幂级数在近似计算中的应模板

1、论文4事级数在近似计算中的应用谢文清江权霞(指导老师：陈引兰)数学与统计学院1001班qQ摘要：形如Zan(xXo)n=a°+ai(xXo)+a2(xx0f+an仅X0F+的函数n=0项级数称为幕级数，幕级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幕级数的展开式，对无理数n,e,ln2等，利用计算机相关软件，进行近似计算.关键词：幕级数、近似计算1 .理论依据以某个幕级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项rn(x)估计.我们先给出一些基本初等函数的幕级数展开式及它们对应的余

2、项x/x=1x2!3!n2xnx+十n!rn=-(n1)!(n2)!cdarctanxn4n12n_J(-1)xrnn2n用(-1)x2n12n-1n12n：；3(-1)x35n12nJxx(-1)x3!5!2n-1QOarcsinx=x+vn=12n3(2n-1)!2n1x2n1(2n1)!rn二(2n)!x2n1*3(2n3)!2n3x+(2n2)!2n3(2n4)!nJn2ln(1+x)=(-1)x=x-2n53x+.+n4n23nn1n1n2(-1)x(-1)xn1n2n1n(-1)x1-I»»n2 .n的近似计算本节利用两个函数的幕级数展开式来近似计算n,在相同的

3、误差条件下,取不同的x,若取级数的前n项和作为冗的近似值，对应的n值不一样，这就为n-12n-1八xn12n-1幕级数在近似计算中的应用提供了很大的空间由函数y=arctanx的幕级数展开式知arctanx若取x=1时,二11一二1一(-1)n-2n-1(D2n1rn4<,2n+1为了保证误差不超过10-,就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctanx展开式而言，当|x越小收敛越快，恰恰在端点x=1收敛最慢.以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快现若取x=带入展开式得311,1-一一(=6、,33.3)31/15n11/12n-(T(

4、-1)(T5、32n-1、311111/八n1(T)353732n-1若取级数的前n项和作为n的近似值，其误差为rn111111,(、nJ1=2.3(1(-1)_33532733;2W一(2n+1)3n2n-13n卜面实现（2）式的计算，若要求误差小于104（计算冗的程序见附录1）当n=8时,23工=9:101939真二2,3(1-131111111II*+I+35327331537)=3.14167现取,显见0口±,t己=三"，而4411tanP=tan(a)=所以P=arctan一433二11=arctan一arctan一1111113213=4(一r一二23252n-

5、1等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。如果取级数前n项之和作为n的近似值11c即二4(1+(-1)35525mu"13313卜面实现（3）的计算，若要求误差小于10”（计算冗的程序见附录2）当n=7时,11111二=4(-t'5-2323525111111n111335.(-1)-13)=3.141561323333535133对于y=arctanx,误差一样（如要求误差小于1Q-）,取不同的x,对应部分和的项数n与近似计算的n值如下表x1机312n2QQQQ873.141673.141561对于arcsinx的展开式而百，取x=-二1(2n-

6、1)!1二一十匚62n3(2n)!2n17!TZ798!92=1：二1。"622!3234!525!57=3.1411556!727卜面实现（4）的计算，若要求误差小于1Q*（计算兀的程序见附录3）综上，知当误差确定时，对相同的幕级数展开式，x的取值不同，所取部分和的项数不同，近似计算n的值也不同，对不同的幕级数展开式结果亦然.当然,当误差改变时，我们同样可以利用幕级数展开式估算出n的值，其精确度更高.3 .数e的近似计算以ex的幕级数展开式为基础进行讨论n23nex="=1xn=Qn!2!3!n!-r,11当x=1时，e=1+1+2!n!11rn=e-(1-1.)2!n!

7、111=+,，(n1)!(n2)!(n3)!(n2)(n3),)11)一(1(n1)!(n2)1011、1:(1-2')"(n1)!n1(n1)n!n一一.一111所以取11作为近似值，则误差为.2!n!n!n111例如：精确到、，则需要rn<<1=n=10(见附录4)10n!n10111.e=112.7182818.2!3!10!扩广：利用幕级数推导e是无理数.1xn11xnI0：e-(11-)<-0：二n!ne-(11-)：12!n!n!n2!n!令k=n!ne-(11-一2!.0：k：11n!ne-(11-112!e=11-=2!n!n!n1k+n!n

