高等数学讲义--一元函数微分学

1、第二章一元函数微分学2.1导数与微分(甲)内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数yf(x)在点xo的某领域内有定义，自变量x在xo处有增量x，相应地函数增量yf(xox)f(xo)。如果极限|imf(XoX)f(Xo)x0x存在，则称此极限值为函数f(x)在Xo处的导数(也称微商)，记作f(X。)，或yx冷，d|xx0，XX。等，并称函数yf(X)在点Xo处可导。如果上面的极限不存在，则dxdx称函数yf(x)在点x0处不可导。导数定义的另一等价形式，令xx0X，XXx0，则f(X0)limf(X)f(X0)xX0xx0我们也引进单侧导数概念。右导数：f(X0)limf(x)f(X0)

2、lim似x)畑x0XX)x0x左导数：f(x)f(X)f(X0x)f(x)f(X)limlimx冷XX)x0X则有f(X)在点X。处可导f(X)在点X。处左、右导数皆存在且相等。2.导数的几何意义与物理意义如果函数yf(X)在点X0处导数f(X0)存在，则在几何上f(X0)表示曲线yf(x)在点(X0,f(x)处的切线的斜率。切线方程：yf(x0)f(X0)(XX0)法线方程：yf(X0)(XX0)(f(X0)0)f(Xo)设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为Sf(t)，如果f(t0)存在，则f(t0)表示物体在时刻t0时的瞬时速度。3函数的可导性与连续性之间的关系如果函数yf(x)在

3、点X0处可导，则f(x)在点X0处一定连续，反之不然，即函数f(X)在点X。处连续，却不一定在点X。处可导。例如,f(x)|X|,在X00处连续，却不可导。4.微分的定义设函数yf(x)在点X0处有增量X时，如果函数的增量yf(X0x)f(X0)有下面的表达式yA(x)xo(x)(x0)其中A(x)为X为无关，0(X)是X0时比X高阶的无穷小，则称f(X)在X0处可微,并把y中的主要线性部分A(x0)X称为f(X)在x0处的微分，记以dyXx或df(x)xx我们定义自变量的微分dx就是x。5微分的几何意义yf(X0x)f(X0)是曲线yf(x)在点X0处相应于自变量增量X的纵坐标f(x0)的增

4、量，微分dyxx。是曲线yf(x)在点M(x,f(X0)处切线的纵坐标相应的增量(见图)。6可微与可导的关系f(x)在x0处可微f(x)在x0处可导。且dyxX0A(X)xf(X0)dx般地，yf(x)则dyf(x)dxdy所以导数f(x)dy也称为微商，就是微分之商的含义。7高阶导数的概念如果函数yf(x)的导数yf(x)在点x0处仍是可导的，则把yf(x)在点x0处广I/的导数称为yf(x)在点X。处的二阶导数，记以yxx0，或f(Xo)，或一yxx0等，也dx称f(x)在点xo处二阶可导。如果yf(x)的n1阶导数的导数存在，称为yf(x)的n阶导数，记以y(n),(n)y(x),护等，

5、这时也称f(x)是n阶可导。、导数与微分计算1 导数与微分表(略)2 导数与微分的运算法则(1) 四则运算求导和微分公式(2) 反函数求导公式(3) 复合函数求导和微分公式(4) 隐函数求导法则(5) 对数求导法(6) 用参数表示函数的求导公式(乙)典型例题-、用导数定义求导数例设f(x)(xa)g(x)，其中g(x)在xa处连续，求f(a)maz0maHXa)二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数X2,x1axb,x1试确定a、b的值，使f(x)在点x1处可导。解：可导一定连续，f(x)在x1处也是连续的。f(10)limf(x)limx21x1x1f(10)limf(x)lim(axb)

