数列专题总复习知识点整理与经典例题

1、数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法an卡一an=d(d为常数)或an中一an=an_an(n22)。aa。a如设an是等差数列，求证：以bn=2nnwN*为通项公式的数列bn为n等差数列。2、等差数列的通项：an=a1+(n1)d或an=am+(nm)d。如(1)等差数列4中，&o=30,a20=50,则通项a0=;(2)首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是3、等差数列的前n和：,=蛆上豆，Sn=ns+n(n-1)do223一15如(1)数列an中，an=an+(n之2,nwN),an=一,刖n项和S=-一,222则a1=_,n=_

2、.2一(2)已知数列an的前n项和Sn=12nn,求数列|an|的前n项和Tnab4、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A=bo2提醒：(1)等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：4、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a-2d,ad,a,a+d,a+2d(公差为d)；偶数个数成等差，可设为，a3d,ad,a+d,a+3d,(公差为2d)5、等差数列的性质：(1)当公差d=0时，等差数列的通项公式an=a1+(n1)d

3、=dn+a1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d;前n和Sn=n2+n(n1)d=：/+(a1-:是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差d0,则为递增等差数列，若公差d0,则lgan是等差数列.如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。(5)在等差数列an中，当项数为偶数2n时，G禺S奇=nd;项数为奇数2n-1时,SyS偶=a中，S2n=(2n-Da中(这里a中即an)；S奇：S偶=n:(n-1)如(1)在等差数列中，Sn=22,则a6=;(2)项数为奇数的等差数列an中，奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数.(6)若等差数列an、bn的前n和

4、分别为An、Bn,且4=门)，则Bn=f(2n-1).an_(2n_1)an_A2n鼠(2n-1)bn如设an与bn是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn,若且=即一！，那么曳=Tn4n-3bn(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增an1-0等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组/an至0n+W确定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求一次函数的最值，但要注意数列的特殊性n=N。上述两种方法是运用了哪种数学思想？(函数思想)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如(1)等差数

5、列%中，&=25,&=67,问此数列前多少项和最大？并求此最大值。；(2)若an是等差数列，首项a10,a2003-a2004-0,a2003a20040成立的最大正整数n是（3）在等差数列an中，a10c0,a11A0,且a|a|,Sn是其前n项和，则（）A、S,32111s10都小于0,SlS2川都大于0b、ssHISg都小于0,3201|都大于0C、s1,321Hs5都小于0,SeSIH都大于0D、S,S2|S20都小于0,S21,S22川都大于0（8）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅

6、是公共的项，其项数不一定相同，即研究an=bm.二、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法巴型=q（q为常数），其中q#0,an=0或an4如（1）一个等比数列an共有2n+1项，奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an书为;（2）数列an中，sn=4an+1（n主2）且a1=1,若bn=an由-2an,求证：数列bn是等比数列。2、等比数列的通项：an=a1qn工或an=amqnH。如等比数列an中，a1+an=66,a2an=128,前n项和Sn=126,求n和q.（答：c1一一n=6,q=a或2）_a（1-qn）a1-anq1-q1-q3、等比数列的前n和：当q=1时，

7、Sn=na1；当q#1时，Sn=。如(1)等比数列中，q=2,399=77,求a3+a6+a9910n（2）（zC：）的值为；n1k0特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要又q分q=1和q#1两种情形讨论求解。4、等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个土库。如已知两个正数a,b（a*b）的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及

8、到5个元素：a1、q、n、an及Sn,其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2;（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，3；,a,aq,aq2（公比为q）;但偶数个数成等比时，不能设为-a3,-,aq,aq3,，qqqq因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。5.等比数列的性质：（1）当m+n=p+q时，则有aml_an=aaq,特别地，当m+n=2p时，则有amLan=ap.

