飞行器结构动力学第5章弹性体振动

1、第5章 工程振动测试和实验飞飞 行行 器器 结结 构构 动动 力力 学学 飞行器设计工程系飞行器设计工程系第第5 5章章 弹性体振动弹性体振动第5章 工程振动测试和实验 西北工业大学西北工业大学 第第5 5章章 弹性体振动弹性体振动飞飞 行行 器器 结结 构构 动动 力力 学学 第5章 工程振动测试和实验第第5 5章章 工程振动测试和实验工程振动测试和实验5.1 5.1 弦的振动弦的振动 5.2 5.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 5.3 5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动 5.4 5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动 5.5 5.5 简支梁情形简支梁情形 5.6 5.6 固支梁情形固支梁情形 5.7

2、 5.7 悬臂梁情形悬臂梁情形 5.8 5.8 振型函数的正交性振型函数的正交性 5.9 5.9 主振型叠加法主振型叠加法 第5章 工程振动测试和实验第5章 工程振动测试和实验第第5 5章章 工程振动测试和实验工程振动测试和实验5.1 5.1 弦的振动弦的振动 第5章 工程振动测试和实验第5章 工程振动测试和实验5.1 弦弦 的的 振振 动动 前面几章，我们讨论的都是前面几章，我们讨论的都是离散体系统离散体系统，这一，这一章我们将讨论章我们将讨论连续系统连续系统，连续系统是由弹性体元件，连续系统是由弹性体元件组成的组成的 本章讨论本章讨论理想弹性体理想弹性体的振动。所谓理想弹性体是的振动。所谓

3、理想弹性体是指满足以下三个条件的连续系统模型：指满足以下三个条件的连续系统模型： 均匀分布均匀分布 各向同性各向同性 服从虎克定律服从虎克定律第5章 工程振动测试和实验 弹性体具有弹性体具有分布的物理参数分布的物理参数（质量、阻尼、刚度），弹性体的（质量、阻尼、刚度），弹性体的空间位置需用无数多个点的坐标来确定。也就是说，弹性体具有空间位置需用无数多个点的坐标来确定。也就是说，弹性体具有无无限多个自由度。限多个自由度。 这些主振型之间也存在着关于质量和刚度的正交性；这些主振型之间也存在着关于质量和刚度的正交性；通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，将会看到通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，

4、将会看到: : 任何一个弹性体具有无限多个自然频率以及与之相应的主振型；任何一个弹性体具有无限多个自然频率以及与之相应的主振型； 弹性体的自由振动也可以表示为各主振动的线性叠加；弹性体的自由振动也可以表示为各主振动的线性叠加； 对于弹性体的动响应分析主振型叠加法仍然是适用的。对于弹性体的动响应分析主振型叠加法仍然是适用的。5.1 弦弦 的的 振振 动动 第5章 工程振动测试和实验 设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为T 跨长跨长为为 l，弦单位长度的质量为，弦单位长度的质量为 ，两支点连线方向取为，两支点连线方向取为x 轴，与轴，与 x轴垂直

5、的方向取为轴垂直的方向取为 y轴，如图轴，如图5-1a，波动方程波动方程图图5-1 5-1 弦振动示意图弦振动示意图 5.1 弦弦 的的 振振 动动 (a)第5章 工程振动测试和实验 设弦的振动发生在设弦的振动发生在xoy平面内，弦的运动可表示为平面内，弦的运动可表示为y = y(x,t) 。并假设弦的振动幅度是微小的，即并假设弦的振动幅度是微小的，即y 与与 均为小量；在这些均为小量；在这些假设下，弦的张力假设下，弦的张力T 可近似地看作常量。再设重力与阻尼的影可近似地看作常量。再设重力与阻尼的影响均可略去不计。响均可略去不计。yx 在自由振动中，弦的微元在自由振动中，弦的微元dx 的受力图

6、如图的受力图如图5-1b,5-1b,运动微运动微分方程分方程为为22sin()sinydxTdxTtxxytansin5.1 弦弦 的的 振振 动动 图图5-1 5-1 弦振动示意图弦振动示意图(b)第5章 工程振动测试和实验 故有故有 2222yydxTdxtx整理得整理得 lxtycxy0122222（5-15-1） 式中式中 Tc 弦的运动还必须满足边界条件弦的运动还必须满足边界条件（5-25-2）0),(), 0(tlyty式（式（5-1）中的）中的c 就是弹性波沿弦向的传播速度就是弹性波沿弦向的传播速度。式（。式（5-1）亦）亦称波动方程称波动方程。5.1 弦弦 的的 振振 动动 第

