数值分析试题与答案

1、一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.和分别作为兀的近似数具有（）和（）位有效数字.A.4和3B.3和22.C.3和4D.4和4则A=()1A.61B.31C.22D.33.通过点匕yo）W"的拉格朗日插值基函数lo"Jli2满足（）A.l丄,l"A0B.l"x)l"x)=1oo=0,11C.l"x)l"x)=100=1,11D.l0"x0)=1,l1"x1)=14.设求方程f"x）=0的根的牛顿法收敛,则它具有（）敛速。A.超线性B.平方C.线性D.三次x+2x+x=0123<2x+

2、2x+3x=3123x3x=25用列主元消元法解线性方程组Ix13x2=作第一次消元后得到的第3个方程（）.A.x2+x3=22x+x=3C.232 x+l5x=3.5B.23x0.5x=1.5D.23单项选择题答案得评卷分人二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设X=（2,3,4）T,则|Xll=,IIXll2二2. -阶均差f（Xo,13C（3）=C（3）二C（3）=-3. 已知n=3时，科茨系数08128，那么C（3）=3f（x）=x4+2x01,2-4. 因为方程在区间上满足，所以f"x）=0在区间内有根。y'=三+yx25.取步长h=°，用欧拉法解初值问

3、题Iy(i)=_的计算公式.填空题答案1y=1.已知函数1+x2的一组数据:01210.50.2三、计算题（每题15分，共60分）f（15）段线性插值函数，并计算丿的近似值.求分计算题1.答案1.解xe0'1,L(x)=汩x1+音x0.5=10.5xx2x一112L(x)=x0.5+x0.2=0.3x+0.8xeI22215所以分段线性插值函数为L(x)=<1一0.5xxe0,10.8一0.3xxe1,2L(1.5)=0.8-0.3x1.5=0.3510x一x一2x=7.2123<一x+10x一2x=8.3123八_,/匕|丄%口/11一x一x+5x=4.22.已知线性万程

4、组I123(1)写出雅可比迭代公式、高斯一塞德尔迭代公式;X（0=（000）对于初始值X'0'0，应用雅可比迭代公式、高斯一塞德尔迭代公式分别计算X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案x=01x+0.2x+0.721 23x=0.1x一0.2x+0.832 131解原方程组同解变形为、x3=0.2x1+0.2x2+0.84雅可比迭代公式为x(m+1)=0.1x(m)+0.2x(m)+0.721 23x(m+1)=0.1x(m)0.2x(m)+0.832 13x(m+1)=0.2x(m)+0.2x(m)+0.84(m=01).I312(m=叩)高斯一塞德尔迭代法公式x(m+i

5、)=0.1x(m)+0.2x(m)+0.721 23x(m+1)=0.lx(m+1)0.2x(m)+0.832 13x(m+1)=02x(m+1)+02x(m+1)+0.84I312(m=°,1)用雅可比迭代公式得X(1)=G.72000,0.83000,0.84000)用高斯-塞德尔迭代公式得X(1)=(0.72000,0.90200,1.16440)r1213.用牛顿法求方程x33x1=0在之间的近似根1)请指出为什么初值应取22)请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案3.解f(x)=x33x1f(1)=3<0f(2)=1>055f(x)=3x2-3,f(x)=

6、12x,f(2)=24>0，故取x=2作初始值迭代公式为x=xnn-1f(xE)=Xn1n1x33x1n1n13x23n12x3+1、(或(n-1)3*；11丿,n=1,2,55x0=2,x=23xU.8888921x=2X33+=1.8888913xQ1丿2 X几888893+*1.87945xx1=0.00944>0.0001212 严79453+=1.879393 xH.8794521丿证明：求积公式中含有三个待定系数，即ArAo,Ai,将fG)=1兀x2分别代入求积公式,方程的根x*Q187939j1dx4.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分01+x计算题4.答案

