抛物线焦点弦性质及其证明过程

1、有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线产=2尤>>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(匹，口)、B(£，%)两点结论1： A目=玉+工2+ab = |af| + |bf| = a + ) + (x2 + ) = Xj + x2 + /?22结论2:若直线L的倾斜角为6,则弦长|A8| = 当 sin- 0证：若夕=9时，直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,.Aq= 2p.结论得证(2)若夕时,设直线L的方程为：y = (x -?)tan。即x = y-cot6 + f 代入抛物线方程得V 2ycot6_2 =0 由韦达定理“乃=一2，月 + >'

2、2 =2cot8由弦长公式得MM = V1 + cot2 0yx - y2 = 2p(l + co/8) = S IO结论3:过焦点的弦中通径长量小vsin2<l.-.> 2/7 ：.AB的星小值为2p,即过焦点的弦长中通径长最短.o2i结论4：卤彳(为定值)S、6B = S.F + S,。" = JOF-怛斗sine + ；I。斗纳卜 sin S 乙乙=|(?F| " (|AF| + |BF|)sin 0 = |(?F|- -sin = - -1-. sin A = -222 2 s i 62 s in 8 AB 8结论 5 ： (1) >V?2 = -

3、2 X= q-2、丁_）'】证内 ,第）2一为？_（月为）2_加 一下"2 一彳结论6:以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AAi,过B点作准线的垂线BBi, 过M点作准线的全线MM,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知奥卜内"网I"的二单故结论得证结论7:连接AF、BiF则AiFlBiF A4 = AF.：. ZAAF = ZAM1 . AAJ/OF ：. ZAAF = ZAiFO ：. ZAFO = ZA.FA同理/BFO = NBFB ZAiFBi =90° A AlB, F结论 8: (1) AMBMi

4、 (2) MiF_LAB (3) |M(F|2(4)设AM1与A】F相交于H , MR与FB1相交于Q则MrQ, F , H四点共圆(5)k得+明/=川知也证：由结论(6)知Mi在以AB为直径的圆上，AMtlBMj AA.FB,为直角三角形，M.是斜边A, B,的中点 AM = M】F ：. NM必I = NM4E -/ ZA41E = ZAFA.v ZA41F + ZE41MI =ZA41M1 =90°/. ZAF+ZA.FM =90°/. MiFl AB.|陷斤=|人耳怛F| AMBM .ZAM8 = 90。又AFJ_BFZA,FB, =900 所以 M, Q, F,H

5、 四点共圆，|AM+M8=|ABf= (|AF| + |M)2=(|AA| + |85|)2 =(2|MM1|)2=4|MM1|2结论9:(1) A、O、Bt三点共线 B, O, A三点共线(3)设直线AO与抛物线的准线的交点为耳，则BBi平行于X轴(4)设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AAi平行于X轴Ey M 2 e2乃而、，、，_ n2证：因为Am = = r = *点=,而月为一一P项 yj JiP五 2所以3a =2"=一生=尢遮所以三点共线。同理可征(2) (3) (4) 一' P112结论 10：7 + f7 =一|到I冏证：过A点作AR垂直X轴于点R,过

6、B点作BS垂直X轴于点S,设准线与X轴交点为 E,因为直线L的倾斜角为6则忸/=忸尸| + |五M = P + AFcos0 = AF ：. AF =P1 -cos1 _ 1 - cos 6AF P,11 + cos。同理可得西结论11： 八厂八/.|AF| |AE|(1)线段"平分角NPEQ (2)LJ = LJ (3) Kq + Kbe：。 lBFl lBEl(4)当e =巳时AELBE,当19工工时AE不垂直于BE 22IB, El |BF| ,忸闵忸 皿即EF9，局二局|吐怛同|叫=%”哥/ ZAA.E = /BB1E = 90° /. 相似于ABiEB /. ZA

7、1EA=ZB1EB NAEF + NA|EA = NBEF +NBEB =90° /. ZAEF = ZBEF 即EF平分角 ZPEjQ.理=丹.直线AE和直线BE关于X轴对称Kae+Kbe=0|BF| |BE|AL BL(4)当8=巳时，AF=EF=FB.NAEB=90。 2当e W时，设直线L的方程为y = klx-£将其代入方程y2 = 2px得kp(k2+2)x+乎=。设AM"),%)则修+XL吗卫-T假设皿be则“K=T% 立 一 1 P P X. + X1+ 1 2 2 2.仁+1卜科2-区+乂2)(内-1)+(/+1)=0.,k+1)=411 乙今N

8、乙K.-2 = 0.-.不可能.-.假设错误.结论得证 1 1 1结论12:过抛物线的焦点作两条互相垂直的眩AB、CD,则XbI + ICDI = 2F推广与深化：深化1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E (a,0),则有yU2=-2pa证：设 AB 方程为 m 尸e,代入 y'=2px.得：y2-2pmy-2ap = 0),yiy2=-2paIFRI_ 1深化2:性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴,AB的中全线交x轴于点R,则1ABI 2y = tga(x -) 证明：设AB的倾斜角为a,直线AB的方程为：2 ,22 。 te2a(x2 -px + ) = 2

9、px 代入 y =2px 得：' P 4 P ,即 x _ _ x(p + 2pctga) + i-j- = 0由性质1得I AB 1= xj + x2 + p = 2p + 2pctg2a = sin - a ,X1 +X2 _P ,ifmi=i=又设AB的中点为M,则cosa cosa ,由北山吧01=上Icosal cos2 a sin2 a ,IFRI_ 1 lABl-2 深化3:过抛物线的焦点F作n条弦A|BA2B2.- AnBn）且它们等分周角2冗，则有JL 1n 1y一y(1)为定值;i.ilAjBJ为定值（= P N A Fx = a证明：（1）设抛物线方程为- 1-c

10、os。'1 一/ A L兀/ L2兀 / A Ln 1ZAFx =a + ,ZA3Fx = a + ZAnFx = a +兀由题意 - nnn1_ 1 - cos a 1 -cos(7t + a) _ 1 - cos2 a _ sin 2 a所以 IAFIIFBJ pP - p2 - p2isnv(a + )sin "(a +兀)jj=n同理 IA2FMFB2I 一p 一' 'lAnFIIFB/- P，/ 兀、，/ 幺兀、,，/ n 1nsnr a + sin (a + )sin (a + )+ - +sin (a +兀)=易知nnn 2 ,.2 / 兀、* >> / n -., sin (a + )sin "(a +兀)