6、abx1x1要使f(x)在点x1处连续，必须有abf(1)xmf(x)f(1)x1x21limx1x1lim(x1)2f(1)limx1f(x)xf(1)1lim仝卫x1x1要使f(x)在点x1处可导，必须f(1)f(1)，即2a.故当a2,b1时,f(x)在点x1处可导.例2设f(x)2n(x1)xenime*(x1)axb1解：x1时，n(x1)limenx1时，limen(x10nx2JX1,ab1f(x)x1,2axb,x1，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f(x)1，f(1)1，可知a由x1处连续性，limf(x)limx2x1x1再由x1处可导性，f(1)lim2xf(1)存在

7、x1x1f(1)lim(axb)f(1)存在x1x1且f(1)f(1)根据洛必达法则f(1)lim2x2x11f(1)limaa，二a2x11于是b1a12dx,x1,f(x)1,x1,2x1,x1,f(x)2x,x1,2,x1,三、运用各种运算法则求导数或微分例1设f(x)可微，yf(lnx)ef(x)，求dy解：dyf(lnx)def(x)ef(x)df(lnx)f(x)ef(x)f(lnx)dx-f(Inx)ef(x)dxx1ef(x)f(x)f(Inx)f(Inx)dxx例2设yxyy(Inx)Iny,yyxx(x0)，求矽dx解:Inyxxlnx对x求导，得11xy(x)Inxxyx

8、再令y1xx，Iny1xlnx，对x求导,y1Inx1，二(xx)xx(lnx1)y1于是矽xx(lnx1)Inxxx1x(x0)dx例3设yy(x)由方程xyyx所确定，求dx解：两边取对数，得ylnxxlny,y2xynyx2xylnx对x求导，yInxInyxt2u2desinudut2teuln(1u)du求空dydx解dx2t2dtdydt四、求切线方程和法线方程t4L2tesintesint2t2eln(12t)例1已知两曲线yf(x)与yarctanx.2etdt在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方2程，并求limnf()。nn解：由已知条件可知f(0)0,f(0)e(arc

9、tanx)21x2故所求切线方程为yxf(-)f(0)n2limnf(2)lim2nnn2f(0)2例2已知曲线的极坐标方程坐标方程。解：曲线的参数方程为1cos，求曲线上对应于6处的切线与法线的直角(1(1cos)coscoscos)sinsin2cossincosdydcosc2os2sindx6dx6sn2cossind故切线方程y1也1(x%33)2424即xy5044法线方程y173(x733-)2424即xy1044y6例3设f(x)为周期是5的连续函数，在x0邻域内，恒有(x)f(1sinx)3f(1sinx)8x(x)。其中lim0,f(x)在x1处可导，x0x求曲线yf(x)

10、在点(6,f(6)处的切线方程。解：由题设可知f(6)f(1),f(6)f(1)，故切线方程为yf(1)f(1)(x6)所以关键是求出f(1)和f(1)由f(x)连续性limf(1sinx)3f(1sinx)2f(1)x0由所给条件可知2f(1)0,f(1)0再由条件可知叫IKsinx)3f(1sinx)sinx叫IK8x(X)8sinxsinx令sinxt,limf(1t)3f(1t)8，又t0f(1)0五、上式左边=limt则4f(1)8所求切线方程为高阶导数1求二阶导数yln(xf(1t)f(1)(1)3f(1)f(1)2y02(x4f6)3lim空t0t)f(1)(t)(1)2xy12

11、0a2)，求y解:、x2a2)(1xxa122尹a)xx22)a2xx(x2a2)3xarctantyln(1t2)dx2dy2t解:少dt1忙2tdxdx1dt1t2d2yd伴)dxd伴)dx/dx12(112)dx2dxdt1t2例3设yy(x)由方程x2y21所确定，求y解:2x2yy0,yy1yxy2y2xyy2y22yx3y2.求n阶导数(n2，正整数)先求出y,y,L，总结出规律性，然后写出y(n)，最后用归纳法证明。(1)yxe(n)yxe(2)yax(a0,a1)(n)yxa(lna)(3)ysinx(n)ysin(x2)(4)ycosx(n)ycos(x2)(5)yInx(n

