2012年天津市高考数学试卷（理科）解析版

1、2012年天津市高考数学试卷（理科）解析版参考答案与试题解析一、选择题1（3分）i是虚数单位，复数7-i3+i=（）A2+iB2iC2+iD2i【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项【解答】解：7-i3+i=(7-i)(3-i)(3+i)(3-i)=20-10i10=2-i故选：B【点评】本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题，解题的关键熟练掌握分母实数化的化简规则2（3分）设R，则“0”是“f（x）cos（x+）（xR）为偶函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条

2、件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】直接把0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可【解答】解：因为0时，f（x）cos（x+）cosx是偶函数，成立；但f（x）cos（x+）（xR）为偶函数时，k，kZ，推不出0故“0”是“f（x）cos（x+）（xR）为偶函数”的充分而不必要条件故选：A【点评】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题

3、，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系3（3分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为（）A1B1C3D9【考点】E7：循环结构菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|1时跳出循环，输出结果【解答】解：当输入x25时，|x|1，执行循环，x=|-25|-14；|x|41，执行循环，x=|4|-11，|x|1，退出循环，输出的结果为x2×1+13故选：

4、C【点评】本题考查循环结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题4（3分）函数f（x）2x+x32在区间（0，1）内的零点个数是（）A0B1C2D3【考点】57：函数与方程的综合运用菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据函数f（x）2x+x32在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点【解答】解：由于函数f（x）2x+x32在区间（0，1）内单调递增，又f（0）10，f（1）10，所以f（0）f（1）0，故函数f（x）2x+x32在区间（0，1）内有唯一的零点，故选：B【点评】

5、本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题5（3分）在（2x2-1x）5的二项展开式中，x项的系数为（）A10B10C40D40【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】5P：二项式定理【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项Tr+1=C5r(2x2)5-r(-1x)r=C5r25-r(-1)rx10-3r，再令103r1，得r3即可得出x项的系数【解答】解：（2x2-1x）5的二项展开式的通项为Tr+1=C5r(2x2)5-r(-1x)r=C5r25-r(-1)rx10-3r令103r1，得r3故x项的系数为C5325-3(-1)3=-40故选：D【点评】本题考查

6、二项式的通项公式，熟练记忆公式是解题的关键，求指定项的系数是二项式考查的一个重要题型，是高考的热点，要熟练掌握6（3分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知8b5c，C2B，则cosC（）A725B-725C±725D2425【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可【解答】解：因为在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知8b5c，C2B，所以8sinB5sinC5sin2B10sinBcosB，所以co

7、sB=45，B为三角形内角，所以B（0，4）C2所以sinB=1-cos2B=35所以sinCsin2B2×45×35=2425，cosC=1-sin2C=725故选：A【点评】本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，注意角的范围的估计7（3分）已知ABC为等边三角形，AB2设点P，Q满足AP=AB，AQ=(1-)AC，R若BQCP=-32，则（）A12B1±22C1±102D-3±22【考点】9Y：平面向量的综合题菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】根据向量加法的三角形法则求出BQ=BA+AQ=BA+(1

8、-)AC，CP=CA+AP=CA+AB进而根据数量积的定义求出BQCP再根据BQCP=-32即可求出【解答】解：AP=AB，AQ=(1-)AC，RBQ=BA+AQ=BA+(1-)AC，CP=CA+AP=CA+ABABC为等边三角形，AB2BQCP=BACA+BAAB+（1）ACCA+(1-)ACAB2×2×cos60°+×2×2×cos180°+（1）×2×2×cos180°+（1）×2×2×cos60°24+44+222，22+22BQCP=-

9、32424+10（21）20=12故选：A【点评】本题主要考查了平面向量数量级的计算，属常考题，较难解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出BQ，CP然后再结合数量积的定义和条件ABC为等边三角形，AB2，BQCP=-32即可求解！8（3分）设m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y20与圆（x1）2+（y1）21相切，则m+n的取值范围是（）A1-3，1+3B（，1-31+3，+）C222，2+22D（，2222+22，+）【考点】J9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到

10、直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+nx，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围【解答】解：由圆的方程（x1）2+（y1）21，得到圆心坐标为（1，1），半径r1，直线（m+1）x+（n+1）y20与圆相切，圆心到直线的距离d=|m+n|(m+1)2+(n+1)2=1，整理得：m+n+1mn(m+n2)2，设m+nx，则有x+1x24，即x24x40，x24x40的解为：x12+22，x2222，不等式变形得：（x222）（x2+22）0，解得：x2+22或x222，则m+n的取值范围为（，2222+22，+）故选：D【点评】此题考查了直线与圆

11、的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键二、填空题9（3分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18所学校，中学中抽取9所学校【考点】B3：分层抽样方法菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果【解答

12、】解：某城地区有学校150+75+25250所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，每个个体被抽到的概率是30250=325，某地区有小学150所，中学75所，大学25所用分层抽样进行抽样，应该选取小学325×15018所，选取中学325×759所故答案为：18，9【点评】本题主要考查分层抽样，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，属于基础题10（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9m3【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】5Q：立体几何【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分