7、5章 工程振动测试和实验 描述弦振动的函数描述弦振动的函数y(x,t) 可以分解为空间函数与时间函数的乘可以分解为空间函数与时间函数的乘积，即积，即)()(),(tYxXtxy（5-35-3） 其中其中 X(t)是是振型函数振型函数，它表示整个弦的振动形态，而，它表示整个弦的振动形态，而 Y(t)表征点表征点的振动规律。将（的振动规律。将（5-3）代入（）代入（5-1）式，可得）式，可得: 2222211dtYdYdxXdXc（5-45-4）要使上式对任意的要使上式对任意的x与与t都成立，必然是二者都等于同一个常数。都成立，必然是二者都等于同一个常数。设这一常数为设这一常数为，得如下两个常微分

8、方程，得如下两个常微分方程特征方程特征方程5.1 弦弦 的的 振振 动动 第5章 工程振动测试和实验0022222XcdxXdYdtYd 取取 。于是，上述方程可改写为。于是，上述方程可改写为20222YdtYd（5-55-5）0222XdxXdc（5-65-6）可解得可解得 tBtAtYcossin)(（5-75-7）xDxCxXcossin)(（5-85-8）5.1 弦弦 的的 振振 动动 第5章 工程振动测试和实验其中其中C 、D 为积分常数，另外，由边界条件（为积分常数，另外，由边界条件（5-2），得），得0)0(X0)(lX（5-95-9）（5-105-10）得得0D0sinl （5

9、-115-11）这就是弦振动的这就是弦振动的特征方程特征方程。由此可确定一系列。由此可确定一系列特征值特征值与此相应，可确定一系列与此相应，可确定一系列特征函数特征函数，亦称，亦称振型函数振型函数lxixXisin)(, 2, 1i（5-125-12）（5-135-13）lii, 2, 1i5.1 弦弦 的的 振振 动动 第5章 工程振动测试和实验与各个特征值相对应，可确定系统的各阶与各个特征值相对应，可确定系统的各阶自然频率自然频率 Tlicii, 2, 1i（5-14 5-14 ）弦对应于各阶自然频率的弦对应于各阶自然频率的主振动主振动为为lxitBtAtYxXtxyiiiiiiisin)

10、cossin()()(),(（5-15 5-15 ）而弦的任意一个自由振动都可以表示为这些主振动的叠加，即有而弦的任意一个自由振动都可以表示为这些主振动的叠加，即有 iiiiiiilxitBtAtxytxysin)cossin(),(),(（5-16 5-16 ） 其中各个其中各个Ai 与与Bi由运动的初始条件确定。由运动的初始条件确定。5.1 弦弦 的的 振振 动动 第5章 工程振动测试和实验 设在初始时刻设在初始时刻 有有0t)()0,()()0,(xgxtyxfxy于是有于是有 iiiiixglxiAxtyxflxiBxy)(sin)0,()(sin)0,(（5-17 5-17 ）5.1

11、 弦弦 的的 振振 动动 第5章 工程振动测试和实验liilidxlxixglAdxlxixflB00sin)(21sin)(2（5-18 5-18 ）可见，张紧弦的自由振动，除了基频（最低频率）振可见，张紧弦的自由振动，除了基频（最低频率）振动外，还包含频率为基频整数倍的振动。这种动外，还包含频率为基频整数倍的振动。这种倍频振倍频振动动亦称为亦称为谐波振动谐波振动。 利用利用三角函数的正交性三角函数的正交性，可得，可得 5.1 弦弦 的的 振振 动动 第5章 工程振动测试和实验 例例5-1 设张紧弦在初始时刻被拨到如图设张紧弦在初始时刻被拨到如图5-25-2所示的位置，所示的位置，然后无初速

12、度地释放。求弦的自由振动然后无初速度地释放。求弦的自由振动。 解：按题设，有解：按题设，有 lxlxllhlxxlhxy6,)(5660,6)0,(图图5-2 5-2 例例5-15-1示意图示意图 0)0,(xty5.1 弦弦 的的 振振 动动 第5章 工程振动测试和实验tTllxtTllxtTllxtTllxhtxy4cos4sin16866. 03cos3sin912cos2sin4866. 0cossin21572),(2 因而弦的自由振动可表示为（只写出前因而弦的自由振动可表示为（只写出前4项）：项）： , 2, 1,6sin)(572sin)(512sin12266022iiihdx

