高等数学教案22定积分的概念与性质

1、第5章定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】：1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法；2. 理解定积分的概念及其性质；3. 掌握定积分的几何意义；【教学重点】：1.定积分的概念及其性质；【教学难点】：1.曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线yf(x)(设f(x)0)，直线xa，xb和y0(即x轴)所围成的此类型的平面图形(如图5-1所示).下面来求该曲边梯分析由于“矩形面积=底高”，而曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间a,b上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算.另一方面，由于曲线yf(x)在a

2、,b上是连续变化的，所以当点x在区间a,b上某处变化很小时，相应的f(x)也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时，其高f(x)的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积(如图5-2所示)显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A.xn1xnb，1)分割在闭区间a,b上任意插入n1个分

3、点，ax0x1x2.xi1xi将闭区间a,b分成n个小区间xnxnxn1x0,x1,x1x2,xi1,xi,x1x1x0,x2x2x1,xixixi1,它们的长度依次为过每一个分点作平行于y轴的直线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形；(2) 取近似在每个小区间Xii,Xi(i1,2,.,n)上任取一点心1ixi)，以小区间XiXiXi1为底，f(i)为高作小矩形，用小矩形的面积f(i)Xi近似代替相应的小曲边梯形的面积A，即Af(i)Xi(i1,2,.,n)，n(3) 求和把这样得到的n个小矩形的面积加起来，得和式f(i)Xi，将i1其作为曲边梯形面积的近似值，即nf(i)Xi；i1AAii1(4

4、) 取极限当分点个数n无限增加，且小区间长度的最大值maXXi)趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即nAlimf(i)Xi.0iii1定积分的定义定义1设函数yf(x)在闭区间a,b上有界，在闭区间a,b中任意插入n1个分点ax0x1x2.xi1xi.xn1xnb，将区间a,b分成n个小区间x0,x1,x1,x2,.,xi1,xi,.,xn1,xn，各小区间的长度依次为x1x1x0,x2x2x1,.,xixixi1,.,xnxnxn1，在每个小区间上任取一点i(xi1iXi)，作函数值f(i)与小区间长度Xi的n乘积f(i)n(i1,2,n),并作和f(i)Xi，记i1maX

5、Xi，(i1,2,n)，当n无限增大且0时，若上述和式的极限存在，贝U称函数yf(x)在区间a,b上可积，并将此极限值称为函数yf(x)在a,b上的定积分，记为f(X)dX.b即f(X)dXlimf(i)Xi，a0i1其中x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间，符号bf(x)dx读作函数f(x)从aa到b的定积分.按定积分的定义，两个引例的结果可以分别表示为:bbAaf(x)dx，QaP(t)dt，关于定积分的定义作以下几点说明：(1) 和式的极限"叫f(i)xi存在(即函数f(x)在a,b上可积)是指不i

6、1i(xiixj怎样取法，极限都存在.f(x)的表达式及积分区间a,b有关，与积论对区间a,b怎样分法，也不论对点(2) 和式的极限仅与被积函数分变量使用什么字母无关，即bbaf(t)dtaf(u)du.我们补充如下规定：bf(x)dxa(3) 定义中要求积分限ab，b当ab时，af(x)dx0.,ba当ab时，f(x)dxf(x)dxab则f(x)在a,b上可积。(4) 函数可积的两个充分条件：若f(x)在a,b上连续，若f(x)在a,b上有界,且只有有限个第一类间断点，则f(x)在a,b上可积。baf(x)dx在几何上f(x)0时，由前述可知，定积分Ay=当f(x)在a,b上有正f(x)及

7、两直线图5a3xbz=/()定积分示x轴，曲线Jbf(x)dx在几何上a寸，b所围成的各个曲边梯形面图5的代数和(见图5-4)，定积分的几何意义当表示由曲线yf(x)，两直线xa,xb与x轴所围成的曲边梯形的面积；b如果f(x)0，这时曲边梯形位于x轴下方，定积分f(x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值，如图5-3;af(x)dxAA2A.定积分的性质以下性质中函数均为可积函数.性质1函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)bbbaf(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx.性质1可推广到有限多个函数代数和的情形.性质2被积函数的常数因子可以提到定积分的符号外面,bb即kf(x

8、)dxkf(x)dx，(k为常数).aa性质3如果在区间a,b上f(x)C，贝Ubbf(x)dxCdxC(ba),aab特别地，C1时，dxba.a性质3的几何意义如图5-7所示.性质4(积分区间的可加性)如果积分区间a,b被点c分成两个区间a,c和c,b,则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和，即f(x)dxcaf(x)dxf(x)dx.注意：无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立。b性质5如果在区间a,b上,f(x)0，贝Uf(x)dx0(ab).a性质6(定积分的单调性)如果在区间a,b上，有f(x)g(x),bb则f(x)dxg(x)dx(ab).aa例2比较下列各对

9、积分值的大小(1) 3xdx与x3dx00(2) 2xdx与2sinxdx00解(1)由幕函数的性质，在0,1上，有3xx3由定积分性质，得Vxdx13,xdx00(2)在0,-内有xsinx，得2xdx2sinxdx200性质7(估值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上的最大值为M，最小b值为m，贝Um(ba)f(x)dxM(ba)(ab).a性质7说明，由被积函数在积分区间上的最大值和最小值可以估计积分值的大致范围12例3估计定积分exdx的值.12解先求f(x)ex在区间1,1上的最大值和最小值，为此求得2f(x)2xex，令f(x)0，得驻点x0，比较驻点x0处与区间端点x1处的函数值：f(0)得最小值m-，最大值Me性质8(积分中值定理)存在一点a,b，使得bf(x)dxf()(ba)a这个公式称为积分中值公式