大学基础物理名师讲解第二十章光衍射

1、 第第 20 20 章章 Diffraction of Light 基基 本本 要要 求求 一、了解惠更斯一、了解惠更斯菲涅耳原理；菲涅耳原理； 二、理解半波带法分析单缝夫琅和费衍射条纹分布规律二、理解半波带法分析单缝夫琅和费衍射条纹分布规律 的方法，掌握单缝衍射公式；的方法，掌握单缝衍射公式； 三、理解光栅衍射条纹的特点，理解用光栅公式确定谱三、理解光栅衍射条纹的特点，理解用光栅公式确定谱 线位置的方法；线位置的方法；四、了解衍射对光学仪器分辨率的影响，了解四、了解衍射对光学仪器分辨率的影响，了解 x 射线衍射线衍 射的布拉格公式。射的布拉格公式。一、光的衍射一、光的衍射 (Diffract

2、ion of Light) 20-1 光的衍射和惠更斯光的衍射和惠更斯- -菲涅耳原理菲涅耳原理 缝较大时光缝较大时光直线传播直线传播 阴阴影影屏屏 幕幕 缝很小时缝很小时衍射现象衍射现象明显明显 屏屏 幕幕 光在传播过程中光在传播过程中, 能绕过障碍物的边缘而偏离直线传能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播播, 在光场中形成一定的光强分布的现象在光场中形成一定的光强分布的现象.二、衍射的分类二、衍射的分类 1. 菲涅耳衍射菲涅耳衍射 (Fresnel diffraction) 2. 夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射 (Fraunhofer diffraction) 光光 源源 障碍物障碍物 接收屏接收屏

3、光光 源源 障碍物障碍物 接收屏接收屏 光光 源源 接收屏接收屏距离为距离为有限远有限远.障碍物障碍物 光光 源源 接收屏接收屏距离为距离为无限远无限远或或相当于无限远相当于无限远.障碍物障碍物三、惠更斯三、惠更斯 菲涅耳原理菲涅耳原理(1814) SrTtrkCEd )( 2cos )(d 从同一波阵面上各点所发出的子波经传播而在空间某从同一波阵面上各点所发出的子波经传播而在空间某点相遇时点相遇时, , 也可相互叠加产生干涉现象也可相互叠加产生干涉现象. .惠更斯惠更斯 菲涅耳原理菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle)： 设设 t = = 0 时波阵面上各点发出的子

4、波初相为零时波阵面上各点发出的子波初相为零, , 则面元则面元 在在 P 点引起的光振动：点引起的光振动： dSS Pr )( , 1 , d d krSE Sdn SrTtrkCEd )( 2cos)(d P 点的光振动点的光振动 ( 惠惠 - - 菲原理的数学表达菲原理的数学表达 ) 为：为： 20 . ， 0)(，=d Ek )( ； ， k (0， =k ）最大最大； 这是惠更斯原理所无法表明的这是惠更斯原理所无法表明的. .惠更斯惠更斯 菲涅耳原理表明了不存在后退的子波菲涅耳原理表明了不存在后退的子波, ,c 比例常数，比例常数，k ( ) 倾斜因子倾斜因子.其中：其中：( )dco

5、s2 () dSktrEECSrT S Pr Sdn 用用 菲涅耳半波带法菲涅耳半波带法 解释单缝衍射现象解释单缝衍射现象.单缝单缝(single-slit)衍射实验装置衍射实验装置 20-2 单缝的夫琅禾费衍射单缝的夫琅禾费衍射 *1LKES2LS:（单色）线光源单色）线光源 一、菲涅耳半波带法一、菲涅耳半波带法 (Fresnel half wave zone construction) 衍射角衍射角 AB 间各子波到达间各子波到达P 点会聚时的点会聚时的最大光程差最大光程差即缝两边缘处衍即缝两边缘处衍射光线之间的光程差：射光线之间的光程差：max sin ACa aOfABP C 单缝宽单