13、lxixllhdxlxixlhBllli故有故有 , 2, 1,0iAi5.1 弦弦 的的 振振 动动 第5章 工程振动测试和实验第第5 5章章 工程振动测试和实验工程振动测试和实验5.2 5.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 第5章 工程振动测试和实验第5章 工程振动测试和实验 5.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去杆纵向伸缩而引起的横截面变形。杆纵向伸缩而引起的横截面变形。 取杆的纵向作为取杆的纵向作为 x 轴，各个截面的纵向位移表示为轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)。 如图如图5-3。杆的

14、微元。杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图在自由振动中的受力图也在图5-3中给出。中给出。图图5-3 5-3 等截面细直杆的纵向振动示意图等截面细直杆的纵向振动示意图 第5章 工程振动测试和实验 设杆单位体积的质量为设杆单位体积的质量为 ，杆长为，杆长为 l，截面积为，截面积为A ，材料的弹，材料的弹性模量为性模量为E 。再设任一。再设任一 x 截面处，纵向应变为截面处，纵向应变为(x) ，纵向张力表示，纵向张力表示为为P(x) ；则由材料力学知；则由材料力学知xuAEAExPxux)()(而在而在x=dx 截面处的张力则为截面处的张力则为)(22dxxuxuAEdxxPP列出杆微元列出杆微

15、元dx的运动方程，得的运动方程，得 dxxuAEtuAdx2222 5.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 第5章 工程振动测试和实验整理得整理得 222221tucxu其中其中 Ec 2)()(),(tUxXtxu 得到类似于（得到类似于（5-5）与（）与（5-6）的常微分方程组，由此）的常微分方程组，由此解得解得U(t) 与与X(x) ： xcDxcCxXtBtAtUcossin)(cossin)(仍然采用分离变量法，将仍然采用分离变量法，将 u= (x,t)表示为表示为 5.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 第5章 工程振动测试和实验这一情形与上节所述弦的振动相似。边界条件为这一情形与上节所述弦的

16、振动相似。边界条件为0)()0(lXX可得到可得到EliilxixXisin)( 两端固定的杆两端固定的杆 5.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 第5章 工程振动测试和实验 两端自由的杆两端自由的杆这时，杆两端的应力必须为零，故边界条件为这时，杆两端的应力必须为零，故边界条件为0)()0(ldxdXdxdX由此得由此得, 2 , 1 , 0,iElii, 2 , 1 , 0,cos)(ilxixXi 5.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 第5章 工程振动测试和实验 一端固定一端自由的杆一端固定一端自由的杆 这时，边界条件为这时，边界条件为 0)(0)0(ldxdXX由此得由此得 , 2 , 1 , 0

17、,212iElii, 2 , 1 , 0,)212sin()(ilxixXi 5.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 第5章 工程振动测试和实验 一端固定一端弹性支承的杆（图一端固定一端弹性支承的杆（图5-4）图图5-4 5-4 一端固定一端弹性支承的杆示意图一端固定一端弹性支承的杆示意图 设弹性支承刚度为设弹性支承刚度为k 。这时，边界条件为。这时，边界条件为 0)0(X)()(lkXldxdXAE 5.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 第5章 工程振动测试和实验 对应于给定的对应于给定的a值，不难找到各个固有频率值，不难找到各个固有频率i的的数字解。而与各个数字解。而与各个i相应的振型函数为相应的振

18、型函数为 由此得由此得 aklAEclcl/)/tan(xcxXiisin)(0DlcklccAEsincos从后面一个方程可得从后面一个方程可得 5.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 第5章 工程振动测试和实验第第5 5章章 工程振动测试和实验工程振动测试和实验5.3 5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动 第5章 工程振动测试和实验第5章 工程振动测试和实验 取圆轴的轴心线作为取圆轴的轴心线作为x 轴，图轴，图5-5轴任一轴任一 x截面处的转角表示为截面处的转角表示为(x,t) 。设轴长为。设轴长为l ，单位体积的质量为，单位体积的质量为，圆截面对其中心的，圆截面对其中心的极惯量矩为极惯量矩为Ip

