1.2向量的概念及运算ppt课件

1、高校理科通识教育平台数学课程微积分学(二)多元微积分学空间解析几何空间解析几何授课教师 孙学峰向量代数与空间解析几何1 向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念一、向量的基本概念1. 向量向量: 既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量, 称为向量称为向量.(或矢量或矢量)2. 向量的几何表示法向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.ABa以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, , a .a向量AB的大小叫做向量的模. 记为 |AB| 或 . |a( 一一 ) 向量的

2、概念向量的概念3. 自由向量自由向量ab自由向量自由向量: 只有大小、方向只有大小、方向, 而无特定起点而无特定起点的向量的向量. 具有在空间中可以任意平具有在空间中可以任意平移的性质移的性质.,ba与当向量 大小相等且方向相同,记作相等与称 .baba特别特别: 模为模为1的向量称为单位向量的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.1. 向量加法向量加法.(1) 平行四边形法则设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 称为 的和, 记作ba、ba与.baba、baab(2) 三角形法则baab将 之一平行移动,使 的起点与

3、 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量为ba、aba.bab( 二二 ) 向量的加减法向量的加减法2. 向量加法的运算规律向量加法的运算规律.(1) 交换律: abbabaabccbcba(2) 结合律:)()(cbacba例如例如:4321aaaass1a2a3a4aabababba3. 向量减法向量减法.(1) 负向量: 与 模相同而方向相反的向量, 称为 的负向量.记作aa. aaa(2) 向量减法.规定:)( baba 平行四边形法则平行四边形法则.将 之一平移, 使起点重合, 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 为 ba、ba和.ba 三角形法则三角形法则.将 之一平

4、移, 使起点重合, 由 的终点向 的终点作一向量, 即为 ba、.baabbaabbaabbba1. 定义定义实数与向量 的 为一个向量.aa乘积其中: |aa当 0时, ;同向与 aa当 0时, ;反向与 aa当 = 0时, .,它的方向可以是任意的oa2. 数与向量的乘积的运算规律数与向量的乘积的运算规律:(1) 结合律:auauau)()()(2) 分配律:auaau)(baba )(a( 0)( 三三) 数与向量的乘法数与向量的乘法结论结论: 设设 表示与非零向量表示与非零向量 同向的同向的单位向量单位向量.aa那么aaa|或|1aaaaa定理定理1 : 两个非零向量两个非零向量 平行

5、平行ba与. ba存在唯一实数，使得(方向相同或相反)例例1 : 在平行四边形在平行四边形ABCD中中, 设设AB= , AD =ab试用 表示向量MA, MB, MC 和MD.ba和其中, M是平行四边形对角线的交点.解:ba由= AC = 2MC有MC = )(21ba又 = BD = 2MDab)(21ab有MD = MB = MD )(21)(21baab)(21baMA = MC abDABCM1. 点在轴上投影点在轴上投影设有空间一点A及轴u, 过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A叫做点A在轴u上的投影.AAu( 四四 ) 向量在轴上的投影向量在轴上的投影2. 向量在轴上的投影

6、向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B . 定义定义BBAAu向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段A B 为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，xeBA则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作ABjuPr即xABjuPr则向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue显然；ABjuPrBA| |ABjuPrBA当 与u轴同向时，BA当 与u轴反向时，BA3. 两向量的夹角两向量的夹角设有非零向量ba,(起点同).b) ,(baa规定：正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角,记为 或) ,(ba) ,(abba,ba,(1) 假设 同向，

7、那么ba ,0) ,(ba(2) 假设 反向，那么ba ,) ,(ba(3) 假设 不平行，那么ba ,), 0() ,(ba4. 向量的投影性质向量的投影性质.定理定理 2. (投影定理投影定理) 设向量设向量AB与轴与轴u的夹角的夹角为为那么 PrjuAB = | AB |cos BBAAuB1定理定理3 两个向量的和在轴两个向量的和在轴u上的投影等于两个上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和。向量在该轴上的投影的和。推论推论:nuuunuajajajaaajPrPrPr)(Pr2121BBAAuCC1a2a21aa2121PrPr)(Prajajaajuuu即ajajuuPr)(Pr即定

8、理定理4: 实数实数与向量与向量 的乘积在轴的乘积在轴u上的上的投影，等于投影，等于乘以向量乘以向量 在该在该轴上的投影。轴上的投影。aa二二. . 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示空间直角坐标系与空间向量的坐标表示1. 空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立ozxyzxy x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系, 又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.o(一一) 空间直角坐标系空间直角坐标系2. 坐标面坐标面. 由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们将空间分成八个卦限.zIVVIVV

9、II0 xyVIIIIIIIII1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP (x, y, z)记: 点M为M (x, y, z)OxyzMxyz(二二) 空间向量的表示空间向量的表示(1) 若点M在yz面上, 那么 x = 0; 在zx面上, 那么 y = 0; 在xy面上, 那么 z = 0.(2) 若点M在 x 轴上, 那么 y = z = 0在 y 轴上, 那么 x = z = 0在 z 轴上, 那么 x = y = 0特别特别:2. 空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示(1). 起点在原点的向量OM设点 M (x, y, z)以 i, j, k 分别表示

10、沿 x, y, z轴正向的单位向量, 称为基本单位向量. OM = OA + AN +NM= OA + OB + OC = xi + yj + zkx, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为 OM =x, y, z称为向量OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：22|NMONOM222zyx从而：222|OCOBOA222zyxOM(1)(2). 起点不在原点O的任一向量 a = M1M2设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)a = M1M2 = OM2 OM1= (x2 i+ y2

11、 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k即 a = x2 x1 , y2 y1 , z2 z1为向量a的坐标表示式记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.zxyM1M2ao22212xyzM Maaa由此得两点间距离公式：由此得两点间距离公式：222212121()()()xxyyzz22212212121()()()MMxxyyzz 12,xyzaM Ma aa(3). 运算性质设 a =ax , ay , a

12、z, b =bx , by , bz, 且为常数 a b = ax bx , ay by , az bz a = ax , ay , az证明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a + b = ax + bx , ay + by , az + bz (4) 两向量平行的充要条件.设非零向量 a =ax , ay , az, b =bx , by , bz, 即ax

13、 =bx, ay =by, az =bz,于是注: 在(*) 式中, 规定若某个分母为零相应的分子也为零. a / bzzyyxxbababa(*) a / b a = b那么(为常数)例如：4, 0, 6 / 2, 0, 31. 方向角方向角: 非零向量非零向量a 与与x, y, z 轴正轴正向夹角向夹角, , 称为称为a 的方向的方向角角.2. 方向余弦方向余弦: 方向角的余弦方向角的余弦 cos, cos, cos 称为方向余称为方向余弦弦.3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式故有 ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a |

14、cosayzx0设a =ax, ay, az,(三三) 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式又：222|zyxaaaa222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa(4)(5)由(5)式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1(6)设ao是与a同向的单位向量ao|aa222222222,yxzxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa= (cos , cos , cos )(7)例例2. 已知两点已知两点M1(2, 2, )和和M2(1, 3, 0). 计算向量计算向量M1 M2的模的模, 方向余弦和方向角方向余弦和方向角.2 解: M1 M2 = 1, 1, 2|M1 M2 | =; 24)2(1) 1(222;22cos ,21cos ,21cos43 ,3 ,32例例3: 在在z轴上求与两点轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和和B(3, 5, 2)等距离的点等距离的点.解: 设该点为M(0, 0, z)由题设 |MA| = |MB|.即:22