最新弹性力学与有限元分析试题答案DOC

1、最新弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题

2、。7、已知一点处的应力分量b=100MPa，b=50MPa，t=10打0MPa，则主应力xyxyb=150MPa，b=0MPa，a=3516。1218、已知一点处的应力分量，b=200MPa,b=0MPa,t=-400MPa，则主应力b=512Xyxy1MPa，b=-312MPa，a=-37°57'。219、已知一点处的应力分量，b=-2000MPa，b=1000MPa，t=-400MPa，则主应力xyxyb=152MPa，b=-2052MPa，a=-82°32'。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表

3、示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，

4、即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数N在i结点N=1；在其他结点N=0及ENi=1o20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。二、判断题（请在正确命

5、题后的括号内打“丿”，在错误命题后的括号内打“X”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙（V）2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙（X）3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（X）4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（X）5、如果某一问题中，凯凯=0，只存在平面应力分量b,a,t，且它们不沿zzzxzyxyxy方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。（V）6、如果某一问题中，e=0，只存在平面应变分量£，£，丫，且它们不沿zzzxzyxyxy方向变化，仅为x，

6、y的函数，此问题是平面应变问题。（V）7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。（X）8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。（X）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（V）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（V）11、按应力求解平面问题时常米用位移法和应力法。（X）12、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（X）13、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。（X）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（V）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（V）三、简答题1、简述材

7、料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。2、简述弹性力学的研究方法。答：在弹性体区域内

8、部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？答：弹性力学中正应力用b表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用

9、T表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有b，b，xyT。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变xy化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u和v5、简述圣

10、维南原理。如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。7、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出

11、单元的位移函数。（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。（4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。8、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。9、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？每个

12、单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。10、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸较小时，单

13、元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。11、在平面三结点三角形单元中，能否选取如下的位移模式并说明理由：(1)u(x,y)皿+ax2+ay,v(x,y)=a+ax+ay2123456v(x,y)=ax2+axy+ay2456(2)u(x,y)=ax2+axy+ay2,123答：（1）不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项；对坐标x,y不对等；在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。（2）不能采用。因为,位移模式没有反映刚体位移和常量应变项；在单元边界上的连续性条

14、件也不满足。四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1）b=Ax+By，b=Cx+Dy，t=Ex+Fy；xyxy（2）b=A（x2+y2），b=B（x2+y2），t=Cxy；xyxy其中,A,B,C,D,E,F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程dbQt+=0（、（、<V；（2）在区域内的相容方程工+王+b丄0；（3）在边界上的应力CbCTQx2Qy2丿xy+=0v丿丿CyCx边界条件lo+mixyx'mo+1tyxy)=fC)sx)=f(sysy4)

15、对于多连体的位移单值条件。(1) 此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F,D=-E。此外还应满足应力边界条件。(2) 为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量o=-Qxy2+Cx3，o=孑Cxy2，t=Cy3Cx2y，体力不计，Q为x1y22xy23常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程QoQtyx一0xQx丿*JQyQoQt+*=0dydx13Qy2+3Cx23Cy2Cx2=01233Cxy2Cxy=023)

16、3C-C+21C1C(3(32-(Q+3C)y2=0=0由x，y的任意性，得3C-C=013<Q+3C=023C+2C=023由此解得，Ci=f，C2=-f3、已知应力分量o=-q，o=-q，t=0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和xyxy相容方程。解：将已知应力分量o=-q，o=-q，t=0，代入平衡微分方程xyxyQoQtx-+y+X=0QxQyQoQt+Y=0QyQx可知，已知应力分量b=-q,b=-q,t=0般不满足平衡微分方程，只有体力忽略xyxy不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：Q2Q202TQTb)+(bTb)=2(1H)xy0y2xy0x2yx0x0y将