6、缝宽a (diffraction angle)1A2A3ABaA Ca sin 2222单缝面单缝面 AB 被分为被分为 m 个面积个面积相等的带相等的带AA1、A1A2、A2A3 用用 分割最大光程差分割最大光程差 AC，将将AC分为分为 m 个部分个部分.2 称为称为“ 菲涅耳半波带菲涅耳半波带” 注意：注意： 并非每个半波带的宽度是并非每个半波带的宽度是 ！2 maxsin ACa sin/2am 半波带数目半波带数目 1. 菲涅耳半波带的特点：菲涅耳半波带的特点：) 各半波带面积相等，因而包含的子波数目相等各半波带面积相等，因而包含的子波数目相等. ) 半波带的数目半波带的数目 m 及

7、每个半波带的面积由衍射角及每个半波带的面积由衍射角 决定决定. ，m, S ) 任意两相邻的半波带上各对应点的子波到屏上会聚点任意两相邻的半波带上各对应点的子波到屏上会聚点的光程差皆为的光程差皆为/ 2 , 可以相互叠加产生相消干涉可以相互叠加产生相消干涉. ABC2 ABC2 三个半波带三个半波带 明明 纹纹 2. 明暗条纹成因明暗条纹成因sin32ACa O afBA Px222 C1A2A. 四个半波带四个半波带 暗暗 纹纹 sin42ACa CO afBA Px22221A2A.3A 结论结论：3. 单缝衍射明暗纹公式单缝衍射明暗纹公式 单缝面分成单缝面分成奇数个半波带奇数个半波带时屏

8、上会聚处为时屏上会聚处为明纹明纹 ，单缝面分成单缝面分成偶数个半波带偶数个半波带时屏上会聚处为时屏上会聚处为暗纹暗纹 .sina 22kk 3, 2, 1, k暗纹中心暗纹中心 (20.1) 0中央明纹中心中央明纹中心 注意：对于明暗纹注意：对于明暗纹 k0明纹中心明纹中心 2) 12 ( k 3, 2, 1, k(20.2) 二、单缝衍射图象和条纹特点二、单缝衍射图象和条纹特点 OI例：例：sin22 ak 第一级暗纹第一级暗纹(极小极小), 对应两个半波带；对应两个半波带；3sin(21)22 ak 第一级明纹第一级明纹(极大极大), 对应三个半波带；对应三个半波带； , m, S, I,

9、一般只能看到中央明纹附近的几条条纹一般只能看到中央明纹附近的几条条纹 . 1 1. 各级明暗纹的位置各级明暗纹的位置 暗纹公式暗纹公式 sin ak 由图知由图知 tanxf tansin tansin xfff ka 当当 较小时较小时 各级暗纹的位置：各级暗纹的位置：k (1,2,3,) xk fka 2. 各级明纹宽度各级明纹宽度 = 两相邻暗纹极小的间距：两相邻暗纹极小的间距： k+1k xxxfa 各级明纹的位置：各级明纹的位置：k (21) (1,2,3,) 2xkfka OP fx3. 中央明纹宽度和半角宽度中央明纹宽度和半角宽度 ) 中央明纹宽度中央明纹宽度 l0 = 两侧第一

10、级暗纹极小的间距两侧第一级暗纹极小的间距 中央明纹范围满足的条件：中央明纹范围满足的条件： sina 中央明纹宽度是各级明纹宽度的两倍中央明纹宽度是各级明纹宽度的两倍.) 中央明纹半角宽度中央明纹半角宽度 = 第一级暗纹衍射角第一级暗纹衍射角 1 11sin , 1 a 1xfa 0122lxfa (20.4) (20.3) 面积减少，所以光强变小面积减少，所以光强变小. . 角增加时，半波带数增加，未被抵消的半波带面积角增加时，半波带数增加，未被抵消的半波带面积 l0Ox11 f* * 三、单缝衍射条纹的光强分布三、单缝衍射条纹的光强分布(ref.p267)I I0sina 1.43 2.4

