Xo3,yom.3,zo3424所以切平面方程为3、,3(x1X)3-、3(y3i"3)3-、3(z.3)0442244或3府(x丄巧)？T3(y343)-V3(z-3)0442244即x2yz4.30或x2yz4、305.试证曲面.x.y.z1上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于证明：设P(x,y,z)为曲面x、.y,z1上任一点，则曲面在该点处的法

34、向量为11)，那么切平面的方程为L(Xx)-L(Yy)1(Zz)即-Uy-XzVx77Vz1，该平面在三个坐标轴上的截距为xy、z、z，故、x、yz1mx在点(x0,y0,z0)处的切线和法平面方程.r6.求曲线y2mX,z解：曲线y22mX,z2mx在点(Xo,yo,Zo)处的切向量为(1凹yo士)yo(yy。)m1yo)才第七节本节主要概念，定理，公式和重要结论1.方向导数(1)定义设zf(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，I是任一非零向量,则f(X,y)在点P处沿I的方向导数定义为f|imf(xat,ybt)f(x,y)Ito所以切线的方程为法平面为xx0XXo1m(yyo2zo

35、(zZo)卄mZo)0,即Xyyo1z2Zo方向导数与梯度Xoei(a,b)f表示函数f(X,y)在点P处沿方向|的变化率.l(2)计算公式若f(X,y)在点P(X,y)处可微，则对任一单位向量el(a,b)，有fX(x,y)afy(x,y)b(此也为方向导数存在的充分条件)2.梯度(1)定义设f(x,y)C，则梯度gradf(x,y)为下式定义的向量：gradf(x,y)(或f(x,y)(fx(x,y),fy(x,y).(2) 方向导数与梯度的关系ff(x,y)ei(3) 梯度的特征刻画梯度是这样的一个向量，其方向为f(x,y)在点P(x,y)处增长率最大的一个方向；其模等于最大增长率的值习

36、题871.求下列函数在指定点Mo处沿指定方向I的方向导数y,M0(1,2),I为从点(1,2)到点(2,为I(1,、.3)2(：,丄),22(1)zx2解：方向I所以I1(1,2)z|_z|(1,2)cos|(1,2)xyKzz而|(1,2)2,|(1,2)y2丄4仝22cos2+、3)的方向(1,1,1)解:(1,1,1)xarctan$,M0(1,2,2),zz|(1,2,2)cosyu|(1,2,z2)|(1,2,2)cosxz|(1,2,2)cosz而-xarctan,zyxzu2z所以|(1,2,2)2求函数z2'yz1cos4z2xy2ycos42In(xy)在抛物线y1c

37、os44x上点121,2)处，沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数22x解：抛物线y24x在点(1,2)处的切向量为丨=(1,)|(12)(1,1)y3232fl(1,2)z|(1,2)cos-yl(1,2)cos1(1,2)3.求函数2xyxyz在点(1,1,2)处沿方向角为解:(1,1,2)(1,1,2)xcos|(1,1,2)cosy(1,1,2)zcos2xz)|(1,1,2)cos(3z4的方向的方向导31115222(yyz)|(1,1,2)cos-(2xy34.设f(x,y)具有一阶连续的偏导数，已给四个点A(1,3),B(3,3),C(1,7),D(6,15)，

38、若f(x,y)xy)(1,1,2)cos3在点A处沿AB方向的方向导数等于3,而沿AC方向的方向导数等于26,求f(x,y)在点A处沿AD方向的方向导数uuuuuuuuur512解：AB(2,0)2(1,0),AC(0,4)4(0,1),AD(5,12)13(荷存xAfkcosf|acos|A3ABxyxcosfIaCOSfIa26ACxyy所以fM|A-f|acos|Acos3§2612252ADxy1313135设f(x,y,z)2x2y223zxy3x2y6z，求gradf(0,0,0)及gradf(1,1,1)解：gradf(0,0,0)(2xy3,4yx2,6Z6)|(0,

39、0,0)(3,2,6)gradf(1,1,1)(2xy3,4yx2,6z6)|(1,1,1)(6,3,0)6问函数uxy2z在点P(1,1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值解：沿梯度方向的方向的方向导数最大uuu22gradu(1,2,2)(,)|(i,2,2)(yz,2xyz,xy)|0,2,2)(8,8,4)u|lmaxxyz|gradu(1,2,2)|.64641612第八节多元函数的极值及其求法本节主要概念，定理，公式和重要结论1.极大(小)值问题必要条件.若f(x,y)在点(x。，y。)有极值且可偏导，则fx(Xo,y°)fy(Xo,y。)0.使偏导数等于零的点(X。，yo)称为f的驻点(或稳定点).驻点与不可偏导点都是可疑极值点,还须用充分条件检验充分条件.设zf(x,y)在区域D内是C(2)类函数，驻点(x°,y°)D，记Afxx(X0,y°),Bfxy(x°,y°),Cfyy(X0,y°),(1)当ACB20时，f(x°,y°)是极值，且A0(0)是极小(大)值;(2)当0时，f(x°,y°)不是极值；(3)当0时，还需另作判别.2.最大(小)值问题首先找出f(x,y)在D上的全部