17、已知应力分量b=q,b=q,t=0代入上式，可知满足相容方程。xyxy按应力求解平面应变问题的相容方程：02V02V202T(bb)+(bb)=xy0y2x1Vy0x2y1Vx1V0x0y将已知应力分量b=q，b=q，T=0代入上式，可知满足相容方程。xyxy(1)£=Axy，x4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。£=By3，丫=CDy2；yxy(2)£=Ay2，£=Bx2y，y=Cxy；xyxy3)£=0，£=0，y=Cxy；xyxy其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要

18、条件是满足形变协调条件，即02£02£02yXIyx70y20x20x0y将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：(1)相容。(2)2A+2By=C(1分)；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。(3)0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0,则£=0，£=0，y=0(1分)。xyxy5、证明应力函数p=by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计，b丸)。nJh/2XJJh/21/21/2ry解：将应力函数甲二by2代入相容方程dx4dx2dy2可知，所给应力函数=by2能满足相容方程。由于不计体力

19、，对应的应力分量为d20“b=2b，bxd2对于图示的矩形板和坐标系个边上的面力分别为：A。，Tydx2=4=0xydxdy当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四上边，y=-，l=0，m=-1,2f=-(T)xxyhy=-2=0，f=Q)=0；yhy=-2下边，y=-，l=0，m=1，f=(t)2=0，xxyhy=2f=(b)yy=0；左边，m=0，f=(b)=-2b，右边，x=-，l=B可见，xx丄x=-2f=-(t)xy=0；丄x=-2m=0，f=（b）=2b，xxlx=2上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此,f=(T)z=0。2yxyx=应力函数Q=

20、by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（bv0）的问题。6、证明应力函数0=axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a丸）。OJh/2xh/2一l/2l/2解：将应力函数0=axy代入相容方程可知，所给应力函数=axy能满足相容方程。dx4dx2dy2由于不计体力，对应的应力分量为Q2®Q2®b=0，t=ayQx2xyQxQybQ2P0b=0，xQy2对于图示的矩形板和坐标系，个边上的面力分别为：上边，y=，1=0，m=1,2f=(T)=a，xxyhy=2T=-Q)=0；yhy=2下边，y=-，1=0，m=1

21、，了=(t)=a，xxyhy=2f=(b)=0；yy左边，X=-2，1im=0,f=(b)=0，右边，x=2，1=1?可见,xx1x=2)=a；xyLx=2m=0,f=(b)=0,f=(t)=a。xxLx=2在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右yxy和向左的均布面力a。因此，应力函数®=axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为p,在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。x解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压即设b=0。由此可知xxQy2将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式®(x,y)=f(

22、x)y+f(x)12将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得dx4卜d4厶(x)=0dx4这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它)，可见它的系数和自由项都应该等于零，即d4f(x)dx4=0,dx4当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四这两个方程要求f(x)=Ax3+Bx2+Cx+1,f(x)=Dx3+Ex2+Jx+K1代入应力函数表达式，2并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得申=y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3+Ex2对应应力分量为b°2P0b=0x6y2d20b=y(6Ax+2B)+6Dx+2EpgyyOx2t=-=-3Ax

23、22BxCxydxdy以上常数可以根据边界条件确定。左边,x=0,l=1,m=0，沿y方向无面力，所以有-(t)=C=0xyx=0右边，x=b,l=1,m=0，沿y方向的面力为q,所以有(t)=3Ab22Bb=qxyx=b上边，y=0,l=0,m=1，没有水平面力，这就要求t在这部分边界上合成的主xy矢量和主矩均为零即Jb(T)dx=00xyy=0将T的表达式代入，并考虑到C=0，则有xyb=Ab3Bb2=00Jb(-3Ax22Bx)dx=Ax3Bx210而Jb(T)0dx=0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求b在这部0xyy=0y分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0yy=

