分式化简求值几大常用技巧

1、分式化简求值几大常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已 知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、应用分式的基本性质1x2例1 如果x十一 =2 ,则2一的值是多少？xx x 1解：由x#0,将待求分式的分子、分母同时除以x2,得原式=.=x2 1(x -)2 -1 x x2、倒数法122 -1如果x+1=2,x2则-x-3一 的值是多少？x x 1解：将待求分式取倒数，得42.x x 12x11 222 1 =(x ) -1 =2 -1 =3 xx,1.原式=133、平方法一 121例3 已知x十一=2

2、,则x2 +的值是多少?xx解：两边同时平方，得2121x 22=4, x =4-2 = 2.xx4、设参数法abcab 2bc - 3ac 分例4 已知一=一=# 0 求分式的值.235a2 2b2 -3c2后刀、几a bc ,解：设_ = _ = _ = k ,则2 35a = 2k,b = 3k,c =5k .2k 3k 2 3k 5k -3 2k 5k 6k26=(2k)2 2(3k)2 -3(5k)2-53k253例5 已知a = b = c,求a+bc的值.b c a a。b c.、几a b c ,斛：设一=_=_=k,则b c a7a =bk,b =ck,c =ak.3 c =

3、ak = bk k = ck k k = ck ,k3 =1,k =1.a_S=i. a -b c5、整体代换法例6已知1 1 =3，求2x*3xy -22的值.x y x-2xy_y解：将已知变形，得.原式= 2(x-y) 3xy (x -y) -2xyy -x =3xy,即 x y = -3xy2 (-3xy) 3xy _3xy 3-3xy-2xy-5xy 5 a +b = -1,然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。例：例5.已知a +b <0 ,且满足 a2 +2ab+ba- 一b = 2,3 . u3求a的值。1 -3ab解：因为 a2 - 2ab ba - -

4、b =2所以(a b)2 - (a b) -2 =0所以(a b -2)(a b 10-所以 a +b =2或 a +b = 1由 a b ： 0故有a b = -13322a b (a bX ab b )所以=-13 ab13 ab评注：本题应先对已知条件a2 2ab - ba -1 (a2 - ab b2)一 1 -3ab_ a2 _ ab b2一 3ab-1_ (a b)2 - 3ab- 3ab -12_ (-1)2 -3ab一 3ab -1= 1 -3ab-3ab-1=-1-b =2进行变换和因式分解，并由a+b<0确定出6、消元代换法例7 已知abc=1,则 a 十b 十c =

5、ab a 1 bc b 1 ac c 11解：= abc =1, . c =, ab.原式=ababab a 1 b ab b 1 _ 11 da1ab ab. aab1aba11ab a a 1 ababa1,=1.aba17、拆项法111111例8右 a +b +c = 0,求 a(_ +_)+b(- +-) +c(- + ) +3 的值.b ca ca b解：原式=aj J) 1 b(l -)1 c(- -)1_ b c _ a c _ a b111111111=a() b() c()abcabcabc111、，、二()(a b c)a b c. a b c = 0，原式=0.8、配方法

6、的值.例 9 若 ab=1 + 73, b - c = 1 - J3,求22a b c - ab - ac-bc解：由 ab=1+J3,bc = 1 J3,得 ac = 2.a2 b2 c2 - ab -ac - b21222= ；(a-b) (b-c) (a-c)1=-12 =02,1，原式二L6化简求值切入点介绍解题的切入点是解题的重要方向，是解题的有效钥匙。分式求值有哪些切入点呢？下面本文结合例题 归纳六个求分式的值的常见切入点，供同学们借鉴：切入点一：“运算符号”点拨：对于两个 分母互为相反数的分式 相加减,只须 把其中一个分式的分母的运算符号 提出来,即可 化成同分母分式进行相加减。