8、!n反证法：假设e是有理数，则p,q£N,(p,q)=1,p>qe=-=11pn-!-n=n!n(111二11-2!)kq2!n!n!nq2!n!等式左边是一个整数，右端第一项是整数，而k是小数；即右端不是整数，矛盾.故e是无理数.4 .对数的计算利用对数的幕级数展开式，作对数的近似计算。根据对数的特征，只要计算出正整数的特征，那么由对数的运算，其它有理数的对数也就知道了以ln(1+x)的麦克劳林级数作为出发点qQln(1+x)="n1n1n(-1)x3n_1nx(-1)x3n.1111当x=1时，ln2=1+,.+(1)-+234n当取前n项作为其近似值，其误差Rn

9、=ln2-(1-1.11.(-1)n'xn1):.234nn1如要精确到10”就要截取一万项来计算，另外上面的展开式的收敛域为-1<x<1,这就不能直接用它来计算其它整数的对数卜面用一个收敛较快的幕级数来计算ln21，x一.一.利用ln二的幕级数展开式1-x23xxln(1-x)=-x-231x.ln=ln(1x)一ln(1一x)=2(x1-x2n-1_1xI_1.令=2,即x=-市入(5),有1-x3111ln2=2(3733335351.)(2n-1)32n，估计余项如下11±=2(+)，(2n+1)32n+1(2n+3)32n+3一21,11</c八c

10、2n+1(1+c2+c2+)=”小八fn-1(2n+1)3234(2n+1)3如要精确到10;即使rn<10=只要n=4(见附录5)1111、1n2：2(-Z-Z35Z-T7)3335373=2(0.33333+0.02135+0.00084+0.00007)=0.6931一.1x11.1ln(1)=2(N拓展:令1.x=1+N=X=2N+1,有-3-5')=ln(1N)=lnN2(2N13(2N1)5(2N1)(2n-1)(2N1)-3-5-212N13(2N1)5(2N1)(2n-1)(2N1)这是一个递推公式,所以据此可求任何正整数的对数，相应的也可求有理数，,-1一1如:

11、当N=2时，即x=,5)=1.098611ln3-ln22(3-s5353555(Z2的结果见附录6)k=1(2k-1)5(2k-1),一,一一1，当N=4时，即x二，有9111ln5=2ln22(35)=1.60949395921E“一(第西的结果见附录7)k=1(2k-1)9如此进行下去，可得ln6,ln7,的值一lnx利用上述计算方法，通过换底公式，我们可以计算得到了1gx二府的一些近似计算结果并与数学用表中lgx值进行比较（见表）表lgx的幕级数近似计算结果与数学用表中数值的比较12345678910幕级00.301030.477060.602060.69870.778090.8450

12、40.900900.954121数算数学用表00.30100.47710.60210.69900.77820.84510.90310.95421通过此表，知幕级数作为近似计算的工具，结果与真实值很相近参考文献1董延闿.级数M.上海：上海科学技术出版社,1982.2华东师范大学数学系.数学分析.M.北京：高等教育出版社,19993周晓阳.数学实验与Matlab.武汉：华中科技大学出版社,2002附录1.s=0;n=1;ps=pi;whileabs(s-ps)>1e-4s=(-1)A(n-1)*2*3A(1/2)/(2*n-1)*3A(n-1)+s;n=n+1;ends,n程序所得结果为s=

13、3.14167431n=8即为使计算结果精确到小数后第四位，只需求对应级数前7项的和利用Matlab软件算得7(-1)nT2、32-n=1加一13n一1symsksymsum(-1)A(k-1)*xA(2*k-1)/(2*k-1),k,1,8)ans=x-1/3*xA3+1/5*xA5-1/7*xA7+1/9*xA9-1/11*xA11+1/13*xA13-1/15*xA15,1一，当x=一产时J3symskf=6*(-1)A(k-1)*(1/sqrt(3)A(2*k-1)/(2*k-1)symsum(f,k,1,7)结果为ans=3.141674312. s=0;n=1;ps=pi;whil

14、eabs(s-ps)>1e-4s=4*(-1)A(n-1)/(2*n-1)*1/2A(2*n-1)+1/3A(2*n-1)+s;n=n+1;ends,n计算结果为s=3.14156158n=73. s=3;n=1;ps=pi;whileabs(s-ps)>1e-4s=(2*n-1)!/(2*n)!*(2*n+1)*2A(2*n+1)+s;n=n+1;ends,n计算结果为s=3.14115n=44. ff=sym('n*n!=10A7');solve(ff,'n')ans=10101先算、1k=1k!symsknsymsum(1/sym('k!),k,1,10)ans=1.7182818101则e=1+x=2.7182818k=1k!5.ff=sym('4*(2