24、0dx=0，Jb9)0yxdx=0y=0将b的表达式代入，则有yJb(6Dx+2E)dx=3Dx2+2Ex|0b=3Db2+2Eb=00由此可得Jb0(6Dx+2E)xdx=2Dx3+Ex2b=2Db3+Eb2=0A=，B=，C=0，D=0，E=0b2b应力分量为b=2qb1-3bpgy,yb=q-3-2xybIb虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。xavdx8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为'=-，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为,yay+V，bax2xyaxa

25、y，试导出相应的相容方程。证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量b，b，Txyxy应当满足平衡微分方程Vbstav+SxSySx<SbStav+SySxSy=0=01分)还应满足相容方程上+工X+bLn+心+坐'、Sx2Sy2丿xy(SxSy丿对于平面应力问题）竺+工X+b1-丄乞+監（对于平面应变问题）、Sx2Sy2丿xy1一卩（SxSy丿并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件首先考察平衡微分方程。将其改写为（b-V=0SxxSy<S（）St一匕-V+=0SyySx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第

26、一个方程改写为l（b-VLMt）SxxSyyx根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x,y），使得SASAb-V=，-T=-xSyyxSx同样，将第二个方程改写为x2CVE(t)(1分)dyydxyx可见也一定存在某一函数B(x,y),使得ydx_dByxdyl2由此得dA6B因而又一定存在某一函数申(x,y)，使得A=d，B=dydx代入以上各式，得应力分量一竺+V，a巨+V，txdy2ydx2xyd2®dxdy为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数申G,y)必须满足一定的方程,将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得d2Q)+V+Vdy2dx2丿=(1+卩d2d2&#

27、39;+dx2dy2丿简写为'd2d2''d2®d2®'=2'd2d2、+(dx2dy2丿(dy2dx2丿(dx2dy2丿八V+(1+/工+皂'(dx2dy2丿V4Q=(1p)V2V将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得'd2d2)(d2®*1'd2d2'丄丿1一卩1(dx2dy2丿VV+空+Vdy2dx2d2+d2d2®+°2®'dy2dx2丿+(dx2dy2丿(=2'd2d2'+(dx2dy2丿d2d2'+2丿V+1y(d

28、x2dy简写为V4申=12,2V1一卩9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为p,试用纯三次的应力函数求解：纯三次的应力函数为申=ax3+bx2y+cxy2+dy3相应的应力分量表达式为=-黑=2bx-2cyd2pd2申Txyg=xf=2cx+6dy,g=-yf=6ax+2by-pgy,xdy2xydx2y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数是否能满足应力边界条件。上边，y=0,l=0,m=-l，没有水平面力，所以有-(T)=2bx=0xyy=0对上端面的任意x值都应成立，可见b=0同时，该边界上没有竖直面力，所以有-(g)=6ax=0yy=0

29、对上端面的任意x值都应成立，可见a=0因此，应力分量可以简化为g=2cx+6dy，g=-pgy，T=-2cyxyxy斜面，y=xtana，l=cos+aI=sina,m=cosCa)=cosa，没有面力，所以有yx=0=xtana=0yxyy=xtana由第一个方程，得对斜面的任意x值都应成立，这就要求4c6dtana=0由第二个方程，得2cxtanasina一pgxtanacosa=2cxtanasina一pgxsina=0对斜面的任意x值都应成立，这就要求2ctana-pg=01分）17由此解得c=2pgcota（1分）,d=-3pgcot2a从而应力分量为a=pgxcota-2pgyco

30、t2a,ax=-pgy,T=-pgycotayxy设三角形悬臂梁的长为l,高为h则tana=-。根据力的平衡，固定端对梁的约束l反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为-pglh。因此，所求a在这部分边界上2x合成的主矢应为零，工应当合成为反力-pglh。xy2Jh（a）dy=J£gicota-2pgycot2aly=pglhcota-pgh2cot2a=00xx=l0JhC）dyrnCpgycotabyr-丄pgh2cota=-丄pglh0xyx=l022可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角a,下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为P,液体的密度为P,试求应力分量。aPigvO12x解：采用半逆解法。首先应用量纲