13、别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为32的球体分别求体积再相加即可【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×118下部为两个半径均为32的球体，体积2×43（32）39故所求体积等于18+9故答案为：18+9【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键11（3分）已知集合AxR|x+2|3，集合BxR|（xm）（x2）0，且AB（1，n），则m1，n1【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】由题意，可先化简A集合，再由

14、B集合的形式及AB（1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值【解答】解：AxR|x+2|3xR|5x1，又集合BxR|（xm）（x2）0，AB（1，n）如图由图知m1，n1，故答案为1，1【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是理解交的运算及一元二次不等式的解集的形式，本题一定的探究性，考查分析判断推理的能力12（3分）已知抛物线的参数方程为x=2pt2y=2pt（t为参数），其中p0，焦点为F，准线为l过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则p2【考点】KI：圆锥曲线的综合；QN：抛物线的参数方程菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性

15、质与方程；5S：坐标系和参数方程【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y22px，则由抛物线的定义可得及|EF|MF|，可得MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E（-p2，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得 p=m26再由|EF|ME|，解方程可得p的值【解答】解：抛物线的参数方程为x=2pt2y=2pt（t为参数），其中p0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x2p(y2p)2，化简可得y22px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，故焦点F（p2，0），准线l的方程为x=-p2则由抛物线的定义可得|ME|MF|，再由|EF|MF|，可得MEF为等边三角形设点

16、M的坐标为（3，m ），则点E（-p2，m）把点M的坐标代入抛物线的方程可得m22×p×3，即 p=m26再由|EF|ME|，可得 p2+m2=(3+p2)2，即 p2+6p9+p24+3p，解得p2，或p6 （舍去），故答案为 2【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，把参数方程化为普通方程的方法，属于中档题13（3分）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF=32，则线段CD的长为43【考点】NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】

17、5B：直线与圆【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DCx，则AD4x，再由切割线定理，BD2CDAD求解【解答】解：由相交弦定理得到AFFBEFFC，即3×1=32×FC，FC2，在ABD中AF：ABFC：BD，即3：42：BD，BD=83，设DCx，则AD4x，再由切割线定理，BD2CDAD，即x4x（83）2，x=43故答案为：43【点评】本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质14（5分）已知函数y=|x2-1|x-1的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）（1，4）【

18、考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】作出函数图象，根据图象交点个数得出k的范围【解答】解：y=|x2-1|x-1=x+1，x-1或x1-x-1，-1x1，作出函数y=|x2-1|x-1与ykx2的图象如图所示：函数y=|x2-1|x-1的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，0k1或1k4故答案为：（0，1）（1，4）【点评】本题考查了函数的图象变换，属于中档题三、解答题15已知函数f（x）sin（2x+3）+sin（2x-3）+2cos2x1，xR（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间-

19、4，4上的最大值和最小值【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）sin（2x+3）+sin（2x-3）+2cos2x1化为f（x）=2sin（2x+4），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间-4，8上是增函数，在区间8，4上是减函数，从而可求得f（x）在区间-4，4上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（x）sin2xcos3+cos2xsin3+sin2xcos3-cos2xsin3+cos2xsin2x

20、+cos2x=2sin（2x+4），函数f（x）的最小正周期T=22=（2）函数f（x）在区间-4，8上是增函数，在区间8，4上是减函数，又f（-4）1，f（8）=2，f（4）1，函数f（x）在区间-4，4上的最大值为2，最小值为1【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=2sin（2x+4）是关键，属于中档题16现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙

21、游戏（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的人数的概率为23设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i0，1，2，3，4），故P（Ai）=C4I(13)I(23)4-I（1）这4个人中恰有2

22、人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则BA3A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的人数的概率为23设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i0，1，2，3，4），P（Ai）=C4I(13)I(23)4-I（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=C42(13)2(23)2=827；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙

23、游戏”为事件B，则BA3A4，P（B）P（A3）+P（A4）=C43(13)3×23+C44(13)4=19（3）的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（0）P（A2）=827P（2）P（A1）+P（A3）=4081，P（4）P（A0）+P（A4）=1781的分布列是 0 2 4 P 827 40811781 数学期望E=0×827+2×4081+4×1781=14881【点评】本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题17如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACA

24、D，ABBC，BAC45°，PAAD2，AC1（1）证明：PCAD；（2）求二面角APCD的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出PCAD=0，证出PCAD（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解（3）设E（0，0，h），其中h0，2，利用cosBE，CD=cos30°=32，

25、得出关于h的方程求解即可解法二：（1）通过证明AD平面PAC得出PCAD（2）作AHPC于点H，连接DH，AHD为二面角APCD的平面角在RTDAH中求解（3）因为ADC45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角在EBF中，因为EFBE，从而EBF30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（-12，12，0），P（0，0，2）（1）证明：易得PC=（0，1，2），AD=（2，0，0）

