高中数学必修1-5习题经典题

1、71必修1-5习题第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1已知A=1,2,B=x|xA，则集合A与B的关系为.解析：由集合B=x|xA知，B=1,2.答案：A=B2若？xx2wa,aR，则实数a的取值范围是.解析：由题意知，x2a有解，故a>0答案：a>03.已知集合A=y|y=x22x-1,xR，集合B=x|2<x<8，则集合A与B的关系是解析：y=x22x1=(x1)22>2,/A=y|y>2,/BA.答案：BA4. 已知全集U=R，则正确表示集合M=1,0,1和N=x|x2+x=0关系的韦恩(Venn)图是. 解析：由N=x|x2+x=0，得N

2、=-1,0，则NM.答案：5. 已知集合A=x|x>5，集合B=x|x>a，若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.解析：命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，AB,a<5.答案：a<56. 已知mA,nB，且集合A=x|x=2a,aZ,B=x|x=2a+1,aZ，又C=x|x=4a+1,aZ，判断m+n属于哪一个集合？解：TmA,设m=2a1,a1Z,又tnB,设n=2a2+1,a2Z,-m+n=2佝+a2)+1,而a1+a2Z,m+nB.B组1. 设a,b都是非零实数，y=合+是+尧可能取的值组成的集合是.|a|b|ab|解析：分四

3、种情况：(1)a>0且b>0;(2)a>0且b<0;(3)a<0且b>0;(4)a<0且b<0，讨论得y=3或y=1.答案：3,122. 已知集合A=1,3,2m1，集合B=3,m.若B?A，则实数m=.解析：/B?A，显然m21且m23，故m2=2m1，即(m1)2=0,m=1.答案：13. 设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=a+b|aP,bQ，若P=0,2,5,Q=1,2,6，则P+Q中元素的个数是个.解析：依次分别取a=0,2,5;b=1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，P+Q=1,2,6,3,4,8,7,11.答案：

4、84. 已知集合M=x|x2=1，集合N=x|ax=1，若NM，那么a的值是.1解析：M=x|x=1或x=1,NM，所以N=?时，a=0;当a工0时，x=1或一a1, a=1或1.答案：0,1,15满足至A?1,2,3的集合A的个数是个.解析：A中一定有元素1,所以A有1,2,1,3,1,2,3答案：31 b1c16. 已知集合A=x|x=a+?aZ,B=x|x=,bZ,C=xX=;+?cZ，则A、62326B、C之间的关系是.解析：用列举法寻找规律.答案：AB=C7. 集合A=x|XS4,xR,B=x|x<a，则“A?B”是“a>5”的.解析：结合数轴若A?B?a>4,故“

5、A?B”是“a>5”的必要但不充分条件.答案：必要不充分条件&设集合M=m|m=2n,nN，且m<500，贝VM中所有元素的和为.解析：/2n<500,n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.M中所有元素的和S=1+2+22+28=511.答案：5119. 设A是整数集的一个非空子集，对于kA,如果k1?A,且k+1?A,那么称k是A的一个“孤立元”给定S=1,234,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案：61

6、0. 已知A=x,xy,lg(xy),B=0,|x|,y，且A=B,试求x,y的值.解：由lg(xy)知，xy>0,故xm0,xy0,于是由A=B得lg(xy)=0,xy=1.1 A=x,1,0,B=0,|x|,?.1于是必有|x|=1,-=xm1，故x=1，从而y=1.x211. 已知集合A=x|x3x10W0,(1) 若B?A,B=x|m+1<x<2m1，求实数m的取值范围；(2) 若A?B,B=x|m6<x<2m1，求实数m的取值范围；(3) 若A=B,B=x|m6<x<2m1，求实数m的取值范围.解：由A=x|x23x10W0，得A=x|2&l

7、t;x<5,(1) /B?A,若B=?，则m+1>2m1，即m<2，此时满足B?A.m+1w2m1,若Bm?，贝y2wm+1,解得2wmW3.2m1w5.由得，m的取值范围是(一a,3.2m1>m6，m>5,(2) 若A?B,则依题意应有m6W2,解得mW4,故3WmW4,2m1>5.m>3. m的取值范围是3,4.m6=2,(3) 若A=B,则必有解得m?.,即不存在m值使得A=B.1.2m1=5,12. 已知集合A=x|x23x+2W0,B=x|x2(a+1)x+aw0.(1) 若A是B的真子集，求a的取值范围；若B是A的子集，求a的取值范围；若A