11、6 -1.43 -2.46 I I 0 0 中央明纹是各级明纹宽度的两倍，集中了绝大部分中央明纹是各级明纹宽度的两倍，集中了绝大部分光强光强(85%)，其余各级明纹亮度随级数增大而减小，其余各级明纹亮度随级数增大而减小. . 结论：结论： 20sin()II sin a 其中：其中： 20 Ia 1. 主极大主极大 0i0 s n1 I I 时时, , / / = = , , = = 2. 极小极小 sin,1, 2sin00,akIkk 即即时时，3. 次极大次极大 令令 2dsin()0d tan 1.43 , 2.46 , 3.47 sin1.43 , 2.46 , 3.47a 四、说明

12、四、说明 1. 入射波波长入射波波长 一定时一定时 11sin , aa a， ， 条纹分得愈开，但光强条纹分得愈开，但光强 I 单缝衍射不能同时获得既亮、又分得开的条纹单缝衍射不能同时获得既亮、又分得开的条纹. 由公式由公式 知：知： 2) 12( kksina 暗纹暗纹 明纹明纹 C CA AI I 大学物理学大学物理学 V V 3.0单缝实验单缝实验22. 缝宽缝宽 a 一一定时，定时， 各级彩色条纹的宽度：各级彩色条纹的宽度： fxka 3. . 当当 时，时， sin0 a 当缝宽比波长大很多时当缝宽比波长大很多时, , 形成单一的明条纹形成单一的明条纹, , 显示了显示了光的直线传

13、播的性质光的直线传播的性质. . 说明几何光学是波动光学在说明几何光学是波动光学在 时的极限情况时的极限情况. . a白光照射单缝时，屏上中央明纹仍为白色白光照射单缝时，屏上中央明纹仍为白色, ,两侧对称分布各级两侧对称分布各级内内紫紫外外红红的彩色条纹称的彩色条纹称 衍射光谱衍射光谱. . C CA AI I 大学物理学大学物理学 V V 3.0单缝实验单缝实验1五、注意五、注意 1 1. 单缝衍射中央明纹范围：单缝衍射中央明纹范围： sin212ak 明纹公式明纹公式 中中 0 k（ k = 0， sin2a 已包含在中央明纹之中）已包含在中央明纹之中） sina 2. 单缝与双缝明暗纹公

14、式的区别单缝与双缝明暗纹公式的区别 双缝：双缝： 单缝：单缝： Dxd k 212 k明明 纹纹 暗暗 纹纹 sina k 212 k明明 纹纹 暗暗 纹纹 例例1 1 已知：已知：a =0.6mm, f =0.40m, x =1.4mm 处看到的是明纹处看到的是明纹. . 求：求：(1) 入射波长；入射波长；(2) P点衍射条纹的级数；点衍射条纹的级数；(3) 缝面缝面 能分成的能分成的半波带数半波带数. . （物理练习十五（物理练习十五 计算题计算题 2 ） 解：解： tansin (1) 由单缝衍射明纹公式由单缝衍射明纹公式 1.4 tan0.0035 400 xfsin(21) , 1

15、 , 2 , 2 akk得得 2 sin 21 ak2 tan 21ak )12( 2fkxa OO f xP , 3 , 2 , 1 k 1400nm , 1 k 840nm , 2 k(非非 ) 0nm06 , 3 k( ) nm467 , 4 k( ) nm 380 , 5 k(非非 )(非可见光非可见光 ) (2) P点处可能出现点处可能出现 600 nm 的第的第 3 级明纹；级明纹； nm124200mm400)12(4 . 16 . 02 kk )12( 2fkxa 或或 的第的第 4 级明纹级明纹. 467 nm 对对 而言，半波带个数为而言，半波带个数为 个个. 600 nm

16、 713212 k对对 而言，半波带个数为而言，半波带个数为 个个. 467 nm 914212 k(3) 求半波带个数求半波带个数 例例2（补）：当平行光以入射角（补）：当平行光以入射角入射到单缝上时，请问中央明纹入射到单缝上时，请问中央明纹 移到了何处？移到了何处？ AB解：单缝边缘解：单缝边缘AB发出的子波到发出的子波到 P 点的光程差为点的光程差为sinsin aasinsinaa 显然中央明纹应对应显然中央明纹应对应 处，即下移到处，即下移到O处处 下移距离为下移距离为 tan xfOP(21)2k k 0明条纹明条纹 暗条纹暗条纹 中央明条纹中央明条纹 C CA AI I 大学物理