12、)y(1)n1(n1)!x有一些常用的初等函数的n阶导数公式n两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式nu(x)v(x)(n)CnU(k)(x)V(nk)(x)k0其中C：n!k!(nk)!u(0)(x)u(x)，v(0)(x)v(x)假设u(x)和v(x)都是n阶可导xk（k正整数），求y（n）（n正整数）解:(n)y(丿k(k0,1)(kn1)xkk,k，求(n)y（n正整数）解:(xn1)解:解:(xn1xn2x1)(n)y(11i(n)x)(1n!nx)x23x2(n)正整数）(n)y(n)y(x1)(x2)(x2)2(x(1)(2)(x(11)nn!(x4sinx1)22)3(x2)(n

13、1)cos4x，求2)11(x1)1)(x31)(n1y(n)(n正整数)cos2x、2“1cos2X)22)(12-(22cos22x)4141cos4x44ncos(4x32x(n)xe，求y(n解：用莱布尼兹公式4n1cos(4x-)正整数）ny(n)c：(x3)(k)(e2x)(nk)x3(e2x)(n)3nx2(e2x)(n1)n(n1)6x(e2x)(n2)n(n1)(n2)6(eV2n3e2x8x312nx26n(n1)xn(n1)(n2)2.2微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理(泰勒公式)。注：数学三不考泰勒定

14、理，数学四不考泰勒定理这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。(甲)内容要点b、罗尔定理设函数f(x)满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；(3) f(a)f(b)则存在(a,b)，使得f()0几何意义：条件(1)说明曲线yf(x)在A(a,f(a)和B(b,f(b)之间是连续曲线；包括点A和点B。条件(2)说明曲线yf(x)在代B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线不包括点A和点B。条件(3)说明曲线yf(x)在端点A和B处纵坐标相等。结论说明曲线yf(x)在点A和点B之间不包括点A和点B至少有一点，它的切线平

15、行于x轴。、拉格朗日中值定理b)设函数f(x)满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导则存在(a,b)，使得f(b)f(a)f()ba或写成f(b)f(a)f()(ba)(a有时也写成f(x0x)f(X)f(x0x)x(01)这里x0相当a或b都可以，x可正可负。几何意义：条件(1)说明曲线yf(x)在点A(a,f(a)和点B(b,f(b)之间包括点A和点B是连续曲线：条件(2)说明曲线yf(x)不包括点A和点B是光滑曲线。结论说明：曲线yf(x)在A，B之间不包括点A和点B，至少有点，它的切线与割线AB是平行的。推论1若f(x)在(a,b)内可导，且f(x)0,贝U

16、f(x)在(a,b)内为常数。推论2若f(x)和g(x)在(a,b)内可导，且f(x)g(x),则在a,b内f(x)g(x)C，其中C为一个常数。(注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当f(a)f(b)特殊情形，就是罗尔定理)三、柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足：(1) 在闭区间a,b上皆连续；(2) 在开区间(a,b)内皆可导；且g(x)0，则存在(a,b)使得g(x)x时，柯西中值定盂需泪b)(注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形理就是拉格朗日中值定理)几何意义：考虑曲线汕参数方程y常t两0珈g自貝册点A(g(a),f(a)，点B(g(b),f(b)曲线在二上是连续

17、曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。四、泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)定理1(带皮亚诺余项的n阶泰勒公式)设f(x)在X。处有n阶导数，则有公式f(x)f(Xo)Xo)f严)(XXo)2-卑(xXo)nRn(x)1!2!n!(XXo)其中Rn(x)O(XXo)n(XXo)称为皮亚诺余项。(Rn(x)o)limno)x冷

18、(xXo)前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n,所以对常用的初等函数如ex,sinx,cosx,ln(1x)和(1x)a(为实常数)等的n阶泰勒公式都要熟记。定理2(带拉格朗日余项的n阶泰勒公式)设f(x)在包含xo的区间(a,b)内有n1阶导数，在a,b上有n阶连续导数，则对xa,b，有公式f(X)f(Xo)Xo)Xo)2-严(XXo)nRn(x)1!2!n!其中Rn(x)f(n1)()(nV(XX0)，(在X0与X之间)称为拉格朗日余项。上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。x00时，也称为麦克劳林公式。如果limRn(x)0，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这