7、4a2+b -2ab2例1 ：求_b2a -bb2解：原式=2a -b2224a b -4a224a -b2a -b(2a b)(2a-b) = -(2a b) = -2a-b(2a -b)评注：我们在求解异分母分式相加减时，先要仔细观察这两个分式的分母是否互为相反数。若互为 相反数，则可以通过改变运算符号来化成同分母分式，从而避免盲目通分带来的繁琐。切入点二：“常用数学运算公式”点拨：在求分式的值 时,有些数学运算公式直接应用难以奏效，这时，需要对这些数学公式进行变形应用。例2：若a2 一3a +1 = 0 ,贝u a3 +3的值为 a解：依题意知，a#0,由a23a+1=0得21a2 +1

8、 =3a ,对此方程两边同时除以 a得a + =3aa3 ： = (a 1)(a2 -14)=(a 1)(a 1)2 -3: 3 (32 -3): 18 a aaa a评注：在求分式的值时，要高度重视以下这些经过变形后的公式的应用： a2 -b2 = (a +b)(a -b) a2 +b2 = (a +b)2 2ab= (a - b)2 + 2ab a3 b3 = (a b)(a2。ab b2) = (a b)(a b)2 -3ab = (a b)3。3ab(a b) a3。b3 = (a-b)(a2 ab b2) = (a-b)(a-b)2 3ab = (a。b)3 3ab(a b) ab

9、= 1(a b)2 Ta -b)24切入点三：“分式的分子或分母”点拨：对于分子或分母含有比较繁杂多项式的分式求值，往往需要对这些多项式进行分解因式变形处 理，然后再代题设条件式进行求值。22例 3：已知 x + y =3,xy = 5,求 * * * * * * x 2 3xy2yx y 2xy22解：x 3xy 2y 22x y 2xy(x 2y)(x y) x yxy(x 2y)xy的值。x y = 3, xy = -5解：依题意知,42.x x 12x33-5 一一5评注：分解因式的方法是打开分式求值大门的有效钥匙也是实现分式约分化简的重要工具。像本题 先利用十字相乘法对分子分解因式，

10、利用提公因式法对分母分解因式，然后约去相同的因式，再代题设条 件式求值，从而化繁为简。切入点四：“原分式中的分子和分母的位置”评注：取倒数思想是处理那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式求值问题的重要法宝。像本题利用取倒数思想巧变原分式中的分子和分母的位置，从而化难为易。切入点五：“题设条件式”点拨：当题设条件式难以直接代入求值时，不妨对其进行等价变换，也许可以找到解题钥匙。例5：已知32=3,则2x3y x 13 xxx=x2 1 4=(x)2 -1=221=3 x xy的值为x y7xy 9y - 6x,32解：由 一 一一二3得 3y -2x =3xy ,则 2x 3y = -3xyx y

11、2x -3y xy7xy 9y - 6x2x -3y -xy -3xy - xy- 4xy1 ， 3(3y -2x) 7xy 3 3xy 7xy16xy4评注：等价变换思想是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁，是恒等变形的充分体现。像本题通过对题设条件式作等价变换，找到重要解题条件“ 3y 2x =3xy”和“ 2x_3y =_3xy”，然后作代换处理,从而快速求值。切入点六：“分式中的常数值”点拨：当题设条件式的值和所要求解的分式的常数相同时，应注意考虑是否可以作整体代入变形求解,以便更快找到解题的突破口。例6：设abc = 1,求 a +b一 +c一 的值ab a 1 bc b 1 ac c 1解：abc =1.原式=ab a abcb+bc b 1c+ac c 1=1 c_b 1 bc bc b 1 ac c 11 bc1 b1=-= -bc b1ac cabcbcb1a1ab1 babc1bbc='='bc b1a abcabbcb11bcb1 b bc , =1bc b 1评注：整体代入变形是分式求值的重要策略。像本题紧扣“abc = 1 "，多次作整体代入处理，先繁后简，逐项通分，最后顺利得到分式的值。综上可见，找准切入点，灵活变形可以巧妙求解分式的值。所以，当你遇到分式求值题找不到解题方向时，不妨找准切入点，对原分