17、学大学物理学 V V 3.04. 4. 物理练习十三物理练习十三 填空题填空题 43. 3. 物理练习十三物理练习十三 填空题填空题 25. 5. 物理练习十三物理练习十三 计算题计算题 12 2. . 物理练习十三物理练习十三 选择题选择题 1，2 1.sin(21) ,2( ) akaB 时时，2. ( )C衍射角相同的光线聚焦在同一位置上衍射角相同的光线聚焦在同一位置上 2. sin2 42 ;sin2 24,1,222 2 aakkk暗暗4.;sin,tansin0.36mm20 6m2.3maxfffa 20-3 圆孔衍射圆孔衍射 光学仪器分辨本领光学仪器分辨本领式中式中 为圆孔的直

18、径为圆孔的直径. . D一、圆孔的夫琅和费衍射一、圆孔的夫琅和费衍射 1. 1. 实验装置实验装置 2. . 爱里斑爱里斑(Airy disk) 第一级暗环包围的中央亮斑第一级暗环包围的中央亮斑 第一级暗环第一级暗环对应的衍射角对应的衍射角 称为爱里斑的半角宽称为爱里斑的半角宽. . 1 理论计算得：理论计算得：接收屏接收屏 f障碍物障碍物 D光源光源 爱里斑爱里斑 1 D11.22 D (20.11) 点光源经过光学仪器的小圆孔点光源经过光学仪器的小圆孔(透镜、光阑透镜、光阑)后，由于衍射后，由于衍射的影响，所成的象是明暗相间的圆形光斑的影响，所成的象是明暗相间的圆形光斑.爱里斑爱里斑1S2

19、S二、光学仪器分辨率二、光学仪器分辨率 一个物点的衍射图象的爱里斑中心刚好与另一个物点的一个物点的衍射图象的爱里斑中心刚好与另一个物点的衍射图象的爱里斑边缘相重合，这两个物象恰好能为这一衍射图象的爱里斑边缘相重合，这两个物象恰好能为这一光学仪器所分辨光学仪器所分辨. .瑞利判据瑞利判据 (Rayleigh criterion) 能能 分分 辨辨 不不 能能 分分 辨辨 86. 00I0I恰恰 能能 分分 辨辨 最小分辨角为最小分辨角为： 2. 最小分辨角最小分辨角 (angle of minimum resolution) 1.22 D 1 第一级暗环衍射角为第一级暗环衍射角为 入射光波长，入

20、射光波长， D 透镜直径透镜直径. 恰能分辨两物象时两物点对透镜光心的张角恰能分辨两物象时两物点对透镜光心的张角 1 其中：其中： (20.12) 最小分辨角亦称为角分辨率最小分辨角亦称为角分辨率 (angular resolution) 爱里斑爱里斑 1S2S1 3. 光学仪器分辨率光学仪器分辨率 (resolution) R 1 1.22DR 1 , RDD(1) 入射光波长入射光波长 一定，一定， 例：例： 天文望远镜天文望远镜 （2）透镜直径透镜直径 D 一定，一定， 1 , R 例：例： 电子显微镜电子显微镜 (20.13) 最小分辨角的倒数最小分辨角的倒数 1 =D 光学仪器的透光

21、孔径；光学仪器的透光孔径； 入射光波长入射光波长. . 其中：其中： 3V10 nmV 加加速速电电压压几几十十万万 ，光学仪器光学仪器分辨率分辨率亦称为光学仪器亦称为光学仪器分辨本领分辨本领 (resolving power) 其放大率可以是普通可见光光学显微镜的上千倍其放大率可以是普通可见光光学显微镜的上千倍. 人眼瞳孔人眼瞳孔 D = 3.0 mm ，视觉波长，视觉波长 = 550 nm，问：，问： x l解：解： 1.22 D （2）xl （3） xl （1） (1) 人眼最小分辨角；人眼最小分辨角；(2) 在明视距离在明视距离 l = 25 cm 刚好分辨两物点的刚好分辨两物点的最小