7、4解梯形公式jbf(xxu-f(a)+f(b)a2确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度jhf(x=Af(h)+Af(0)+Af(h)J-101证明题答案并令其左右相等，得A+A+A=2h101<h(AA)=0iih2(A+A)=-h3-113A=A=hA=得-1一3，0_3。所求公式至少有两次代数精确度。又由于Jhx3dx=(-h+G)33X4dx丰-(-h)+-(4)-h33故？(x加=3f(-h)+3f(o)+3f(h)具有三次代数精确度。填空(共20分，每题2分)f(x,x)=122.设一阶差商f(x)-f(x)3223xx32f(x,x)=f(x

8、)f(x)14321=3xx212161=542=2则二阶差商f(X1，X2,"3)=3.设X=(2,-3,-1)t,则|X吩IIXII=4.求方程x2-x-L25二0的近似根，用迭代公式x“+1.25，取初始值x0二1，那么X15.6、<解初始值问题I/11、J51丿y'=f-x,y)y-xo)=yo近似解的梯形公式是yk+1，则A的谱半径心(也)=x设f-x)=3x2+5,x=kh,k=0,1,2,.,则fx,x,x=nn+1n+2fLx,x,xnn+1n+27、.和,x=n+38、若线性代数方程组AX二b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代

9、都9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler)方法的局部截断误差填空题答案f(x,x)-f(x,x)2一(一3)11CC1cJ2、3、和"I44、5、yk+k+i，yk+i）6、P(A)=x67、fx,x,x=3,fx,x,x,x=00(h)nn+1n+2nn+1n+2n+38、收敛9、nn+1n+2n+310、y=10+古二、计算题（共75分，每题15分）13f(x)=x2,1xo=45x1=1,xr19（1）试求f（x）在1上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足H(xj)=f(xj),j=0,1,2,.H'(x1)=f'(x1)h（x以升幂形式给出。（2）

10、写出余项R（x）=f（x）H（x）的表达式计算题1.答案、H(x)=142632331x3+x2+x1225450450252.已知2吩)的矿。)满足WE耳白，试问如何利用机4构造一个收敛的简单迭代函数*，使1二吩"二0,1收敛计算题2.答案12、由x=gx)可得x-3x=gx)-3xx=-2®(x)一3x)=屮(x)1 11因屮'(x)=一一仲'(x)-3),故屮'(x)=-cp'x)-3<_<12 221故x=屮(x)=(p(x)3x,k=0,l,.收敛。k+1k2kk3.试确定常数A,B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的

11、代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少它是否为Gauss型的计算题3.答案3、A=C=10,B=16,a=99，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的<4.推导常微分方程的初值问题Iy'=f(x,y)y(xo)=yo的数值解公式:h.、y=y+(y'+4y'+y')n+1n-13n+1nn-1(提示：利用Simpson求积公式。)计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程y'=f(x)在区间xn-1,巴+1上积分,y(x)=y(x)+争f(x,y(x)dxn+1n-1得x”一，记步长为h,f1f（x,y（x）dx对

12、积分用Simpson求积公式得争f(x,y(x)dx6n-1nn+13n+1nn-1Xn-1所以得数值解公式：儿+1一儿-1+3°”+】*"儿*儿丿x+2x+3x=14123<2x+5x+2x=181235.利用矩阵的LU分解法解方程组3x+x+5x=20v123计算题5答案5、解:1_"123_A=LU=211-43-51-24令Ly=b得y=(14,-10,-72)t,Ux=y得x=(1,2,3)t.三、证明题（5分）1设/W=（扌_斎，证明解/W=°的Ne毗on迭代公式是线性收敛的。证明题答案证明：因f(x)=(x3-a)2,故f'(