8、=B,求a的取值范围.解：由x23x+2<0，即(x1)(x2)<0，得1<xw2,故A=x|1wx<2,而集合B=x|(x1)(xa)w0,(1) 若A是B的真子集，即AB,则此时B=x|1<xwa，故a>2.若B是A的子集，即B?A,由数轴可知1waw2.若A=B,则必有a=2第二节集合的基本运算A组1. 设U=R,A=x|x>0,B=x|x>1，贝UAn?uB=.解析：?uB=x|xw1,An?uB=x|0<xw1.答案:x|0<xw12设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9，全集U=AUB,则集合？u(AnB)中的元

9、素共有个.解析：AnB=4,7,9,AUB=3,4,5,7,8,9,?u(AnB)=3,5,8.答案：33. 已知集合M=0,1,2,N=x|x=2a,aM，则集合MnN=.解析：由题意知，N=0,2,4，故MnN=0,2.答案：0,24. 设A,B是非空集合，定义A?B=xXAUB且x?AnB，已知A=x|0wxw2,B=y|y>0，贝UA?B=.解析：AUB=0,+g),AnB=0,2，所以A?B=(2,+).答案：(2,+g)5某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.(A5?RJ解析：设两项运动

10、都喜欢的人数为x,画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30=x=3,喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).答案：126.已知集合A=x|x>1，集合B=x|mwxwm+3.(1) 当m=1时，求AnB,AUB;若B?A,求m的取值范围.解：(1)当m1时，B=x|1wxw2,AnB=x|1<xw2,AUB=x|x>1.若B?A,则n>1,即m的取值范围为(1,+)1.若集合M=xR|3<x<1,N=xZ|1wxw2，贝UMnN=解析：因为集合N=1,0,1,2，所以MnN=1,0.答案：1,02. 已知全集U=1,0,1,2，

11、集合A=1,2,B=0,2，则(?uA)nB=.解析：?uA=0,1，故(?uA)nB=0.答案：03. (济南市高三模拟)若全集U=R,集合M=x|2wxw2,N=x|x23xw0，则Mn(?uN)=.解析：根据已知得Mn(?uN)=x|2wxw2nx|x<0或x>3=x|2wx<0.答案:x|2wx<04. 集合A=3,log2a,B=a,b，若AnB=2，则AUB=.解析：由AnB=2得log2a=2,a=4，从而b=2,AUB=2,3,4.答案：2,3,45. (高考江西卷改编)已知全集U=AUB中有m个元素，(?uA)U(?uB)中有n个元素.若AAB非空，贝

12、UAAB的元素个数为.mn个元是奇数,解析：U=AUB中有m个元素，T(?uA)U(?uB)=?u(AAB)中有n个元素，/AAB中有素.答案：mn6. (高考重庆卷)设u=n|n是小于9的正整数,A=nU|nB=nU|n是3的倍数，则?u(AUB)=.解析：u=123,4,5,6,7,8,A=1,3,5,7,B=3,6,/AUB=1,3,5,6,7,得?u(AUB)=2,4,8.答案：2,4,8x7定义A?B=z|z=xy+y,xA,yB.设集合A=0,2,B=1,2,C=1，则集合(A?B)?C的所有元素之和为.解析：由题意可求(A?B)中所含的元素有0,4,5，则(A?B)?C中所含的元

13、素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：18&若集合(x,y)|x+y2=0且x2y+4=0Kx,y)|y=3x+b，贝Ub=.x+y2=0,x=0,解析：由$?点(0,2)在y=3x+b上,b=2.x2y+4=0.y=2.29. 设全集I=2,3,a+2a3,A=2,|a+1|,?iA=5,M=x|x=log2|a|，则集合M的所有子集是.解析：/AU(?iA)=I,2,3,a2+2a3=2,5,|a+1|,|a+1|=3,且a2+2a3=5,解得a=4或a=2,M=log22,log2|4|=1,2.答案：？，1,2,1,210. 设集合A=x|x23x+2=0,B=x|x2