22、间距；最小间距；（3）黑板上黑板上“ = ”号间距号间距 x = 2.0 mm，距离多远，距离多远的同学能刚好看清的同学能刚好看清 ？ 例题：例题： 讲义讲义 P.271 例例 22.2 93550 101.22 3 10 42.24 10 (rad)1 cm 0056. 01024. 2254 m 9 . 81024. 210243 20-4 光栅衍射光栅衍射 (grating diffraction) 一、光栅一、光栅 ( grating ) 1 1. 光栅光栅 大量等宽、等间距的平行透光狭缝大量等宽、等间距的平行透光狭缝(或反射面或反射面)构成的构成的 光学元件光学元件.广义讲广义讲，任

23、何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅. 2. 光栅分类光栅分类 透射光栅透射光栅 反射光栅反射光栅 dda 缝宽缝宽 b 相邻缝的间距（不透光部分的宽度）相邻缝的间距（不透光部分的宽度）3. 光栅常量光栅常量(grating constant) bad 规格：光栅常数规格：光栅常数（a + b）； 总缝数总缝数 N . 在可见光范围内：在可见光范围内： 56 ()1010m ab aba + b 几十条几十条/mm 几千条几千条/mm 用电子束刻制刻痕数可达几万条用电子束刻制刻痕数可达几万条/mm d 数万数万. 光栅是现代科技中常用的重要光学元件光栅是

24、现代科技中常用的重要光学元件. 衍射角相同的光线，聚焦衍射角相同的光线，聚焦在接收屏的相同位置在接收屏的相同位置. 换句话说：单缝的夫琅换句话说：单缝的夫琅和费衍射图样，不随单缝的和费衍射图样，不随单缝的上下移动而变化，中央明纹上下移动而变化，中央明纹极大仍位于屏上极大仍位于屏上 OO 点点. .OOOO1. 1. 单缝衍射图样与缝的位置单缝衍射图样与缝的位置 二、光栅衍射条纹二、光栅衍射条纹 大学物理学大学物理学 V V 3.02 2. 光栅衍射条纹的成因光栅衍射条纹的成因 I单缝衍射单缝衍射多缝干涉多缝干涉总效果总效果 光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应的叠加、光栅衍射是单缝衍射和缝

25、间光线干涉两种效应的叠加、多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制、明纹位置决定多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制、明纹位置决定于缝间光线干涉的结果于缝间光线干涉的结果. . 多缝干涉明纹也称为明纹主极大，狭缝数愈多，光强愈多缝干涉明纹也称为明纹主极大，狭缝数愈多，光强愈集中集中( (I I N2)，因此明纹，因此明纹又细又亮又细又亮. .明纹主极大明纹主极大 （）各个缝的衍射光之间相互叠加产生干涉）各个缝的衍射光之间相互叠加产生干涉. . （）每个缝的入射光产生单缝衍射；）每个缝的入射光产生单缝衍射； 相邻狭缝对应点在衍射角相邻狭缝对应点在衍射角 方向光线的光程差：方向光线的光程差： 3.

26、 光栅方程光栅方程 (grating equation) （重点重点） ()sin ab xfO ()sin ab ab+ ()sin ab 光栅方程光栅方程 光栅衍射形成明纹主极大的公式光栅衍射形成明纹主极大的公式. . ()sin , 0, 1, 2, abkk 中央明纹极大中央明纹极大 明纹主极大明纹主极大 次极大次极大 暗纹极小暗纹极小 各级明纹主级大之间有许多各级明纹主级大之间有许多暗纹极小暗纹极小， 其间又充满许多其间又充满许多( (I I0) )次极大次极大. . (20.17) 012345-1-2-3-4-5 N个缝的暗纹公式：个缝的暗纹公式： ()sinabmN 1, 2