9、如（1）在等比数列an中，a3+a8=124,a4a7=512,公比q是整数，贝U40=（2）各项均为正数的等比数列an中，若a5%=9,则log3a+log3a2+lll+log3a10=。（2）若an是等比数列，则|an|、ap+q（p,quN）、kan成等比数列；若%、bn成等比数列，则anbn、b-成等比数列；若烝是等比数列，且公比q#1,则数列Sn,S2nSnSsS小，也是等比数列。当q=1,且n为偶数时，数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是常数数列0,它不是等比数列.如(1)已知a0且a#1,设数列xn满足loga%平=1+loga%(nwN*),且Xi+X2+川+X100=

10、100,则Xioi+Xi02+X200=.;(2)在等比数列an中，Sn为其前n项和，若S30=13&0,&0+S30=140,则S20的值为(3)若a10,q1,则an为递增数列；若a11,则an为递减数列；若a10,0q1，则4为递减数列；若a1父0,0q1,则an为递增数列；若q2)L等差、等比数列Ln)公式.例已知数列an满足an#=2an+3x2n,a1=2,求数列an的通项公式。aa一3评注：本题解题的关键是把递推关系式an平=2an+3M2n转化为笔胃=5说明数列2n2n2是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出今=1+5-吟进而求出数列an的通项公式。二、累加法例已知数列a

11、n满足an+=an+2n+1,a1=1,求数列an的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式an4=an+2n+1转化为an书-an=2n+1,进而求出(anan)十(anan/)+IM+(a3a2)+(a2ai)+a1，即得数列an的通项公式。例已知数列%满足an=an+2M3n+1,a1=3,求数列%的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式an4=an+2父3n+1转化为an书-an=2父3n+1,进而求出an=(anan)+(an-an)+HI+(a3-a2)+(a2a1)+a1,即得数列an的通项公式。三、累乘法例已知数列4满足an书=2(n+1)5nM为，a1=3,求数列a

12、n的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系an4=2(n+1)5nMan转化为免土=2(n+1)5n,进而求an出三，包_士才|,空，也。，即得数列an的通项公式。an4ania2a1四、取倒数法an1例已知数列an中，其中a1=1,且当n2时，an=,求通项公式an。2anJ1a111.解将an=an两边取倒数得:=2,这说明2是一个等差数列，2an11anan1an、，一11r1首项是L=1,公差为2,所以，=1+(n1)w2=2n1,即an=.a1an2n-1五、待定系数法例已知数列an满足an中=2an+3M5n,a1=6,求数列匕0的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式a

13、n书=2an+3M5n转化为an卡-5n*=2(an-5n),从而可知数列an-5n是等比数列，进而求出数列%-5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例已知数列%满足an书=3an+5M2n+4,a1=1,求数列an的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式an1=3an+5M2n+4转化为an+5M2n*+2=3(an+5M2n+2),从而可知数列an+5M2n+2是等比数列，进而求出数列an+5M2n+2的通项公式，最后再求数列%的通项公式。六、对数变换法n5例已知数列an满足an书=2父3Man,a1=7,求数列an的通项公式。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式a

14、n书=2父3n父a5转化为194书十.5+1)+蛇+晅2=5(|gan+蛇n+蛇+晅2),从而可知数列416441641g%+监n+1g政+跖是等比数列，进而求出数列1ga+想n+蛇+跖的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。七、迭代法例已知数列an满足an=a；(n判2：a1=5,求数列烝的通项公式。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an4,=a：(n的2n两边取常用对数得lgan.=3(n+1)父2nMlgan,即1g亘=3(n+1)2n,再由累乘法可推知lgann(nDonln(nJ)lganlganllg%lg%3in!2T1AMe;

15、3n!21gan=产一氏川氏了一1ga=lg5，从而第=5。lgamlgan.lga?lga八、数学归纳法例已知数列an满足an书=an+雪上1_,a1=-,求数列an的通项公式。n1n(2n1)2(2n3)219解：由an1=an.8(n1)(2n1)2(2n3)2由此可猜测an(2n1)2-1(1J,往下用数学归纳法证明这个结论。(2n1)2(1)当n=1时,(211)2-18八(211=2,所以等式成立。a1二2(211)2(2)假设当n=k时等式成立，即ak(2k+1)1,则当n=k+1时,(2k1)2aka吗2(2k1)(2k3)由此可知，当n=k+1时等式也成立。一*根据(1),(

16、2)可知，等式对任何nWN都成立。九、换元法1例已知数列an满足an+=(1+4an+JT3aJ,a1=1,求数列an的通项公式。16一.-12斛：令bn=、j1-24an,则an3(b-1)1.2.122故an4=(bn4一1),代入an4=(1+4an+J1+24an)得。即4bn卡=(bn+3)2416一,.-_13因为bn=41+24%0,故0书=历朝:主0则24书=4+3,即a书=56+5,一一1可化为bni-3=-(bn-3),.一1.所以bn3是以b13=J1+24己3=。1+2413=2为首项,以3为公比的等比数列，因此bnSnaglingyl则bn=(1)n/+3,即j1+2

