1.2向量组的最大无关组与秩ppt课件

1、第三节第三节 向量组的最大无关组与秩向量组的最大无关组与秩一、向量组的秩一、向量组的秩二、向量组的等价二、向量组的等价三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系1一、向量组的秩一、向量组的秩一个向量组所含的向量个数最多的无关一个向量组所含的向量个数最多的无关 部分组有什么性质部分组有什么性质? ?问问题题定义定义2.3.1 如果一个向量组的一个部分组如果一个向量组的一个部分组 12,r 线性无关线性无关, 并且向量组中的任意一个向量都可以由并且向量组中的任意一个向量都可以由 12,r 线性表出线性表出, 则称则称 12,r 为这个向量组为这个向量组 的一个最大线性无关向量组的一个

2、最大线性无关向量组, 简称最大无关组简称最大无关组.向量组向量组的的 最大无关组所含向量的个数最大无关组所含向量的个数r称为向量组称为向量组的秩的秩,记作记作 R只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组, 并规定它的秩为并规定它的秩为0. 2例例1设向量组设向量组 A: 1 = 1, 1, 1T ,2 =2,1, 0T , 3 =3,2,1T求求A的一个最大无关组的一个最大无关组解解因因 1 , 2线性无关线性无关 , 3 = 1+ 2 1 , 2为为A的一个最大无关组的一个最大无关组 1 , 3和和2 , 3也都是也都是A的最大无关的最大无关组组例例2 n维单位坐标向

3、量组维单位坐标向量组1,2,n 是是Rn的一个的一个最大无关组最大无关组 因为向量组因为向量组1,2,n 1,2,n 线性无关线性无关而而n+1n+1个个n n 维向量必然线性相关维向量必然线性相关,Rn,Rn的任一个向量的任一个向量都可由都可由1,2,n 1,2,n 线性表出线性表出所以所以1,2,n 1,2,n 为为RnRn的一个最大无关组的一个最大无关组3一个向量组的最大无关组与原向量组有什么关系一个向量组的最大无关组与原向量组有什么关系? ?向量组最大无关组的四个基本问题向量组最大无关组的四个基本问题 存在、唯一、个数、求法存在、唯一、个数、求法需要进一步讨论两个向量组之间的关系需要进

4、一步讨论两个向量组之间的关系 向量组最大无关组的几个问题向量组最大无关组的几个问题4二、向量组的等价二、向量组的等价设有两个设有两个n n维向量组维向量组A A与与B,B, 如果向量组如果向量组A A的每个向量可由向量组的每个向量可由向量组B B线性表出线性表出, ,则称向量组则称向量组A A可由向量组可由向量组B B线性表出线性表出, ,如果向量组如果向量组A A和和向量组向量组B B可以互相线性表出可以互相线性表出, ,则称向量组则称向量组A A与向量组与向量组B B是等价的是等价的, ,记为记为 向量组向量组A A 向量组向量组B B定义定义2.3.25 向量组向量组A,B,CA,B,C

5、之间的等价具有下列性质之间的等价具有下列性质(1) 自反性自反性 A A (2) 对称性对称性 A B = B A(3) 传递性传递性 A B, B C =A C6 由定义由定义2.3.1, A: 1, 2 , s中中任意一个向量任意一个向量 都可由都可由A1: 1, 2 , r线性表线性表出出 故故 A A1 对对i ( i = 1,2,r), 由由 可知可知A1 可由可由A线性表出线性表出 i = 0 1 +1 i + 0 r + 0 r+1+ 0 s推论推论2.3.12.3.1向量组的任意两个最大无关组等价向量组的任意两个最大无关组等价定理定理2.3.1向量组与它的任一最大无关组等价向量

6、组与它的任一最大无关组等价证证设向量组设向量组A :1 , 2 , r , r+1 , ,s A1 :1 , 2 , ,r 是是A的一个最大无关的一个最大无关组组 7定理定理2.3.2如果如果n n维向量组维向量组1, 1, 2 ,2 , , s s可由可由n n维向量维向量组组1,1,2 ,2 , ,t t线性表出线性表出, ,并且并且st,st,则向量组则向量组1, 1, 2 ,2 , , s s必线性相关必线性相关 如果向量组如果向量组1,1,2 ,2 , ,s s 可由向量组可由向量组 1,1,2 ,2 , ,t t线性表出线性表出, ,并且并且1,1,2 ,2 , ,s s线性无关线