14、+2(a+1)x+(a25)=0.(1)若AAB=2,求实数a的值；若AUB=A,求实数a的取值范围.解：由x3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=1,2.(1) /AAB=2,2B,代入B中的方程，得a+4a+3=0?a=1或a=3;当a=1时，B=x|x24=0=2,2,满足条件；当a=3时，B=x|x24x+4=0=2,满足条件；综上，a的值为1或3.(2) 对于集合B,=4(a+1)24(a25)=8(a+3)./AUB=A,B?A,当<Q即a<3时，B=?满足条件；当=0,即a=3时，B=2满足条件；当>Q即a>3时，B=A=1,2才能满足条件，则由根与系数

15、的关系得”1+2=2(a+1)a=5,2 矛盾综上，a的取值范围是aw3.1 X2=孑5|a2=7-i_a=7,11. 已知函数f(x)="J1的定义域为集合A,函数g(x)=lg(x2+2x+m)的定义域为yx+1集合B.(1) 当m=3时,求AA(?rB)；(2) 若AAB=x|1<x<4,求实数m的值.解：A=x|1<x<5.当m=3时，B=x|1<x<3，则?rB=x|xW1或x>3,二AQ(?rB)=x|3Wxw5.(2)/A=x|1<x<5,AQB=x|1<x<4,有42+2X4+m=0,解得m=8,此时B

16、=x|2<x<4，符合题意.212. 已知集合A=xR|ax3x+2=0.(1) 若A=?，求实数a的取值范围；(2) 若A是单元素集，求a的值及集合A;(3) 求集合M=aR|A丰?.解：(1)A是空集，即方程ax23x+2=0无解.2若a=0,方程有一解x=3,不合题意.2 9若a丰0,要方程ax3x+2=0无解，则=98a<0，贝Ua>§.9综上可知，若A=?，则a的取值范围应为a>§.2 22(2) 当a=0时，方程ax3x+2=0只有一根x=3,A=-符合题意.9当a工0时，贝U=98a=0，即a=时，844方程有两个相等的实数根x=

17、3，则A=3.综上可知，当a=0时，A=2；当a=8时，A=4.2一(3) 当a=0时，A=3丰?.当a丰0时，要使方程有实数根，9贝U=98a0，即aw.899综上可知，a的取值范围是aw8，即M=aR|Ah?=a|aw?第二章函数第一节对函数的进步认识J一v2一3x+41.函数y=的定义域为xx23x+4>0,解析：？x4,0)U(0,1xm0,答案：4,0)U(0,12.如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其中点0,A,分别为(0,0),(1,2),(3,1)，则f(盘)的值等于1f(商)=f(1)=2.答案：2解析：由图象知f(3)=1,3x,xw1,x>1.B的坐标3

18、.已知函数f(x)=一x,解析：依题意得xw当x>1时，一x=2,若f(x)=2,则x=3x=2,x=log32;2(舍去).故x=loga2.答案：loga24.函数f:1,.2t1,.2满足ff(x)>1的这样的函数个数有1时,x=个.解析：如图.答案：15. 由等式x3+aiX+a?x+a3=(x+1)3+ba=2或±22.B组11.函数y=j+lg(2x1)的定义域是.p3x-222解析：由3x2>0,2x1>0,得x>§.答案：x|x>?x+1)2+b?(x+1)+b3定义一个映射f®,a?,a3)=(b1,b2,b3

19、)，贝Uf(2,1,1)=.解析：由题意知x3+2x2+x1=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3,令x=1得：一1=b3；1=1+b1+b2+b3再令x=0与x=1得13=8+4b1+2b2+b3£解得b1=1,b2=0.答案：(1,0,1)1十1+(x1),6. 已知函数f(x)=x2+1(Kx<1)(1)求f(7；)，fff(2)的值；求f(3x2x+3(x<1).3 1)；(3)若f(a)=,求a.解：f(x)为分段函数，应分段求解.(1)-11.21=1(.2+1)=,2<1,f(2)=22+3,13又f(2)=1,ff(2)=f(1)=2