27、,(1), (1), ()mNNmkN 其中：其中： 例：例：N =100， 第第 1 缝和第缝和第 51 缝光线的光程差为缝光线的光程差为/ 2 ，产生，产生相消干涉相消干涉； 第第 2 缝和第缝和第 52 缝光线的光程差为缝光线的光程差为/ 2 ，产生，产生相消干涉相消干涉； 结果：屏上会聚处形成第结果：屏上会聚处形成第1个个暗纹暗纹. ()sin100abm 100 相邻缝光线的光程差为相邻缝光线的光程差为 . 1, ()sin , 100mab 第第 1 缝和第缝和第 26 缝光线的光程差为缝光线的光程差为/ 2 ，产生，产生相消干涉相消干涉；第第 2 缝和第缝和第 27 缝光线的光程

28、差为缝光线的光程差为/ 2 ，产生，产生相消干涉相消干涉； 结果：屏上会聚处形成第结果：屏上会聚处形成第 2 个个暗纹暗纹. 50 相邻缝光线的光程差为相邻缝光线的光程差为 . 2, ()sin , 50 mab 以此类推以此类推 ，屏上会聚处形成第，屏上会聚处形成第 99 个个暗纹暗纹. . 100, sin ,mab 结论：结论： 一片暗区，因此一片暗区，因此光栅衍射只需确定明纹主极大的位置光栅衍射只需确定明纹主极大的位置即可即可. . 光强很弱的次极大光强很弱的次极大. . 当当 N 很大时在各级明纹主极大之间形成很大时在各级明纹主极大之间形成 各级明纹主极大之间有各级明纹主极大之间有

29、个暗纹极小和个暗纹极小和 个个 1 N2 N恰为第恰为第1 1级级明纹主极大明纹主极大. . N = 1 N = 2 N = 5 N = 20 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 14 4. 缺级现象及其条件缺级现象及其条件 由于单缝衍射的影响在应该出现明纹主极大的由于单缝衍射的影响在应该出现明纹主极大的地方不再出现明纹的现象称为地方不再出现明纹的现象称为缺级现象缺级现象.缺缺级级缺缺级级当衍射角当衍射角 同时满足同时满足 ()sin ( 0, 1, 2,)abkk 光栅衍射光栅衍射明纹明纹 sin ( 1, 2, 3,) akk 单缝衍射单缝衍射暗纹暗纹 时，该方向应出现的那一级

30、明纹主极大发生时，该方向应出现的那一级明纹主极大发生缺级缺级(missing order). . sinkkaba 由上述条件得：由上述条件得： 得满足下式的得满足下式的 k 将缺级：将缺级： ( 1, 2, 3,)abkkka k 和和 k只能取整数只能取整数, aba 整整数数比比时出现缺级时出现缺级. 例：例： 3 , 3 ( 1, 2, 3,)abkkka 则则 缺级缺级 9, 6, , 3 k缺缺级级缺缺级级 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 16. 光栅衍射条纹的特点光栅衍射条纹的特点 （1）亮；）亮； （2）细；）细； （3）分得开；）分得开； （4）可能出现缺级）

31、可能出现缺级. 5. 光栅衍射条纹强度光栅衍射条纹强度 22222sinsin sinNIIIa 衍衍干干o sin / , sin /aab 其中：其中： 可以证明：可以证明：三、光栅衍射光谱三、光栅衍射光谱 由由 得：得： ()sinabk sinkab 1. 光栅常数光栅常数 (a +b) 一定时，一定时， sin 白光垂直光栅入射时，会聚屏上的中央明纹仍为白光垂直光栅入射时，会聚屏上的中央明纹仍为白色白色， 其余各级明纹为内紫外红的其余各级明纹为内紫外红的彩色条纹彩色条纹，称为称为光栅衍射光谱光栅衍射光谱， 更高级次的彩色条纹可能会发生更高级次的彩色条纹可能会发生重叠重叠. 波长波长1

32、 和和2 的谱线的谱线重叠的条件：重叠的条件： 1122 kk 白光的连续光谱白光的连续光谱 结论：结论： 四、光栅衍射条纹的最高级次四、光栅衍射条纹的最高级次 ()sin ,abk bak max当当 (a + b) 和和 一定时，干涉级次受到限制，一定时，干涉级次受到限制， 屏上出现条纹的个数是有限的屏上出现条纹的个数是有限的. . , bak , sin 12 1sinab 2. . 波长波长 一定时，一定时， 光栅常数愈小，谱线分得愈开光栅常数愈小，谱线分得愈开. . 结论：结论： 五、斜入射时的光栅方程五、斜入射时的光栅方程 sinsinab ，相邻两缝，相邻两缝对应点的入射光在入射

