2.3--直线-平面垂直的判定及其性质-(12月16日

1、【复习回顾】【复习回顾】1. 线面垂直的定义线面垂直的定义 若直线若直线 l 垂直平面垂直平面 a a 内的任意一直线内的任意一直线, 则叫则叫 la a.应用应用:若若 la a, 则则 l 垂直平面垂直平面 a a 内的任意一直线内的任意一直线.la a,m a a,lm. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直垂直, 那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面.符号表示符号表示:laba ala,lb,a a a,b a a,ab, la a.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理:由线线垂直得线面垂直由线线垂直得线面垂直

2、.【复习回顾】【复习回顾】【复习回顾】【复习回顾】1. 直线和平面所成的角直线和平面所成的角(1) 平面的斜线与平面所成的角平面的斜线与平面所成的角斜线与射影的夹角斜线与射影的夹角(锐角锐角).(2) 平面的垂线与平面所成的角为平面的垂线与平面所成的角为90 .(3) 平面的平行线或在平面内的直线与平面的平行线或在平面内的直线与 平面所成的角为平面所成的角为0 .【复习回顾】【复习回顾】2. 求线面角的要点求线面角的要点 (1) 找斜线在平面上的射影找斜线在平面上的射影, 确定确定线面角线面角. (2) 构造含角的三角形构造含角的三角形, 用三角函用三角函数求解数求解. 例例2. 如图如图,

3、在正方体在正方体 ABCD-A1B1C1D1中中, 求求直线直线 A1B 和平面和平面 A1B1CD 所成的角所成的角.ABCA1B1C1D1D求线面角的要点求线面角的要点:(1) 找斜线在平面上的射影找斜线在平面上的射影,确定线面角确定线面角.(2) 构造含线面角的三角形构造含线面角的三角形,O通常构造直角三角形通常构造直角三角形.(3) 在三角形中求角的大小在三角形中求角的大小. 2. 过过ABC所在平面所在平面 a a 外一点外一点 P, 作作 POa a, 垂足为垂足为 O, 连接连接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 则则 O 是是

4、AB 边边的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 则则 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 则则 O 是是ABC的的 心心.ABCPOa a解解: (1) 如图如图, POa a,则则POA= =POB= =POC= =90 ,又又 PA= =PB= =PC,POA POB POC,得得 OA= =OB= =OC, 又又C= =90 ,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.中点中点 2. 过过ABC所在平面所在平面 a a 外一点外一点 P, 作作 POa a, 垂足为垂足为 O, 连接

5、连接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 则则 O 是是 AB 边边的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 则则 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 则则 O 是是ABC的的 心心.Oa a解解: (2) 由由(1)得得 OA= =OB= =OC,中点中点到三角形三顶点的距离相等到三角形三顶点的距离相等外外ABCP的点是三角形的外心的点是三角形的外心. 2. 过过ABC所在平面所在平面 a a 外一点外一点 P, 作作 POa a, 垂足为垂足为 O, 连接连接 PA, PB, PC. (1

6、) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 则则 O 是是 AB 边边的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 则则 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 则则 O 是是ABC的的 心心.Oa a解解: (3)中点中点外外由由 PAPB, PAPC,得得 PA平面平面PBC,PABC.又由又由 POa a 得得 POBC,于是得于是得 BC平面平面POA, BCAO.同理可得同理可得 ABCO,O 为为ABC的垂心的垂心.垂垂ABCP2.3.22.3.2平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定1.两直线所成角的取值范围：两直线所成

7、角的取值范围：ABa a 1O3.平面的平面的斜线斜线和平面所成的和平面所成的 角的取值范围：角的取值范围：2.直线直线和平面所成角的取值范围：和平面所成角的取值范围：复习回顾复习回顾 0o, 90o 0o, 90o （0o, 90o ）1.1.在平面几何中在平面几何中 角角 是怎样定义的？是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或或: : 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.2.在立体几何中在立体几何中, ,异面直线所成的角异面直线所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？ 直线直线a a、b b是

8、异面直线是异面直线, ,在空间任选一点在空间任选一点O,O,分别引分别引直线直线a /a, b/ b,a /a, b/ b,我们把相交直线我们把相交直线a a 和和 bb所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。（或直角）叫做异面直线所成的角。 3.3.在立体几何中在立体几何中, ,直线和平面所成的角直线和平面所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, , 叫叫做这条直线和这个平面所成的角。做这条直线和这个平面所成的角。 问题问题: :异面直线所成的角、直线和平面所成异面直线所成的角、直线和平面所成

9、的角有什么共同的特征的角有什么共同的特征？结论结论: :它们的共同特征都是将三维空间的角它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角转化为二维空间的角, ,即平面角。即平面角。 拦洪坝拦洪坝水平水平面面二面角二面角1 1半平面定义半平面定义平面的一条直线把平面分平面的一条直线把平面分为为两两部分，其中的每一部部分，其中的每一部分都叫做一个分都叫做一个半平面半平面。半平面半平面: :ll2二面角的定义二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角，这条直线叫做，这条直线叫做二二面角的棱面角的棱，每个半平，每个半平面叫做面叫做二