20、,fff(2)=1+2=213x13x3x12若3x1>1,即x>3,f(3x1)=1+322若一1<3x1<1,即卩OWxw2,f(3x1)=(3x1)2+1=9x26x+2;右3x1<1，即卩x<0,f(3x1)=2(3x1)+3=6x+13x,2(x>3),3x13f(3x1)=9x2-6x+2(0wxw|),6x+1(x<0).3 亠(3) /f(a)=2a>1或1wa<1.13当a>1时，有1+匚=：-a=2;a223V2当一1waw1时，a+1=鼻,a=±.-2x+1,(x<-1),2. 函数f(x)

21、=*；3，(1三xw2),则f(f(f(2)+5)=_.、2x1,(x>2),3 3解析：/1w2三2,峪)+5=3+5=2,/1w2W2,/f(2)=3,f(3)=(2)X(3)+1=7答案：73. 定义在区间(一1,1)上的函数f(x)满足2f(x)f(x)=lg(x+1),则f(x)的解析式为.解析：对任意的x(1,1)，有x(1,1),由2f(x)f(x)=lg(x+1),由2f(x)f(x)=lg(x+1),X2+消去f(x)，得3f(x)=2lg(x+1)+lg(x+1),“、21-f(x)=§lg(x+1)+§lg(1x),(1<x<1).2

22、1答案：f(x)=?|g(x+1)+§lg(1x),(1<x<1)4. 设函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x)+1,则函数y=f(x)与y=x图象交点的个数可能是个.解析：由f(x+1)=f(x)+1可得f(1)=f(0)+1,f(2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,本题中如果f(0)=0,那么y=f(x)和y=x有无数个交点；若f(0)丰0，则y=f(x)和y=x有零个交点.答案：0或无数2(x>0)5. 设函数f(x)=2,若f(4)=f(0),f(2)=2,贝yf(x)的解析式为|x+bx+c(xw0)f(x)=,关于x的方程f(x)=x的解的个

23、数为个.解析：由题意得b=4164b+c=c4 2b+c=22(x>0)2x+4x+2(xw0)由数形结合得f(x)=x的解的个数有3个.答案：2(x>0)323x+4x+2(xw0)6.设函数f(x)=logax(a>0,1),函数g(x)=x2+bx+c,若f(2+.2)f(.2+1)=；g(x)的图象过点A(4,5)及B(-2,-5),则a=,函数fg(x)的定义域为.答案：2(-1,3)x4x+6,X07设函数f(x)=«，则不等式f(x)>f(1)的解集是.x+6,x<0解析：由已知，函数先增后减再增，当x>0,f(x)>f(1)=

24、3时，令f(x)=3,解得x=1,x=3故f(x)>f(1)的解集为OWx<1或x>3.当x<0,x+6=3时，x=3，故f(x)>f(1)=3，解得3<x<0或x>3.综上，f(x)>f(1)的解集为x|3<x<1或x>3.答案：x|3<x<1或x>3log2(4x),x<0,&定义在R上的函数f(x)满足f(x)=c则f(3)的值为.f(x1)f(x2),x>0,解析：/f(3)=f(2)f(1)，又f(2)=f(1)f(0),f(3)=f(0),/f(0)=log24=2,af(

25、3)=2.答案：29. 有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x>20),y与x之间函数的函数关系是.解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得5a1+15(a1a2)=35a1=4，得Ia2=3，则y=353(x20),得y=3x+95,又因为水放完9595为止，所以时间为xW，又知x>20,故解析式为y=3x+95(20wxW§).答案：y=3x+95(20Wx<

26、;10. 函数f(x)=.(1a2)x2+3(1a)x+6.(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；若f(x)的定义域为2,1，求实数a的值.解：若1a2=0,即a=±1,(i)若a=1时，f(x)=.6，定义域为R，符合题意；(ii)当a=1时，f(x)=,6x+6，定义域为1,+m)，不合题意. 若1a2工0，则g(x)=(1a2)x2+3(1a)x+6为二次函数.由题意知g(x)>0对xR恒成立，1-a2>0,1<a<1,w0,(a1)(11a+5)w0,£5 5wa<1.由可得一waw1.1111(2) 由题意知，不等式(1a

