实数与向量积及几何意义

1、玛纳斯县一中2.2.3 向向 量量 数数 乘乘 运运 算算 及及 其其 几几 何何 意意 义义1、向量加法的、向量加法的三角形法则三角形法则baOa a a a a a a abbbbbbbBbaA注意：注意：a+b各向量各向量“首尾相连首尾相连”，和向量由第一，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点个向量的起点指向最后一个向量的终点. .温故知新温故知新baAa a a a a a a abbbBbaDaCba+b作法作法:(1)在平面内任取一点在平面内任取一点A； (2)以以点点A为起点为起点以向量以向量a、b为邻边作平行为邻边作平行 四边形四边形ABCD.即即ADBCa,AB=D

2、C=b ； （3）则以）则以点点A为起点为起点的对角线的对角线ACa+b.2、向量加法的、向量加法的平行四边形法则平行四边形法则注意注意共起点共起点. .共线向量不适用共线向量不适用温故知新温故知新OB二、向量减法法则二、向量减法法则: O1在平面内任取一点作法：作法： bOB, aOA2作 baBA3则向量Aab两向量两向量起点相同起点相同，则差向量就是，则差向量就是连结两向量终点连结两向量终点， 方向方向指向指向被减向量终点被减向量终点的向量的向量.共起点，连终点，共起点，连终点，方向指向被减向量方向指向被减向量.OBOABA温故知新温故知新思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作

3、出 和和 a, a a a ( a) ( a) ( a)? a OAa Ba Ca NMQPa a a OC OA AB BC a a a 记记:aaa3a即即:OC3a. 同理可得同理可得:PN( a)( a)( a)3a 思考题思考题2: 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 3a a a 3a (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a a 3a 3a3 a . 问题思考问题思考一、实数与向量的积的定义：一、实数与向量的积的定义： 如下：，它的长度和方向规定的积是

4、一个向量，记作与向量实数aa aa1 的方向相同；的方向与时，当aa 02的方向相反；的方向与时，当aa 0. 0 00 aa时，或当特别地，归纳总结归纳总结任意实数，则有：为、为任意向量，设ba, babaaaaaa)( (3) )( (2)()( (1)二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： 归纳总结归纳总结)2(3)3(2 )3()2()3( )2(43)( (1)cbacbaababaa12a5b52abc 注注：向量与实数之间可以像多项式：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算一样进行运算.例例1：计算题计算题例题解析例题解析)0( . 1aaa有何关系？与是共线向

5、量吗？，那么如果baab,. 2？那么是共线向量，与如果abba 3.想一想：想一想：问题思考问题思考2) 可以是零向量吗可以是零向量吗?思考思考:1) 为什么要是非零向量为什么要是非零向量?三、共线向量基本定理：三、共线向量基本定理： 向量向量 与非零向量与非零向量 共线共线当且仅当当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数 ，使得，使得ababab归纳总结归纳总结判断下列各小题中的向量a与b是否共线 12 ,2 ; ae be 12122,22. aee beea=-ba=-2ba,b共线a,b共线试试身手试试身手例例2. 如图如图,已知任意两个非零向量已知任意两个非零向量 a, b, 试作试作

6、2 ,3OAOBOC a+b,abab 你能判断你能判断 A、B、C三点之间的位置关系吗三点之间的位置关系吗?为什么为什么?abOaABC 2ABOBOA ababb 32ACOCOA ababb2ACAB 所以,A、B、C三点共线b2b3b例题解析例题解析解解:例 如图, 的两条对角线相交于点M,且ABCD=ABADMA MB MCMDa,b,a,b 、 、你能用表示和ADCBabM解：在ABCD中-ACABADDBABADaba b 平行四边形的两条对角线互相平分11112222MAAC a+ bab11112222MBDBa -bab 111222MCACab 111222MDMBBD ab 例题解析例题解析1.1.向量数乘的定义向