19、，材料的剪切弹性模量为，材料的剪切弹性模量为 G 。轴的扭转应变。轴的扭转应变为为 ，作用于微元，作用于微元dx 两截面上的扭矩分别为两截面上的扭矩分别为 ，及及 。5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。 xxGIp)(22dxxxGIp图图5-5 5-5 轴扭转振动示意图轴扭转振动示意图第5章 工程振动测试和实验其中其中 。这与前面得到的波动方程形式完全。这与前面得到的波动方程形式完全一样，故解的形式也一样。一样，故解的形式也一样。222221tcx/2Gc dxxGItdxIpp2222整理得整理

20、得列出列出运动微分方程运动微分方程，可得，可得5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动第5章 工程振动测试和实验 例例5-2 设轴的一端固定，另一端附有圆盘，如图设轴的一端固定，另一端附有圆盘，如图5-65-6。圆盘。圆盘的转动惯量为的转动惯量为I 。试考察这一系统的扭振固有频率与振型函数。试考察这一系统的扭振固有频率与振型函数。 图图5-6 5-6 例例5-25-2示意图示意图解：设轴的解：设轴的扭转振动扭转振动可表示为可表示为)()(),(txXtx且有且有 tBtAtcossin)(xcDxcCxXcossin)(5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动第5章 工程振动测试和实验轴在轴在l端截面处的端截

21、面处的扭矩扭矩应为应为 轴在固定端的轴在固定端的边界条件边界条件为为0)0(X（a a） ),( tlxGIp而这一扭矩就等于圆盘的而这一扭矩就等于圆盘的惯性力矩惯性力矩),(22tlxI考虑到考虑到 )()(),(tldxdXtlx)()()(),(22222tlXdtdlXtlx（b b）5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动第5章 工程振动测试和实验这就是轴在这就是轴在 l 端的端的边界条件边界条件。故有故有)()(2lIXldxdXGIp0D由式（由式（b b）可得）可得 tan（c c）其中其中IlIclp, 式（式（c c）即轴系的）即轴系的特征方程特征方程。的物理意义为轴的转动惯量与的

22、物理意义为轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比。圆盘转动惯量之比。5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动由式（由式（a a）可得）可得 第5章 工程振动测试和实验 如近似地取如近似地取 ，则（，则（c c）式化简为）式化简为 下表给出对应于各个不同的下表给出对应于各个不同的 值时，基本特征值时，基本特征特征值特征值1 的值。的值。112/0.010.010.100.100.300.300.500.500.700.700.900.901.001.001.501.500.100.100.320.320.520.520.650.650.750.750.820.820.860.860.980.982.002.00

23、3.003.004.004.005.005.0010.010.020.020.01001001.081.081.201.201.271.271.321.321.421.421.521.521.571.57tgIlGIIlIcpp22（d d）上式也就是略去轴的质量后所得单自由度系统的上式也就是略去轴的质量后所得单自由度系统的固有频率公式固有频率公式。 5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动第5章 工程振动测试和实验33tg这时有这时有 31IlGIp（e e） 上式也就是将轴的转动惯量的三分之一加到圆盘上后所得单自上式也就是将轴的转动惯量的三分之一加到圆盘上后所得单自由度扭振系统的固有频率公式。只要

24、轴的转动惯量不大于圆盘的转由度扭振系统的固有频率公式。只要轴的转动惯量不大于圆盘的转动惯量，那么计算基频的近似式（动惯量，那么计算基频的近似式（e e）在实用上已足够准确了。）在实用上已足够准确了。 综上所述，弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的综上所述，弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动方程。它们的运动具有共同的规律，如表波动方程。它们的运动具有共同的规律，如表5-15-1。进一步的近似可取进一步的近似可取 5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动第5章 工程振动测试和实验 弦的横振弦的横振杆的纵振杆的纵振轴的扭振轴的扭振物物理理参参数数 弦的张力弦的张力 弦的线质量弦的线质量

25、弹性模量弹性模量 截面积截面积 密度密度剪切弹性模量剪切弹性模量截面极惯性矩截面极惯性矩 密度密度 截面的截面的位移位移横向位移横向位移纵向位移纵向位移转转 角角单位长度单位长度的质量或的质量或转动惯量转动惯量 截面处力截面处力（或扭矩）（或扭矩） 表表5-15-1 弦的横振、杆的纵振与轴的扭振对比表弦的横振、杆的纵振与轴的扭振对比表ApITEGpIxyxxyTxyEAxyGIpA5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动第5章 工程振动测试和实验c/T/E/G222221tycxy)()(tYxXyyiiicxDcxCxXtBtAtYiiiiiiiiiicossin)(,cossin)(0)()0(l