27、2)x2+3(1a)x+6>0的解集为2,1，显然1a2工0且2,1是方程(1a2)x2+3(1a)x+6=0的两个根.1a<0,a<1或a>1,a=2,2+1=3(1a)a21a<2或a>1a=t2.11=3(1a)224(1a2)>011. 已知f(x+2)=f(x)(xR)，并且当x1,1时,f(x)=x2+1,求当x2k1,2k+1(kZ)时、f(x)的解析式.解：由f(x+2)=f(x),可推知f(x)是以2为周期的周期函数.当x2k1,2k+1时，2k21wxW2k+1,1wx2kw1.f(x2k)=(x2k)+1.又f(x)=f(x2)=

28、f(x4)=f(x2k),2f(x)=(x2k)+1,x2k1,2k+1,kZ.12. 在11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x).(单位：h，时间可不为整数)(1)写出g(x),h(x)的解析式；写出这216名工人完成总任

29、务的时间f(x)的解析式；应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？.2000*1000*解：(1)g(x)=(0<x<216,xN),h(x)=(0<x<216,xN).3x_v2000(0<xw86,xN).f(x)=1000.216x(87wx<216,xN*).分别为86、130或87、129.第二节函数的单调性1.(高考福建卷改编下列函数f(x)中，满足"对任意X1,x2(0,+)，当X1<x2时，都有f(X1)>f(x2)”的是.f(x)=1f(x)=(x1)2f(x)=exf(x)=In(x+1)x解析：对任意的Xi,X2(

30、0,+8)，当Xi<X2时，都有f(Xi)>f(X2),f(X)在(0,+s)上为减函数.答案:2函数f(x)(xR)的图象如右图所示，则函数f(logax)(0<a<1)的单调减区间是.,g(x)为减函数.解析：/0<a<1,y=logax为减函数，logax0,1由0<logaxw2a<x<1答案：.a,1(或(a,1)3. 函数y=寸x4+寸153x的值域是.解析：令x=4+sin2a,a0,y=sina+羽cosa=2sin(a+才,1wy<2.答案：1,2xa4. 已知函数f(x)=|e+ex|(aR)在区间0,1上单调递增

31、，则实数a的取值范围_.解析：当a<0,且ex+ex>0时，只需满足e0+£>0即可，则Ka<0;当a=0时,aaf(x)=|ex|=ex符合题意；当a>0时，f(x)=ex+"x,则满足f'(x)=exx>0在x0,1上恒成ee2x立.只需满足aw(e)min成立即可，故aw1,综上1waw1.答案：1Waw15. (原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x,都有f(x)>M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是.1(x>0)f(x)=sinx;

32、f(x)=lgx:f(x)=ex:f(x)=0(x=0)1(x<1)解析：/sinx>1,f(x)=sinx的下确界为1,即f(x)=sinx是有下确界的函数；/f(x)=lgx的值域为(一,+m),f(x)=lgx没有下确界；f(x)=ex的值域为(0,+s),f(x)=ex的下确界为0，即f(x)=ex是有下确界的函数；1(x>0)r1(x>0)/f(x)=0(x=0)的下确界为一1.f(x)=0(x=0)是有下确界的函数.答1(x<1)1(x<1)案：26. 已知函数f(x)=x2,g(x)=x1.(1)若存在xR使f(x)<bg(x)，求实数b

33、的取值范围；设F(x)=f(x)mg(x)+1mm2,且|F(x)|在0,1上单调递增，求实数m的取值范围解：一xR,f(x)<bg(xxR,x2-bx+A=(b)24b>0b<0或b>4.(2)F(x)22222=xmx+1m,=m4(1m)=5m4,当0即-2/wmW2，45时，则必需5mw0乙5wmw空55U5当>0即m<或时，设方程F(x)=0的根为xi,X2(X1<X2)，若m，则xiW0.m>2.F(0)=1m2w0若m<0,则x2<0,F(0)=1m2>01Wm<.综上所述：1Wm<0或m>2.B