10、面角的面二面角的面 棱为棱为l，两个面分，两个面分别为别为a a、 的二面角记的二面角记为为 a a-l- l a a l a aAB a a二面角二面角a aAB a al二面角二面角a a l 二面角二面角CAB DABCD5OBAAOB二面角的认识二面角的认识你从图中看出了二你从图中看出了二面角的几种写法面角的几种写法? 平卧式：平卧式： 直立式：直立式：ABa a ABla a lABa a l3画二面角画二面角 怎样度量二面角的大小？能否转化怎样度量二面角的大小？能否转化为为两相交两相交直线所成的角？直线所成的角？4二面角的大小二面角的大小 l a a 在二面角在二面角a a-l-

11、的的棱棱l上上任取任取一点一点O，如如图，图，在半平面在半平面 a a 和和 内，从点内，从点 O 分别作垂分别作垂直于棱直于棱 l 的射线的射线OA、OB，射线，射线OA、OB组成组成AOB则则 AOB 叫叫做做二面角二面角 a a-l- 的平面角的平面角 怎样度量二面角的大小？能否转化为怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交两相交直线所成的角？直线所成的角？ OBAl a a 4二面角的大小二面角的大小 在二面角在二面角a a-l- 的的棱棱l上上任取任取一点一点O，如如图，图，在半平面在半平面 a a 和和 内，从点内，从点 O 分别作垂分别作垂直于棱直于棱 l 的射线的射线OA、OB，

12、射线，射线OA、OB组成组成AOB则则 AOB 叫叫做做二面角二面角 a a-l- 的平面角的平面角 怎样度量二面角的大小？能否转化为怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交两相交直线所成的角？直线所成的角？ OO1BAB1l a a A14二面角的大小二面角的大小AOB的大小一定的大小一定 二面角的大小可以用它的二面角的大小可以用它的平面角平面角来来度量即二面角的平面角是多少度，就度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度说这个二面角是多少度二面角的范围：二面角的范围： 0o, 180o 二面角的两个面重合：二面角的两个面重合： 0o； 二面角的两个面合成一个平面：二面角的两个面合成

13、一个平面：180o；4二面角的大小二面角的大小 平面角是直角的二面角叫平面角是直角的二面角叫直二面角直二面角OAB二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内10a a lOABa a AOB二面角的平面角二面角的平面角哪个对哪个对?怎么画才对怎么画才对?1.定义法定义法 根据定义作出来根据定义作出来2.垂面法垂面法 作与棱垂直的平面与作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到两半平面的交线得到a a lABO12a a lOAB3.垂线法垂线法AOa a l

14、D归纳：求二面角大小的步骤为：归纳：求二面角大小的步骤为：（1 1）找出或作出二面角的平面角；）找出或作出二面角的平面角；（2 2）证明其符合定义）证明其符合定义(垂直于棱垂直于棱)；（3 3）计算）计算. .问题：问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？5. 平面与平面垂直平面与平面垂直 两个平面相交，如果它们所成的二两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这面角是直二面角，就说这两个平面互相两个平面互相垂直垂直. 平面平面a a与与 垂直，记作垂直，记作a a . a a a a 如果一个平面经过了另一如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么

15、这两个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直个平面互相垂直.猜想：猜想： 如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直条垂线，那么这两个平面互相垂直l ll l面面垂直的判定定理符号表示：符号表示：a a lABCD线面线面垂直垂直面面面面垂直垂直线线线线垂直垂直例例1、如图、如图,AB是是 O的直径的直径,PA垂直于垂直于 O所在所在的平面的平面,C是是 圆周上不同于圆周上不同于A,B的任意一点的任意一点,求证求证:平面平面PAC平面平面PBC. 证明证明: :设已知设已知OO平面为平面为,PABCaa面面BCPA为圆的直径又ABBCAC PAA

16、CA=PACBC面PACPBC面面BCPBC面PABCACBC,PAPAC ACPAC面面作业：作业：1A是是BCD所在平面外一点，所在平面外一点，AB=AD，ABC=ADC=90，E是是BD的中点，的中点，求证：平面求证：平面AEC平面平面ABDDACBE证明证明:(1)在ABC和ADC中，ABC=ADC=90，AB=AD，AC=AC， ABC ADC，于是CB=CD.E是等腰ABD和CBD的底边BD的中点， BDAE，BDEC. BD平面AEC， BD 平面ABD 平面AEC平面ABD， 练习练习(补充补充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂线段的垂线段, PA 是是平面平面 a a 的斜线段的斜线段, 直线直线 l a. (1) 若若 lPA, 求证：求证：lQA; (2) 若若 lQA, 求证：求证： lPA.a alPQA证明证明: (1)PQa, l a.PQl.若若 lPA, l平面平面PQA.QA 平面平面PQA,lQA. 练习练习(补充补充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂线段的垂线段, PA 是是平面平面 a a 的斜线段的斜线段, 直线直线 l a. (1) 若若 lPA, 求证求证: lQA; (2) 若若 lQA, 求证求证:lPA.a alPQA证明证明: (2)PQa, l a.PQl.若若 lQA, l平面平