26、，于是PCAD=0，所以PCAD（2）解：PC=（0，1，2），CD=（2，1，0），设平面PCD的一个法向量为n=（x，y，z），则nPC=0nCD=0即y-2z=02x-y=0取z1，则以n=（1，2，1）又平面PAC的一个法向量为m=（1，0，0），于是cosm，n=mn|m|n|=66，sinm，n=306所以二面角APCD的正弦值为306（3）设E（0，0，h），其中h0，2，由此得BE=（ 12，-12，h）由CD=（2，1，0），故cosBE，CD=BECD|BE|CD|=3212+h2×5=310+20h2所以310+20h2=cos30°=32，解得h=1

27、010，即AE=1010解法二：（1）证明：由PA平面ABCD，可得PAAD，又由ADAC，PAACA，故AD平面PAC，又PC平面PAC，所以PCAD（2）解：如图，作AHPC于点H，连接DH，由PCAD，PCAH，可得PC平面ADH，因此DHPC，从而AHD为二面角APCD的平面角在RTPAC中，PA2，AC1，所以AH=25，由（1）知，ADAH，在RTDAH中，DH=AD2+AH2=2305，因此sinAHD=ADDH=306所以二面角APCD的正弦值为306（3）解：如图，因为ADC45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故EBF（或其补

28、角）为异面直线BE与CD所成的角由于BFCD，故AFBADC，在RTDAC中，CD=5，sinADC=15，故sinAFB=15在AFB中，由BFsinFAB=ABsinAFB，AB=22，sinFABsin135°=22，可得BF=52，由余弦定理，BF2AB2+AF22ABAFcosFAB，得出AF=12，设AEh，在RTEAF中，EF=AE2+AF2=h2+14，在RTBAE中，BE=AE2+AB2=h2+12，在EBF中，因为EFBE，从而EBF30°，由余弦定理得到，cos30°=BE2+BF2-EF22BEBF，解得h=1010，即AE=1010【点评

29、】本题考查线面关系，直线与直线所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力18已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4+b427，S4b410（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记Tnanb1+an1b2+a1bn，nN*，证明：Tn+122an+10bn（nN*）【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8M：等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项（2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相

30、减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1b12，得a42+3d，b42q3，s48+6d，由条件a4+b427，s4b410，得方程组2+3d+2q3=278+6d-2q3=10，解得d=3q=2，故an3n1，bn2n，nN*（2）证明：方法一，由（1）得，Tn2an+22an1+23an2+2na1； ；2Tn22an+23an1+2na2+2n+1a1； ；由得，Tn2（3n1）+3×22+3×23+3×2n+2n+2=12(1-2n-1)1-2+2n+26n+210×2n6n10；而

31、2an+10bn122（3n1）+10×2n1210×2n6n10；故Tn+122an+10bn（nN*）方法二：数学归纳法，当n1时，T1+12a1b1+1216，2a1+10b116，故等式成立，假设当nk时等式成立，即Tk+122ak+10bk，则当nk+1时有，Tk+1ak+1b1+akb2+ak1b3+a1bk+1ak+1b1+q（akb1+ak1b2+a1bk）ak+1b1+qTkak+1b1+q（2ak+10bk12）2ak+14（ak+13）+10bk+1242ak+1+10bk+112即Tk+1+122ak+1+10bk+1，因此nk+1时等式成立对任意的

32、nN*，Tn+122an+10bn成立【点评】本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法并考察计算能力19设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点（1）若直线AP与BP的斜率之积为-12，求椭圆的离心率；（2）若|AP|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|3【考点】K4：椭圆的性质；KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）设P（x0，y0），则x02a2+y02b2=1，利用直线AP与BP的斜率之积为-

33、12，即可求得椭圆的离心率；（2）依题意，直线OP的方程为ykx，设P（x0，kx0），则x02a2+k2x02b2=1，进一步可得x02a2+k2x02a21，利用AP|OA|，A（a，0），可求得x0=-2a1+k2，从而可求直线OP的斜率的范围【解答】（1）解：设P（x0，y0），x02a2+y02b2=1椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点分别为A，B，A（a，0），B（a，0）kAP=y0x0+a，kBP=y0x0-a直线AP与BP的斜率之积为-12，x02=a2-2y02代入并整理得(a2-2b2)y02=0y00，a22b2e2=a2-b2a2=12e=22椭圆的离心率

34、为22；（2）证明：依题意，直线OP的方程为ykx，设P（x0，kx0），x02a2+k2x02b2=1ab0，kx00，x02a2+k2x02a21(1+k2)x02a2|AP|OA|，A（a，0），(x0+a)2+k2x02=a2(1+k2)x02+2ax0=0x0=-2a1+k2代入得(1+k2)(-2a1+k2)2a2k23直线OP的斜率k满足|k|3【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，属于中档题20已知函数f（x）xln（x+a）的最小值为0，其中a0（1）求a的值；（2）若对任意的x0，+），有f（x）kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：i=1n 22i-1-ln(2n+1)2（nN*）【考点】6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）xln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；（2）当k0时，取x1，有f（1）1ln20，故k0不合题意；当k