34、组1下列函数中，单调增区间是(一a,0的是.1oy=-y=(x1)y=x22y=|x|x解析:由函数y=凶的图象可知其增区间为(一a,0.答案:2.若函数f(x)=log2(x2ax+3a)在区间2,)上是增函数，则实数a的取值范围是解析:令g(x)=x2ax+3a,由题知g(x)在2,+)上是增函数，且g(2)>0.4<aw4.答案：4<aw44.定义在R上的偶函数f(x),对任意xi,X20,-pm)(X1x2)，有f(X2)f(Xl)X2X1<0，则下列结论正确的是f(3)<f(2)<f(1)f(1)<f(2)<f(3) f(2)<f

35、(1)<f(3)f(3)<f(1)<f(2)解析:f(X2)f(X1)由已知<0,得f(X)在X0，+m)上单调递减，由偶函数性质得X2X1f(2)=f(2)，即f(3)<f(2)<f(1).答案：5.已知函数f(X)=(a3)x+4a(x<0),(x>0)满足对任意x产迤，都有巴严<0成立，则a的取值范围是f0<a<1,解析：由题意知，f(x)为减函数，所以a3<0,.a0>(a3)x0+4a,6函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0),定义函数g(x)=f(x)

36、(x1),则函数g(x)的最大值为.2x(x1)(0<x<1),解析：g(x)=(一x+3)(x1)(1<x<3),当0wx<1时，最大值为0;当1<XW3时,在x=2取得最大值1答案：17.已知定义域在1,1上的函数y=f(x)的值域为2,0，则函数y=f(cos,x)的值域是解析：/cos,x1,1，函数y=f(x)的值域为2,0,/y=f(cos,x)的值域为2,0答案：2,022&已知f(x)=log3x+2,x1,9，则函数y=f(x)+f(x)的最大值是.解析：函数y=f(x)2+f(x2)的定义域为1wx<9,2-x1,3，令lo

37、g3X=t,t0,1,1wxw9,y=(t+2)+2t+2=(t+3)3,当t=1时，ymax=13答案:1319. 若函数f(x)=loga(2x+X)(a>0,aM1)在区间(0,?)内恒有f(x)>0，贝Uf(x)的单调递增区间为.21解析：令尸2x+x,当x(0,2)时，吐(0,1)，而此时f(x)>0恒成立，0<a<1.121121尸2(x+4)8，则减区间为(一8，4).而必然有2x+x>0,即卩x>0或x<2.f(x)11的单调递增区间为(一，2).答案：(一，2)10. 试讨论函数y=2(log*x)22log*x+1的单调性.1

38、o解：易知函数的定义域为(0，+).如果令u=g(x)=logx，y=f(u)=2u22u+1，那1么原函数y=fg(x)是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u=logqx在x(0，+8)内是减212111函数，y=2u2u+1=2(u刁+2在u(8，刁上是减函数，在u(?，+8)上是增函数.又uw2，即logxw1，得x¥；u>1，得0<x2.由此，从下表讨论复合函数y=fg(x)的单调性：函数单调性(0，专)右+8)1u=log*、I2f(u)=2u2u+1、11y=2(log2x)22log2x+1、/I故函数y=2(log*x)22logx+1在区间(0，

39、于)上单调递减，在区间(今，+8)上单调递增.X111. 已知定义在区间(0，+8)上的函数f(x)满足f(7)=f(X1)f(X2)，且当x>1时，f(x)<0.x2(1) 求f(1)的值；判断f(x)的单调性；若f(3)=1，解不等式f(|x|)<2.解：(1)令X1=x2>0，代入得f(1)=f(X1)f(X1)=0,故f(1)=0.任取X1，X2(0，+8)，且X1>X2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，X2X1所以f()<0，即卩f(X1)f(X2)<0，因此f(X1)<f(X2)，X2所以函数f(x)在区间(0

