高考数学立体几何部分典型例题

1、1某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为4JlA.92+14nC.92+24nB.82+14nD.82+24n命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察面积易错点：（1）三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误解析由三视图可知：原几何体为一个长方体上面放着半个圆柱，其中长方体的长宽高分别为5,4,4,圆柱的底面半径为2,高为5,所以该几何体的表面积为:S=5X4+2X4X4+2X5X4+nX2求证：AF/平面CDE;求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值;求直线EF与平面ADE所成角的余弦值.命题意图：线面平行的位置关系，线面角、二面角的求

2、法+舟nX2X5X2=92+14n.答案A2.（本小题满分12分）命题人：贺文宁如图所示，平面ABCD丄平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为(12分)直角梯形，BF/CE，易错点：（1）直接建系，不去证明三条线两两垂直（2）数据解错（3）线面角求成正弦值证明法一取CE的中点为G，连接DG，FG.BF/CG且BF=CG,四边形BFGC为平行四边形，则BC/FG,且BC=FG.四边形ABCD为矩形，.1分BC/AD且BC=AD，二FG/AD且FG=AD，四边形AFGD为平行四边形，则AF/DG.vDG?平面CDE，AF?平面CDE，AF/平面CDE.3分（2）解v四边形ABCD为

3、矩形，BC丄CD，又v平面ABCD丄平面BCEF，且平面ABCDG平面BCEF=BC，.4分BC丄CE，aDC丄平面BCEF.以C为原点，轴建立如图所示的空间直角坐标系,y轴，CD所在直线为z.5分根据题意我们可得以下点的坐标:A(2,0,4),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,0,4),E(0,4,0),F(2,2,0),则AD二(-2,0,0),DE=(0,4,-4).设平面ADE的一个法向量为ni=(xi,yi,zi),DEni=0,ni=0,2x=0,4yi4zi=0,取Z1=1,得ni=(0,1,1).DC丄平面BCEF.7分平面BCEF的一个法向量为CD=(0,0,4).

4、设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为aCDni|CD|ni|因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为返2.贝Ucosa=_42_号,.9分(3)解根据(2)知平面ADE的一个法向量为ni=(0,1,1),v(2,2,0),cos<eF,ni设直线EF与平面贝Ucos0=|sin_EFni=2_1|EF|ni|2-2X叵2,ADE所成的角为0,<EF,ni|_中，.10分.12分因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为2.().i某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为nnA.82nB.8nC.8?D.84冊视图命题意图：考察空间几何体的二视图，二视图为载体

5、考察体积易错点：(1)三视图很难还原成直观图(2)公式及数据计算错误1解析这是一个正方体切掉两个寸圆柱后得到的几何体，且该几何体的高为2,V31=232xnX1X2=8-n故选B.答案B2.(本小题满分12分)命题人：贺文宁如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD丄平面ABCD,NB丄平面ABCD，且MD=NB=1,E为BC的中点.(1) 求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2) 在线段AN上是否存在点S,使得ES丄平面AMN?若存在，求线段AS的长;若不存在，请说明理由.命题意图：异面直线所成角；利用空间向量解决探索性问题易错点：(1)异面直线所成角容易找错(2)异面直线所成角的范

6、围搞不清(3) 利用空间向量解决探索性问题，找不到突破口解(1)如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.依题意得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),1八B(1,1,0),N(1,1,1),E(2，1,0),.1分1所以NE=(2，0,-1),设直线NE与AM所成角为9,.2分.3分则cos9=|cosNE,AM|NEAMI2|nT|aT|=厂而.5分所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.10而.(2)如图，假设在线段AN上存在点S,使得ES丄平面AMN，连接AE.TTT因为AN=(0,1,1),可设AS=:AN=(0,人莎,又EA=(1,1,0),

7、所以ES=EA+AS=(2,-1,入.7分TT,ESAM=0,由ES丄平面AMN,得TTESAN=0,即-2+入=0,1(1+2=0,1T11T/2故2=2,此时AS=(0,2,2),IAS=2.10分经检验，当AS=时，ES丄平面AMN.在线段AN上存在点S,使得ES丄平面AMN，此时AS=12分().23Ap47B.47C.6D.7命题意图：考察空间几何体的二视图，二视图为载体考察体积易错点：（1）三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误解析I_如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为一2X2X2-2X3x卜1X1X1233.答案

8、A2.（本小题满分12分）命题人：贺文宁如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB/EF，AB=2,AD=AF=1，ZBAF=60°O，P分别为AB，CB的中点，M为底面OBF的重心.求证：平面ADF丄平面CBF;求证：PM/平面AFC;(3)求多面体CDAFEB的体积V命题意图：面面垂直，线面平行的判定，空间几何体的体积易错点：(1)判定时条件罗列不到位失分(2)求体积时不会分割(1)证明矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB丄AB,CB丄平面ABEF,.1分又AF?平面ABEF，所以CB丄AF,又AB=2，AF=1，ZBAF=60&

9、#176;由余弦定理知BF=3,222AF+BF=AB，得AF丄BF，.2分BFACB=B，AF丄平面CFB，又AF?平面ADF;平面ADF丄平面CBF.4分(2)证明连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点,PH/CF，又tCF?平面AFC,PH?平面AFC,PH/平面AFC,.6分连接PO,贝UPO/AC,又AC?平面AFC,PO?平面AFC,PO/平面AFC,POPPH=P,平面POH/平面AFC,.7分又PM?平面POH,PM/平面AFC.8分解多面体CDAFEB的体积可分成三棱锥CBEF与四棱锥FABCD的体积之和在等腰梯形ABEF中，计算得EF=1,两底间的距离E

10、Ei=32'iiiy3所以Vc-BEF=3SMEFxCB=3X2X1X"2X1_J312，Vf-abcd=3S矩形abcdXEEi=3X2X1X-23=3'，所以V=Vc-bef+Vf-abcd=5513.10分.12分1一个几何体的三视图如图所示，贝U该几何体的体积为命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积解析由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻222三条棱长分别是1,2,2,所以几何体的体积为8-3二22-答案2232.(本小题满分12分)命题人：贺文宁在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的

11、中点如图所示，沿直线BD将厶BCD翻折成BC'D，使得平面BC'D丄平面ABD.(1)求证：C'D丄平面ABD;(2)求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值.命题意图：空间几何体的“翻折”问题，考察学生空间想象能力和知识迁移能力易错点：把平面图形转化为空间几何体，数据错误，垂直平行关系错误(1)证明平行四边形ABCD中，AB=6,AD=10,BD=8,沿直线BD将厶BCD翻折成BC'D,可知C'D=CD=6,BC'=BC=10,BD=8,2分即BC'2=C'D2+BD2：C'D丄BD.又平面BC'D丄平面ABD，平面BC'DG平面ABD=BD,C'D?平面BC'D，二C'D丄平面ABD.4分解由(1)知C'D丄平面ABD,且CD丄BD,如图，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz则D(0,0,0),A(8,6,0),B(8,0,0),C'(0,0,6).6分E是线段AD的中点，E(4,3,0),BD二(8,0,0).7分在平面BEC'中，BE=(4,3,0),BC'=(8,0,