19、在后面无穷级数中再讨论。n(乙)典型例题一、用罗尔定理的有关方法例1设f(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)f(1)f(2)3，f(3)1.试证：必存在(0,3)，使f()0证：f(x)在0,3上连续，f(x)在0,2上连续，且有最大值M和最小值m.于是mf(0)M；mf(1)M；mf(2)M，故1m-f(0)f(1)f(2)M.由连续函数介值定理可知，至少存在一点c0,2使得31f(c)-f(0)f(1)f(2)1，因此f(c)f(3)，且f(x)在c,3上连续，(c,3)3内可导，由罗尔定理得出必存在(c,3)(0,3)使得f()0。1例2设f(x)在0,1上连续，(0,1

20、)内可导，且32f(x)dxf(0)3求证：存在(0,1)使f()02证：由积分中值定理可知，存在c-1，使得3122 f(x)dxf(c)(1-)3 3得到1f(c)32f(x)dxf(0)3对f(x)在0,c上用罗尔定理，(三个条件都满足)故存在(0,c)(0,1)，使f()0例3设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，对任意k1，有f(1)1k:xe1xf(x)dx,求证存在(0,1)使f()(1171x1c1证：由积分中值定理可知存在c0,使得kxef(x)dxcef(c)(0)k0k)f()令F(x)xe1xf(x)，可知F(1)f(1)1这样F(1)f(1)k0kxe1xf(x

21、)dxce1cf(c)F(c)，对F(x)在c,1上用罗尔定理(三个条件都满足)存在(c,1)(0,1)，使F()0而F(x)e1xf(x)xe1xf(x)xe1xf(x)11-F()ef()(1-)f()011又e0，则f()(1)f()在例3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理，否则结论只是f()0,而且条件也不满足。因此如何构造一个函数F(x)，它与f(x)有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从F()0就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键，下面的模型I,就在这方面提供一些选择。模型I：设f(x)在a,b上连续

22、，(a,b)内可导，f(a)f(b)0则下列各结论皆成立。(1) 存在1(a,b)使f(Jlf(1)0(l为实常数)k1(2) 存在2(a,b)使f(2)k2f(2)0(k为非零常数)(3) 存在3(a,b)使f(3)g(3)f(3)0(g(x)为连续函数)证：(1)令F(x)elxf(x)，在a,b上用罗尔定理/F(x)lelxf(x)elxf(x)存在1(a,b)使F1lel1f1el1f10消去因子el1，即证.k(2)令F(x)exf(x)，在a,b上用罗尔定理kkF(x)kxk1exf(x)exf(x)kikk存在2(a,b)使F(2)k2k1e2f(2)e2f(2)0消去因子e2，

23、即证。(3)令F(x)eG(x)f(x)，其中G(x)g(x)F(x)g(x)eG(x)f(x)eG(x)f(x)由F(3)0清去因子eG(3)，即证。例4设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导,f(0)f(1)f()1，试证:(1)存在(2,1)，使f()(2)对任意实数，存在(0,)，使得f(f()证明：(1)令(X)f(x)x，0,1上连续，又1(1)10,(?)20，根据介值定理，存在(-1,1)使)0即f()(2)令F(x)ex(x)exf(x)x，它在0,上满足罗尔定理的条件，故存在(0,)，使F()0,即卩eff10从而f()f()1(注：在例4(2)的证明中，相当于模型1

24、中(1)的情形，其中I取为，f(x)取为(x)f(x)x)模型n：设f(x),g(x)在a,b上皆连续，(a,b)内皆可导，且f(a)0,g(b)0,则存在(a,b)，使f()g()f()g()0证：令F(x)f(x)g(x)，则F(a)F(b)0，显然F(x)在a,b上满足罗尔定理的条件，则存在(a,b)，使F()0,即证.求证：存在(0,1)使得f()kf()f()证：令g(x)(x1)k,a0,b1，则f(0)0,g(1)0,用模型n,存在(0,1)使得f()(1)kk(1)k1f()0故f()(1)kf()0贝Uf()kf()f()例5设f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导,f(0