40、，+8)上是单调递减函数.X19(3) 由f(X；)=f(X1)f(X2)得f(3)=f(9)f(3)，而f(3)=1,所以f(9)=2.由于函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数,由f(|x|)<f(9)，得凶>9,x>9或x<-9因此不等式的解集为x|x>9或x<-9.12.已知:x2+ax+bf(x)=log3,xC(0，+a)，疋否存在实数a,b,使f(x)冋时满足卜列三X个条件：在(0,1上是减函数，在1,+)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1若存在，求出a、b;若不存在，说明理由.解：/f(x)在(0,1上是减函数，1,+)上是增函数,

41、x=1时，f(x)最小,log31+a+b=1即a+b=2.22X1+ax1+bX2+ax2+b设0VX1Vx2<1,贝yf(X1)>f(x2).即一>一恒成立.(X1X2)(X1X2b)由此得>0恒成立.X1X2又TX1X2V0,X1X2>0,X1X2bv0恒成立，b>1.设1<X3VX4,则f(X3)Vf(X4)恒成立.(X3X4)(X3X4b)X3X4v0恒成立.-X3X4v0,X3X4>0,X3X4>b恒成立.bw1由b1且bw1可知b=1,a=1.存在a、b,使f(x)同时满足三个条件.第三节函数的性质A组1. 设偶函数f(x)=

42、loga|xb|在(a,0)上单调递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系为解析：由f(x)为偶函数，知b=0,f(x)=loga|x|，又f(x)在(a,0)上单调递增，所以0<a<1,1<a+1<2，则f(x)在(0，+a)上单调递减，所以f(a+1)>f(b+2).答案：f(a+1)>f(b+2)2定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)+f(4)+f(7)等于_.解析：f(x)为奇函数，且xR，所以f(0)=0,由周期为2可知，f(4)=0,f(7)=f(1)，又由f(x+2)=f(x)，令x=1得f(1)=f(1)

43、=f(1)?f(1)=0，所以f(1)+f(4)+f(7)=0答案:03. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)=f(x),且在区间0,2上是增函数，则f(25)、f(11)、f(80)的大小关系为.解析：因为f(x)满足f(x4)=f(x),所以f(x8)=f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，贝Uf(25)=f(1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(25)=f(1)=-f(1)，而由f(x4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(3)=-f(14)=f(1)，又因为f(x)在区间0,2上

44、是增函数，所以f(1)>f(0)=0，所以一f(1)<0,即卩f(25)<f(80)<f(11).答案：f(25)<f(80)<f(11)14. 已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调增加，则满足f(2x1)<fg)的x取值范围是.解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(|x|),由f(|2x1|)<f(3),再根据f(x)的单调性得|2x112121%,解得3<x<3答案：(3，3)5. 已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对xR,f(2+x)=f(2x)，当f(3)=2时，f(2011)的值为.解析：因为定义在R上的函数f(

45、x)是偶函数，所以f(2+x)=f(2x)=f(x2),故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)=f(3+502X4)=f(3)=f(3)=2答案：一26. 已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y=f(x)(Kx<1)是奇函数，又知y=f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值5.(1)证明：f(1)+f(4)=0;求y=f(x),x1,4的解析式；(3)求y=f(x)在4,9上的解析式.解：(1)证明：f(x)是以5为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又/y=f(x)(1<xw1)是奇函数，f(

46、1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0.(2) 当x1,4时，由题意可设f(x)=a(x2)25(a>0)，由f(1)+f(4)=0,得a(12)2522+a(42)25=0,a=2,f(x)=2(x2)25(1wx<4).(3) /y=f(x)(1wxw1)是奇函数，f(0)=0,又知y=f(x)在0,1上是一次函数，可设f(x)=kx(0wxW1)，而f(1)=2(12)5=3,k=3,当0wxw1时，f(x)=3x,从而当一1wx<0时，f(x)=f(x)=3x,故一1wxw1时，f(x)=3x.当4wxw6时，有1wx5w1,.f(x)=f(x5)=3(x5