33、到光栅前已有了光程差对应点的入射光在入射到光栅前已有了光程差 (a +b ) sin ，单色平行光倾斜地射到光栅上单色平行光倾斜地射到光栅上 (倾角为倾角为 ）故到屏上会聚处的故到屏上会聚处的总光程差总光程差为：为： () (sin1)() (sin1) ababk 1 1. 斜入射时的光栅方程斜入射时的光栅方程 2. 斜入射时的干涉级次斜入射时的干涉级次 入射光与衍射光在法线的入射光与衍射光在法线的同侧同侧时，时， 前取前取“ + ”; 的的异侧异侧时，时， 前取前取“ ”.入射光与衍射光在法线入射光与衍射光在法线 sin sin , sin 12 (k = 0, 1, 2 , ) ()(

34、sinsin ) abk ),2 ,1 ,0 ( k六、衍射光栅的应用六、衍射光栅的应用 用衍射光栅作成的光栅光谱仪，主要包括：用衍射光栅作成的光栅光谱仪，主要包括： 1. 1. 单色仪；单色仪； 3. 光栅摄谱仪等光栅摄谱仪等. . 2. 分光计；分光计； 例例1 (补补):使单色平行光垂直入射到一个双缝上，其夫琅禾使单色平行光垂直入射到一个双缝上，其夫琅禾费衍射包线的中央极大宽度内恰好有费衍射包线的中央极大宽度内恰好有13条干涉明条纹，并存在缺条干涉明条纹，并存在缺级，试问两缝中心的间隔级，试问两缝中心的间隔 d 与缝宽与缝宽 a 应有何关系？应有何关系？解：在单缝中央极大宽度内应对应光栅

35、明纹的解：在单缝中央极大宽度内应对应光栅明纹的 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 级明条纹级明条纹, 第第7级缺级级缺级.在该衍射方向上应满足在该衍射方向上应满足 sina sin7d 7 da =7orda两缝中心的间隔两缝中心的间隔 d 与缝宽与缝宽 a 应有应有d =7a 关系关系. sina 0/I I 七、光栅衍射举例七、光栅衍射举例 0d 2d 3d 4d d 2d 3d 4d sin 0/I Ia 2a a 2a (补补): 有一四缝光栅有一四缝光栅, 缝宽为缝宽为a, 光栅常量光栅常量 d =2a. 其中其中1缝缝总是开的总是开的, 而而2,3,4缝可以开也可以关闭缝可以

36、开也可以关闭. 波长为波长为 的单色平行光的单色平行光垂直入射光栅垂直入射光栅. 试画出下列条件下试画出下列条件下, 夫琅禾费衍射的相对光强分夫琅禾费衍射的相对光强分布曲线布曲线 I/I0sin . .fO1234关闭关闭3,4缝；缝； 关闭关闭2,4缝；缝；4条缝全开条缝全开. (1) 2 ; 2daN 02d 4d 6d 8d 2d 4d 6d 8d sin 0/I Ia 2a a 2a 0d 2d 3d 4d d 2d 3d 4d sin 0/I Ia 2a a 2a (2) 4 ; 2da N(3) 2 ; 4da N fO例例3(3(补补): ): 波长为波长为600.0 nm 的单

37、色光垂直照射在光栅上的单色光垂直照射在光栅上, , 头一个缺级出现在第头一个缺级出现在第4 4级级, , 已知缝宽已知缝宽 a =1.510-4cm, 透镜焦距透镜焦距 f = 1.0m. 试求：试求：(1) 最大光栅常数；最大光栅常数； (2)屏上第二级屏上第二级 与第三级明纹的距离与第三级明纹的距离; (3)呈现的全部明条纹的条数呈现的全部明条纹的条数. 解解：(1) 先计算光栅常数，由缺级条件先计算光栅常数，由缺级条件 ()sin abk sin ak kabak 得：得： 由题目已知：由题目已知： , 4 , 1 kk )(akkba m 106105 . 1466 4a (2) 求第