26、XX0)( )0( lXX0)( )0(lXXlcii/3,2,1ilcii/lcii212lxiXisinlxiXicoslxiXi212sin3,2,1i3,2,1i 弦的横振弦的横振杆的纵振杆的纵振轴的扭振轴的扭振 波速波速 运动微运动微分方程分方程 通解通解 边界条件边界条件两端固定两端固定两端自由两端自由一端固定一端固定一端自由一端自由 固有频率固有频率 振型函数振型函数 5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动第5章 工程振动测试和实验第第5 5章章 工程振动测试和实验工程振动测试和实验5.4 5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动 第5章 工程振动测试和实验第5章 工程振动测试和实验 假设梁具

27、有对称平面，且在弯曲振动中梁的轴线（以下称假设梁具有对称平面，且在弯曲振动中梁的轴线（以下称为挠曲线）始终保持在这一对称平面内。取梁未变形时的轴线为挠曲线）始终保持在这一对称平面内。取梁未变形时的轴线方向为方向为x轴（向右为正），取对称面内与轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为轴垂直的方向为 y轴轴（向上为正）。（向上为正）。5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动图图5-7 5-7 梁弯曲振动示意图梁弯曲振动示意图梁挠曲线的微分方程梁挠曲线的微分方程第5章 工程振动测试和实验 方程（方程（5-205-20）就是等截面梁在集度为）就是等截面梁在集度为q的分布力作用下的的分布力作用下的挠曲线微分

28、方程挠曲线微分方程。 ( , )yy x t 除了理想弹性体与微幅振动的假设外，还假设梁的长度与除了理想弹性体与微幅振动的假设外，还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的。梁挠曲线的微分方程可表示为截面高度之比是相当大的。梁挠曲线的微分方程可表示为MxyEI22（5-195-19）即即QxyEI33（5-205-20） 梁在弯曲振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为梁在弯曲振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为 5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第5章 工程振动测试和实验22tyq（5-215-21）将式（将式（5-215-21）代入方程（）代入方程（5-205-20），即得等截面梁自由），即得等

29、截面梁自由弯曲振弯曲振动的微分方程动的微分方程0122244tyaxy（5-225-22）其中其中 。方程（。方程（5-225-22）是）是4 4阶偏微分方程，也需根据阶偏微分方程，也需根据梁的支承情形附加适当的边界条件。所以，在数学上这类问题梁的支承情形附加适当的边界条件。所以，在数学上这类问题常称为偏微分方程的边值问题。常称为偏微分方程的边值问题。 /2EIa 应用达朗伯原理，在梁上加以分布的惯性力为应用达朗伯原理，在梁上加以分布的惯性力为 弯曲振动的微分方程弯曲振动的微分方程5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第5章 工程振动测试和实验该处挠度与转角都为零，即有该处挠度与转角都为零，即有0)

30、,(0),(txyty0或或 l（5-235-23） 铰支端铰支端 该处挠度与弯矩都为零，即该处挠度与弯矩都为零，即有有0),(0),(22txyEIty0或或l（5-245-24） 常见的边界条件常见的边界条件 固支端固支端 5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第5章 工程振动测试和实验 自由端自由端该处弯矩与剪力都为零，即有该处弯矩与剪力都为零，即有0),(0),(3322txyEItxyEI0l或或（5-255-25） 几何边界条件：对挠度或转角的限制条件。几何边界条件：对挠度或转角的限制条件。 力边界条件：对弯矩与剪力的限制条件。力边界条件：对弯矩与剪力的限制条件。边界条件的分类边界条件的

31、分类5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第5章 工程振动测试和实验 采用分离变量法。假设方程（采用分离变量法。假设方程（5-225-22）的解可表示为）的解可表示为 )()(),(tYxXtxy（5-265-26）将式（将式（5-265-26）代人方程（）代人方程（5-225-22），得），得 442221dxXdXadtYdY弯曲振动的微分方程的解弯曲振动的微分方程的解 要使上式对于任何要使上式对于任何x与与t值都能成立，必须使二者值都能成立，必须使二者都等于同一个常数，和前面关于波动方程的讨论一样，都等于同一个常数，和前面关于波动方程的讨论一样，只有当这一常数取负值时，才有对应于振动运动的解。