47、)=3x+15.当6<xw9时，1<x5w4,f(x)=f(x5)=2(x5)225=2(x7)25."3x+15,4wxw6二f(x)=2.2(x7)5,6<xw9B组1. 函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x1)都是奇函数，则下列结论正确的是.f(x)是偶函数f(x)是奇函数f(x)=f(x+2) f(x+3)是奇函数解析：/f(x+1)与f(x1)都是奇函数，f(x+1)=f(x+1),f(x1)=f(x1),函数f(x)关于点(1,0)，及点(一1,0)对称，函数f(x)是周期T=21(1)=4的周期函数.f(x1+4)=f(x1+4),f(x+

48、3)=f(x+3)，即f(x+3)是奇函数.答案：32. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+刁，且f(2)=f(1)=1,f(0)=2,f(1)+f(2)+f(2009)+f(2010)=.3解析：f(x)=f(x+2)?f(x+3)=f(x),即周期为3,由f(2)=f(1)=1,f(0)=2,所以f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2，所以f(1)+f(2)+f(2009)+f(2010)=f(2008)+f(2009)+f(2010)=f(1)+f(2)+f(3)=0.答案：03. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=1,若将f(x)的图象向右平移一个单位后，

49、得到一个偶函数的图象，贝Uf(1)+f(2)+f(3)+f(2010)=.解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x),将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f(-2+x)=-f(x),即f(x+2)=-f(x)，所以周期为4,f(1)=1,f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2010)=f(4)X502+f(2)=0答案:04. (湖南郴州质检)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0,+)上有f(x)>0，若f(-1)=0,那么

50、关于x的不等式xf(x)<0的解集是.解析：在(0,+)上有f'(x)>0，则在(0,+)上f(x)是增函数，在(a,0)上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，且f(-1)=0,f(1)=0.从而可知x(-a,-1)时，f(x)>0；x(1,0)时，f(x)<0;x(0,1)时，f(x)<0;x(1,+a)时，f(x)>0.不等式的解集为(-a,1)U(0,1)答案：(a,1)U(0,1).5. (高考江西卷改编)已知函数f(x)是(-a,+a)上的偶函数，若对于x>0,都有f(x+2)=f(x),且当x0,2)时，f(x)=log2(x+1)

51、,则f(2009)+f(2010)的值为.解析：/f(x)是偶函数，f(-2009)=f(2009).If(x)在x>0时f(x+2)=f(x),f(x)周期为2.f(-2009)+f(2010)=f(2009)+f(2010)=f(1)+f(0)=log22+log21=0+1=1答案:116. (江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x,满足f(x+2)=-两,若当2<x<3时，f(x)=x,贝Uf(2009.5)=.解析：1由f(x+2)=-，可得f(x+4)=f(x),f(2009.5)f(502X4+1.5)f(1.5)f(-T(x)2.5)

52、/f(x)是偶函数，f(2009.5)=f(2.5)=5.答案：|7. (安徽黄山质检)定义在R上的函数f(x)在(-a,a上是增函数，函数尸f(x+a)是偶函数,当X1<a,x2>a，且|X1a|<|x2a|时，贝Vf(2ax“与f(x2)的大小关系为.解析：ty=f(x+a)为偶函数，y=f(x+a)的图象关于y轴对称，y=f(x)的图象关于x=a对称.又/f(x)在(一a,a上是增函数，f(x)在a,+a)上是减函数.当*<a,x2>a,且凶a|<|x2a|时,有a-X1<x2a,即a<2a-X1<X2,二f(2a-x"&g

53、t;f(x2).答案：f(2a-*)>f(X2)&已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(x+1).若f(a)=-2，则实数a=.解析：当x>0时，f(x)=x(x+1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0,a<0,f(-a)=2,a(-a+1)=2,a=2(舍)或a=-1.答案：19. (高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间0,2上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x解析：因为定义在R上的

54、奇函数，满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)=f(x),因此，函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,0上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根X1,X2,X3,X4,不妨设X1VX2VX3VX4.由对称性知X1+X2=12,X3+X4=4,所以X1+X2+X3+X4=12+4=8.答案：-810. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x(a,0)时，f(x)=xlg(2x)，求f(x)的解析式.解：/f(x)是奇函数，可得f(0)=f(0),f(0)=0当x>0时，一x<0,由已知f(x)=xlg(2+x),f(x)=xlg(2+x),即即f(x)=xlg(2+x)(x>0).xlg