38、求第 2、3 级明纹间距级明纹间距 fOx2()sin2 ab 3()sin3 ab 得：得： 2sin0.2 3sin0.3 211 32 317 27 由图知：由图知： tan , xf 233232(tantan) xxxf 1.0 (tan17 27tan11 32 )0.11 m 2 x23 x322tan xf 33tan xf 注意注意：对于光栅一般：对于光栅一般 的关系不再成立的关系不再成立. sintan (3) 求屏上呈现的全部明纹条数求屏上呈现的全部明纹条数 abk ()sin , ,sin1 2abk 由光栅方程知：由光栅方程知： 101060010696 10 级看不

39、到，级看不到， 缺级，缺级， 8 , 4 共呈现：共呈现： 9 , 7 , 6 , 5 , 3 , 2 , 1 , 0 即：即： 15 条条. 例例4. . （P279-20.5）求能观察到的最高级次）求能观察到的最高级次 解：解： 已知已知:每每mm有有500个刻痕个刻痕, 即即 mm )(5001 ba(1) 垂直入射时垂直入射时 ()sin ,abk ,2 )( bak 4 . 31059050016 3 max k(2) 光以光以 斜入射时斜入射时 30 ()(sin30sin90 ) abk 取取 15 minmax kk1122661/ 500(1)1/ 500(1) 590105

40、9010 k1.75.08k 即即：,590nm 例例5. . （补）求白光第三级光谱对透镜所张的角度（补）求白光第三级光谱对透镜所张的角度 解：解： , cm )(65001 ba min390 nm , nm 760max ()sin , 3 abkk minmin3sin ab min49.51 maxmax3sin ab 不存在不存在 9049.5140.49 ()sin90513 nm 33abab 第三级光谱包含的光谱范围：第三级光谱包含的光谱范围： 390 513 nm 故第三级光谱的张角为：故第三级光谱的张角为： 73 390 100.761 1 6500 48. 165001

41、1076037 例例6 (P278-20.4): 使波长为使波长为480nm的单色光垂直入射到的单色光垂直入射到每毫米有每毫米有250条条狭缝的光栅上狭缝的光栅上, 光栅常量为一条缝宽的三倍光栅常量为一条缝宽的三倍. (1)第一级谱第一级谱线的角位置线的角位置; (2)总共可以观察到几条谱线？总共可以观察到几条谱线？ 解解:(1)由光栅方程由光栅方程 ()sinabk 第一级谱线对应第一级谱线对应 k =1, 其角位置其角位置 913480 10arcsin()arcsinarcsin( 0.12)0.1210/250ab (2) 谱线的最大可能角位置对应谱线的最大可能角位置对应 / /2,

42、可观察级次的最大值为可观察级次的最大值为 6max9()sin(/2)4 1018.3480 10abk 因为因为k值只能取整数值只能取整数, 所以所以 kmax=8, 可能观察到可能观察到28+1=17条条. 又因为又因为d=3a, 所以发生缺级所以发生缺级, 缺缺3, 6, 所以可观察到所以可观察到17-4=13条条. 1895年，德国物理学家年，德国物理学家伦琴伦琴(Rntgen, 1845-1923) 发现了发现了高高速电子撞击固体速电子撞击固体可产生一种能使胶片感光、空气电离、荧可产生一种能使胶片感光、空气电离、荧光物质发光光物质发光的中性射线的中性射线 X 射线射线.20-5 X X 射线的衍射射线的衍射 一、一、X X 射线的发现射线的发现 1. 1. 实验装置实验装置 阳极阳极阴极阴极 X X 射线管射线管 10 4 105 V+X X 射线射线 2. X 射线的性质射线的性质 （1）是波长很短的电磁波，穿透力极强；）是波长很短的电磁波，穿透力极强；X 射线的波长范围：射线的波长范围： （2）不受电磁场