13、x)=6x2(x3-a),由Newton迭达公式:n,n=0,1,.得广(x)n(x3-a)25xan=n+,n0,1,.6x2(x3-a)66x2nnnx=xn+1nx=xn+1n1、因迭达函数申(x)=-x+旦,而卩(x)=-ax-3,66x263又x'=3a,贝0卩(計a)=-(*a)-3=一丄=丄工0,63632故此迭达公式是线性收敛的。一、填空题（20分）(1) .设x*=2.40315是真值x=2.40194的近似值，则x*有位有效数字。(2) .对f(X)二x3+x+1,差商f0,1,2,3二()。(3) .设X=(2,-3,7)T,贝pX叮。(4) .牛顿柯特斯求积公式

14、的系数和£C(n)=k。k二0。填空题答案(1)3(2)1(3)71二、计算题1) .(15分)用二次拉格朗日插值多项式L2(x)计算sin°.34的值。插值节点和相应的函数值是(0，0)，(，)，(，)。计算题1.答案L(x)=(x一x/(xx2)f*(x_xj(x_xjf*(xx°)(xx/f2(x-x)(x-x)0(x-x)(x-x)1(x-x)(x-x)20102101220211) =0.3333362) .(15分)用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在閃丄5区间内的一个根，误差限e=10-2。计算题2.答案N=6x=1.25x=1.375x=1.

15、31251232) x=1.34375x=1.328125x=1.32031252) 4564x+2x+x=11123<x+4x+2x=181233) .(15分)用高斯-塞德尔方法解方程组2x1+x2+5x3=22，取x(0)=(0,0,0)T，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。计算题3.答案3)迭代公式x(k+1)=(11-2x(k)-x(k)1423<x(k+1)=(18-x(k+1)-2x(k)2413x(k+1)=(22-2x(k+1)-x(k+1)3512k000012.753.S1252.537520.209383.17S93.680530.240432.5997

16、3.18394).(15分)求系数A1，A2和£,使求积厶式1111f(x)dx曲f(-1)+Af(-)+Af(-)对于次数2的一切多项式都精确成立-112333计算题4.答案11112A+A+A=2一AA+A=0A+-A+-A1231323319293=3A=-A=0A34)1223=23x+2x+10x=151235).(10分)对方程组<10x-4x-x=51232x+10x-4x=81123试建立一种收敛的SeideI迭代公式，说明理由计算题5.答案5)解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x一4x一x=5123<2x+10x一4x=81233 x+2x

17、+10x=15l123故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛迭代格式为1/-x(k+1)二1=(4x(k)+x(k)+5)10237x(k+1)=(-2x(k+1)2101+4x(k)+8)3x(k+1)=(-3x(k+1)一2x(k+1)+15)31012丿取x(0)=(0,0,0)T,经7步迭代可得：x*沁x(7)=(0.999991459,0.999950326,1.000010)t三、简答题1) (5分)在你学过的线性方程组的解法中,你最喜欢那一种方法为什么2) (5分)先叙述Gauss求积公式，再阐述为什么要引入它。一、填空题(20分)1.若a二是的近似值，则a有()位有效数字.2.l0(x

18、),l1(x),ln(x)是以0,1,，n为插值节点的Lagrange插值基函数，则£il(x)=ii=0).3. 设f(x)可微，则求方程x=f(x)的牛顿迭代格式是().4. 迭代公式X(k+1)=BX(k)+f收敛的充要条件5.解线性方程组Ax=b(其中A非奇异,b不为0)的迭代格式x(k+1)=Bx(k)+fI9xx二8<12中的B称为().给定方程组I“厂5X2=4，解此方程组)。的雅可比迭代格式为(填空题答案1. 32.x-f(x)xxnn3.n+1n1f'(x)n4.P(B)V15迭代矩阵,xk+1=(8+x(k)1 92xk+1=(4+x(k)2 511

19、.根。2.的多项式。二、判断题(共10分)若/(a)/(b)<0，则/(x)=0在(a,b)内一定有()区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次()3.若方阵A的谱半径P(A)<1，则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛。()4.若f(x)与g(x)都是n次多项式，且在n+1个互异点x.n=o上f(x-)=g(®，则/(x)三g(x)。5.差。判断题答案1.X2.X3.X4.V5.X三、计算题（70分）1.（10分）已知f（0）=1,f（3）=,f（4）=，求过这三点的二次插值基函数I(x)=(1f0,3,4=(P(x)=(2广二().）,插值多项式）,用三点式