25、)0,k为正整数。例6设f(x),g(x)在(a,b)内可导，且f(x)g(x)f(x)g(x),求证f(x)在(a,b)内任意两个零点之间至少有一个g(x)的零点证：反证法：设a治x2b，f(xj0，f(x2)0而在(xx?)内g(x)0，则令F(x)丄凶在xix上用罗尔定理g(x)Qf(xi)f(x?)0,F(xJ0,F(X2)0g(xi)g(x2)(不妨假设g(xj0,g(X2)0否则结论已经成立)贝U存在(Xi,x2)使F()0，得出f()g()f()g()0与假设条件矛盾。所以在(x1,x2)内g(x)至少有一个零点例7设f(x),g(x)在a,b二阶可导，且g(x)0,又f(a)f

26、(b)g(a)g(b)0求证：(1)在(a,b)内g(x)0;(2)存在(ab)使f()f()(a,b)，使g()g()证：(1)用反证法，如果存在c(a,b)使g(c)0,则对g(x)分别在a,c和c,b上用罗尔定理，存在洛(a,c)使g(xj0，存在x?(c,b)使g(x?)0,再对g(x)在xi,X2上用罗尔定理存在X3(Xi,X2)使g(X3)0与假设条件g(x)0矛盾。所以在(a,b)内g(X)0(2)由结论可知即f()g()f()g()0,因此令F(x)g(x)f(x)g(x)f(x)，可以验证F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，F(a)F(b)0满足罗尔定理的三个条件故存

27、在(a,b)，使F()0于是f()g()f()g()0成立、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1设f(X)在(,)内可导,xc且limf(x)e,lim()xlimf(x)f(x1)xxxcx求c的值解：由条件易见，c0(1-)xcXC、xlim()lime2ccexxcX(1亍eX由拉格朗日中值定理，有f(x)f(X1)f()x(X1)f()其中介于(x1)与X之间，那么limf(x)f(x1)limf()eXx()于是e2ce，2c1，则c12例2设f(x)是周期为1的连续函数，在(0，1)内可导，且f(1)0，又设M0是f(x)在1，2上的最大值，证明：存在(1,2)，使得|f()2M。

28、证：由周期性可知f(0)f(1)f(2)0,不妨假定X0(1,2)而f(x。)M0，对f(x)分别在1,X。和X0,2上用拉格朗日中值定理，存在1(1,x。)，使得f(J里也血X01(I)存在(0),1)，使得f()1(n)存在(0,1),，使f()f()1(I)令g(x)f(x)x1，则g(x)在0,1上连续,且g(0)g(1)10,用介值定理推论存在(0,1)，使g()0,即f(n)在0,和,1上对f(X)用拉格朗日中值定理，存在得f()f()f(0)1上连续，(0,1)内可导，且例3设f(X)在0,1f(0)0，f(1)1，证明:(0,)，使0证:10，)1存在2(X0,2)，使得f(2

29、)f(2)f(x)2X0如果Xo(1,|)，则用式，得f(1)f(X0)X12M;如果X03,2)，则用式，得2f(2)f(X。)22M;因此，必有(1,2)，使得f()2MXo存在(,1)，使f()空f)1(1)1例4设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(x)0,若极限limf(2x_a)存在，证明：xaxa(1) 在(a,b)内f(x)0；(2) 在(a,b)内存在，使b2a22；bf(x)dxf()(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点，使222bf()(ba)af(x)dxaa证：(1)因为limf(2x_存在，故limf(2xa)0，由f(x)在a,

30、b上Xaxaxa连续，从而f(a)0.又f(x)0知f(x)在(a,b)内单调增加，故f(x)f(a)0,x(a,b)2x(2)设F(x)x,g(x)af(t)dt(axb)，则g(x)f(x)0,故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使F(b)F(a)g(b)g(a)222、ba(x)baxf(t)dtaf(t)dt(af(t)dt)b2a22bf(x)dxf()a(3)因f()f()f()f(a)，在a,上应用拉格朗日中值定理，知在(a,)内存在一点，使f()f()(a)，从而由(2)的结论得即有f()(b2a2、2bf(x)dx.三、泰勒公式(数学一和数学