17、4an=(1尸+3,得2/仆/1、n1烝工叩十(2)十3。十、构造等差、等比数列法an由=pan+q;an书=pan+qn;an由=pan+f(n);an也=pd书+qa.例已知数列,中，a1=1,an书=2an+3,求数列an的通项公式【解析】.an13=2(an3).an3=42n=an=2n1-3.【反思归纳】递推关系形如“an+=pan+q”适用于待定系数法或特征根法：令an书一九二p(anK)；在an由=pan+q中令an+=an=x=X=，,Hn书一X=pnX)；1-p由an+=pan+q得an=pan+q，,a书a=p(a0an).例已知数列出中，a1=1,an书=2an+3:求

18、数列An的通项公式.【解析】丁an+=2an+3n，二#=3十(3)n,令名=bn2222bn=(bn-bn)(bn-g)b?f)*=2(|)n-2.2口=3“-2n【反思归纳】递推关系形如“an书=pan+qn”通过适当变形可转化为：“an+=pan+q或an书=an+f(n)n求解.卜一、不动点法7a-2例已知数列an满足an书=,ai=2,求数列an的通项公式。2an3-7x22_3x-1解：令x=,得2x4x+2=0,则x=1是函数f(x)=的不动点。2x34x7因为a0平1=7a二21=泡二5,所以n12an32an32/仆/1、n1an=3(4)+(2)+3。评注：本题解题的关键是

19、通过将j1+24an的换元为bn,使得所给递推关系式转化,1,3.,，bn书=bn+形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn-3的通项公式,22最后再求出数列an的通项公式。四、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：8=n(=惆+(22na1(q-1)n、2、等比数列求和公式：Sn=a1(1-q)a-anq(_1)、1-q1-qq前n个正整数的和1+2+3+n=n(n+1)2前n个正整数的平方和12+22+32+n2-n(n+1)(2n+1)6前n个正整数的立方和13+23+33+n3n(n+1)22公式法求和注意事项(1)弄准求和项数n的值；(2

20、)等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类,一.一一1例已知10g3x=,求x+x+x+x+的刖n项和.log23Sn例设Sn=1+2+3+n,nCN,求f(n)=的取大值.(n32)Sn1f(n)=Sn(n32)&1164n34n118250(.n)50,n81,即n8时，f(n)max=,850二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。1n1例：在数列an中，a1=1,an由=(1+)an+n2na(I)

21、设bn=，求数列bn的通项公式(II)求数列an的前n项和Snn分析：(I)由已知有亘主=包+，0书bnn1n221 *利用累差迭加即可求出数列bn的通项公式：bn=2-rz(nWN)2n.nnn.nkk(H)由(D知4=2nf，,&4(2k中)=2(2k)-Z2 kd2k1kz12nn个典型的错位相减法模型,而(2k)=n(n+1)，又Zk=1k=1曰/曰一nkn2n2勿信声=4。.Sn=n(n1)口-4km222三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an).例求证：C0+3C：+5C2+(2

22、n+1)C：=(n+1)2n证明：设Sn=C0+3C：+5C2+(2n+1)C；Sn=(2n+1)Cn+(2n-1)C+3C：+C0Sn=(n1)2n四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可a31求数列的刖n项和：1+1,+4,11ccLB3n一2解：设a4-asSnSn二(11aa=1时,a#1时,an是各a1a1-2a1n_1一、，17)-(-ni3n-2)a)(1473n-2)a_n+(3n-1)n_(3n+1)n2|_an.(3n-1)n1-12aa-a1(3n-1)na-12.,一11、为正数的等比数列，且a1+a2=2(一+)，aa2111=64(a3a4as(I)求an的通项公式;1、2(n)设bn=(an+),求数列bn的刖n项和。an五、裂项法求和项）这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用分解，然后重新组合，使之能消去一些项,an=f(n1)_f(n)(2)(3)ann(n1)(5)an.裂项法的实质是将数列中的每项（通最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:sin1cosncos(