20、求得近似表示ex产生舍入误计算题1.答案由插值公式可求得它们分别为：1八7,77小知203x(x4),1+x+x(x3),和仁312151262.（15分）已知一兀方程x3-3x-1.2=0。1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式（判断收敛性）；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。计算题2.答案2.(1)f(0)=-1-2V0,f=1.8>0又f(x)连续故在(0,2)内有一个正根,x=3'3x+1.2,©(x)=(3x+1.2)-3,max|©(x)<xe(0,2)1n+1<1,.x=*3x+1.2收敛2n+

21、1n1.23m=3x2-7=叮迈！于3.(15分)确定求积公式f(曲时(-0-5)+Bf(x1)+Cf(0-5)的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案3假设公式对f(x)=1,x,x2,x3精确成立则有'A+B+C=2-0.5A+Bx+0.5C=01彳20.25A+Bx2+0.25C=13-0.125A+Bx3+0.125C=0i14 2解此方程组得A=C=,B=3 3求积公式为/f(x)dx«|4f(一0.5)2f(0)+4f(0.5),当f(x)=x4时，-121左边=右边=左边丰右边代数精度为3。5 6<0<x<14.(15分

22、)设初值问题y(0)=1(1)写出用Euler方法、步长h二解上述初值问题数值解的公式;(2)写出用改进的Euler法(梯形法)、步长h二解上述初值问题数值解的公式，并求解y1,y2，保留两位小数。计算题4.答案4 (1)y=y+0.1(3x+2y)=0.3x+1.2yn+1nnnnn(2)y=y+(3x+2y)+3(x+0.2)+2yn+1n+1n2nnn=y+0.1(6x+2y+2y+0.6)nnnn+13 33y=y+x+-n+12n4n40333迭达得y1=2+40=1.575,y2=2633+404x0.2+40=25855.（15分）取节点x0=0,x1=0.5,x2=1，求函数y

23、=e-x在区间0，1上的二次插值多项式P2（x），并估计误差。计算题5.答案e-1e-0.5e-0.51e-0.5一11一0505一0p(x)=e0+(x一0)+一一(x一0)(x一0.5)20.5-01-05.=1+2(e-0.51)x+2(e-12e-0-5+1)x(x0.5)y''=-e-x,M=maxy''3xe(0,1=1,ex-p(x)=f')x(x-0.5)(x-1)23!1ex-p(x)<3!x(x-0.5)(x-1)|一、填空题（每题4分，共20分）有和2、设5.j（x）（j二°丄2“）是n次拉格朗日插值多项式的插值基函

24、数，则lj（Xi）=亿j二°丄2"）；Yl(x)=jj=°3、设1j（x）（j二°丄2"）是区间a，b上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为;插值型求积公式中求积系数YA二jj=°4、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式,f123,4二为5、f(x)二x2+1,则f1,2,3=填空题答案1.相对误差绝对误差2.1，i=j,°,i主j3.至少是nJbl(x)dxkab-a4.b78°a(b-ra)4f(匚)，匚G(a,b)18°2二、计算题1、已知函数y=f(x)的相关数据i01230123X=f竝13927由牛顿插值公式求三次插值多项式q(x)，并计算2的近似值。计算题1答案解：差商表由牛顿插值公式:4 8p(x)=N(x)=x3-2x2+x+1,3333畐-p3(2)二3(2)3-2(2)2+|(i)+1二22、(10分)利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h=°，y'=-y+x+1,y(0)二1.xg(0,0.6)计算题2.答案f(x,y)二一y+x+1,y二1,h二0.1,0y二y+0.1(x+1-y),(n二0,l,2,3,)n+1