31、二)例1设f(x)在-1，1上具有三阶连续导数,f(1)f(1)1，f(0)0.求证:(1,1)，使f()3.f02ffxf0f0x-x证：麦克劳林公式2!其中x1,1，介于0与x之间。3x3!(0)0f(1)f(0)0)守(1)26f(1)(1)babaf(x)dx(2!6f(0)2131ff(0)127f(2)13(021)2!6后式减前式，得f(i)f(2)6-f(X)在!,2上连续，设其最大值为M，最小值为m.则m訴(i)f(2)M再由介值定理，2(1,1)1使f()-f(1)f(2)3例2设函数f(x)在闭区间a,b上具有二阶导数，且f(a)f(b)0,试证：在(a,b)内至少存在一

32、点，使|f()14f(b)f(a)(ba)2分析：因所欲证的是不等式，故需估计f()，由于一阶泰勒公式12、f(x)f(X0)f(x)(xX0)2f()(xX0)，(其中在X0,X之间)成立。含有f(),因此应该从此入手再由f(a)f(b)0知，应在a,豊卫,七占，b两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的,f(x)项，同时又能出现(ba)2项.证：在a,円与专，b上分别用泰勒公式，便有咛)abf(a)f(a)(aba)21-f(1)(2!j,a2咛)f(b)f心b)1d(2)(ba)2a_T),_两式相减，得If(b)f(a)|181214(ba)2-(|f(J|f(2)|)(ba)2|

33、f(1)f(2)|i(ba)2max|f(J|,|f(2)|.所以至少存在一点(a,b)，使得f(b)f(a)1f()14|J(ba)2.3导数的应用（甲）内容要点1、判断函数的单调性二函数的极值1定义设函数fx在a,b内有定义，x0是a,b内的某一点，则如果点Xo存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点xxXo，总有fxfXo，则称fx0为函数fx的一个极大值，称x0为函数fx的一个极大值点；如果点Xo存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点xxXo，总有fXfxo，则称fXo为函数fX的一个极小值，称Xo为函数fX的一个极小值点。函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。2、必要

34、条件（可导情形）设函数fX在Xo处可导，且Xo为fX的一个极值点，贝yfXoo我们称满足fXoo的Xo为fx的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。3、第一充分条件设fX在Xo处连续，在oXXo内可导，fX）不存在，或fxo=o1o如果在Xo,Xo内的任一点X处，有fxo，而在Xo,Xo内的任一点X处，有fxo，贝Vfxo为极大值，xo为极大值点；2o女口果在Xo,Xo内的任一点X处，有fX0,而在Xo,Xo内的任一点X处，有fXO，贝yfXo为极小值，Xo为极小值点；3O女口果在Xo,Xo内与Xo,Xo内的任一点X处，fX的

35、符号相同，那么fXo不是极值，Xo不是极值点4、第二充分条件设函数fx在X。处有二阶导数，且fX。0,fX)0，则当fXo0,fXo为极大值，Xo为极大值点当fXo0,fX0为极小值，X0为极小值点三、函数的最大值和最小值1求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的方法。首先，求出f(x)在(a,b)内所有驻点，和不可导点xi,.,xk。其次计算f(xj.,f(xQ,f(a),f(b)最后，比较f(x1),.,f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在a,b上的最大值M;其中最小者就是f(x)在a,b上的最小值m。2最大(小)值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值。四、凹凸性与拐点1凹凸的定义设f(x)在区间I上连续，若对任意不同的两点x1,x2,恒有虽)1f(xjf(x2)(f(为1f(Xi)f(X2)，则称f(x)在I上2222是凸(凹)的2曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。五、渐近线及其求法六、函数作图七、曲率(乙)典型例题一、证明不等式例1求证：当X0时，(X21)1nx(x1)2证：令f(x)(x21)lnx(x1)2只需证明x0时