7、性无关, , 则则s t s t 推论推论2.3.28 设无关向量组设无关向量组A,BA,B含向量数分别为含向量数分别为s,t,s,t,由推论由推论2.3.2, 2.3.2, 因因A A可由可由B B线性表出线性表出, ,所以所以s st;t;同样因为同样因为B B也可由也可由A A线线 性表出性表出, ,所以所以t ts s 故故 s =t s =t两个等价的线性无关的向量组所含两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同向量的个数相同证证推论推论2.3.3一个向量组的任意两个最大无关组所含一个向量组的任意两个最大无关组所含向量的个数相同向量的个数相同推论推论2.3.4推论推论2.3.5等价

8、向量组的秩相等等价向量组的秩相等 推论推论2.3.5的逆命题不成立的逆命题不成立9例例3已知向量组已知向量组1,2可由向量组可由向量组1,2线性表示线性表示,即即1122122 112212(1)11问这两个向量组是否等价问这两个向量组是否等价?解解知知由于由于121230,1111可逆可逆101111222121233(2)111133 向量组向量组1,2 可由向量组可由向量组1,2线性表示线性表示综合综合(1)(2), 这两个向量组等价这两个向量组等价11三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义定义2.3.3矩阵矩阵A A的行向量组的秩称为矩阵的行向量组的秩称为矩阵A

9、A的行秩的行秩, A, A的的列向量组的秩称为矩阵列向量组的秩称为矩阵A A的列秩的列秩设设A是一个是一个mn矩阵矩阵,令令1212,(1,2,),(1,2, )Tjiiinjjjmjaaaimaajna每行构成每行构成1个个n维行向量；每列构成维行向量；每列构成1个个m维列向量维列向量A是由是由m个个n维行向量或维行向量或n个个m维列向量构成的维列向量构成的12定理定理2.3.32.3.3行初等变换不改变矩阵的行秩与列秩行初等变换不改变矩阵的行秩与列秩证明思路证明思路1仅需证明如果矩阵仅需证明如果矩阵A经一次行初等变换化经一次行初等变换化为为B时时A,B有相同的行秩有相同的行秩. 注意到此时

10、注意到此时A, B的行向量组等价的行向量组等价, 秩自然相同秩自然相同. 即证即证考虑对考虑对A的列向量进行行初等变换化为的列向量进行行初等变换化为B时时,A与与B有相同的列秩有相同的列秩. 注意到此时注意到此时AX=0与与 BX=0为同解方程组为同解方程组 证明思路证明思路213推论推论2.3.6矩阵的列初等变换不改变矩阵的行秩与列秩矩阵的列初等变换不改变矩阵的行秩与列秩定理定理2.3.4矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩据据 定理定理2.3.3 和和 定理定理2.3.6 得得 如果对矩阵如果对矩阵A的转置的转置AT作行初等变换作行初等变换,由定理由定理

11、2.3.3,行初等变换不改变矩阵行初等变换不改变矩阵AT的行秩与列秩的行秩与列秩.即对应于即对应于A作列初等变换不改变矩阵作列初等变换不改变矩阵A的列秩与行秩的列秩与行秩矩阵的行秩和列秩相等且即为矩阵的秩矩阵的行秩和列秩相等且即为矩阵的秩定理定理2.3.514 1=1,2,3T, 1=1,2,3T, 2=-3,-2,3T2=-3,-2,3T 3=4,7,9T, 3=4,7,9T, 4=5,9,12T4=5,9,12T例例4 已知向量组已知向量组求求1,2,3,4的秩及其一个最大无关组的秩及其一个最大无关组,并将其余向量用这个最大无关组线性表出并将其余向量用这个最大无关组线性表出解解令令A=1,2,3,4,对对A作行初等变换化为作行初等变换化为行最简形行