32、只有当这一常数取负值时，才有对应于振动运动的解。5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第5章 工程振动测试和实验故可以把这一常数记为故可以把这一常数记为2 。 xt于是有于是有0222YdtYd（5-275-27）aXdxXd2444,0（5-285-28）（5-275-27）的）的通解通解为为 tBtAtYcossin)(（5-295-29）方程（方程（5-285-28）是一个）是一个4 4阶常系数线性常微分方程阶常系数线性常微分方程，它的，它的特征方程特征方程为为0445.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第5章 工程振动测试和实验044其其特征值特征值为为 jj4321,故方程（故方程（5-285-

33、28）的）的通解通解为为 xjxjxxeDeDeDeDxX4321)( 引用双曲函数，可将上述通解改写成引用双曲函数，可将上述通解改写成xCxCxshCxchCxXsincos)(4321（5-305-30）其中其中 为为积分常数积分常数。 4321,CCCC5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第5章 工程振动测试和实验 铰支端铰支端0 ,022XdxXdX（5-245-24） 自由端自由端0 ,0 33XdxXdX（5-255-25）这时，这时，边界条件边界条件相应地转化为相应地转化为 固支端固支端0,0XdxdXX（5-235-23） 5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第5章 工程振动测试和实验

34、 在具体考察各种支承情形下梁弯曲振动固有频率在具体考察各种支承情形下梁弯曲振动固有频率与与振型函数振型函数之前，先将边界条件中要用到的之前，先将边界条件中要用到的X(x)的各的各阶导导数列出如下：阶导导数列出如下：cossin)( 4321xCxCxchCxshCxXsincos)( 43212xCxCxshCxchCxXcossin)( 43213xCxCxchCxshCxX （5-315-31）（5-325-32） （5-335-33）5.4 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第5章 工程振动测试和实验第第5 5章章 工程振动测试和实验工程振动测试和实验5.5 5.5 简支梁情形简支梁情形 第5章

35、工程振动测试和实验第5章 工程振动测试和实验 5.5 简简 支支 梁梁 情情 形形 简支梁的简支梁的边界条件边界条件为为0)0(X（5-345-34）0)(lX（5-355-35）0)0( X（5-365-36）0)( lX（5-375-37）有有 031CC031CC02C031CC于是，于是，特征方程特征方程为为0sinl（5-385-38）第5章 工程振动测试和实验由此得由此得特征值特征值为为 ,2,1,ilii（5-395-39）与此相应的与此相应的固有频率固有频率值为值为 ,2,1,)42ilEIii（5-405-40）而对应的而对应的振型函数振型函数为为,2,1,sinsin)(i

36、xlixxXii（5-415-41）与与 对应的对应的主振动主振动可表示为可表示为 ixlitBtAtYxXtxyiiiiiiisin)cossin()()(),(（5-425-42）5.5 简简 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验简支梁的自由振动则可表示为各个主振动的叠加，即简支梁的自由振动则可表示为各个主振动的叠加，即 iiiiiiixlitBtAtxytxysin)cossin(),(),(（5-435-43）设在设在 时，梁的初始挠度与初始速度为时，梁的初始挠度与初始速度为0t)()0 ,()()0 ,(xgxtyxfxy则由式（则由式（5-435-43），）， 得得 d

37、xlxixglpAdxlxixflBliilisin)(21sin)(200（5-445-44）5.5 简简 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验但在但在x =处有一微段处有一微段 于受撞击而获得初速度，即有于受撞击而获得初速度，即有 例例5-3 设简支梁在设简支梁在 t = 0 时未发生位移，即有时未发生位移，即有0)(xf22022)(xxxvxg或当，当，试求梁的自由弯曲振动。试求梁的自由弯曲振动。 解：则由式（解：则由式（5-445-44），可得），可得0iBlilvdxlxivlAiiisin2sin21225.5 简简 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验i

38、iitlxililvtxysinsinsin12),(2l 设撞击发生在梁的中点处，即设撞击发生在梁的中点处，即 处，则有处，则有tlxtlxtlxalvtlxtlxtlxlvtxy5312553311sin5sin251sin3sin91sin(sin2sin5sin1sin3sin1sinsin1(2),( 可见，在此情形下，只发生那些与中点截面对称的主振动，可见，在此情形下，只发生那些与中点截面对称的主振动，（即（即 ）而它们的振幅则按）而它们的振幅则按 递减。递减。 ,5,3,1i2/1 i于是由式（于是由式（5-435-43），有），有5.5 简简 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程

39、振动测试和实验第第5 5章章 工程振动测试和实验工程振动测试和实验5.6 5.6 固支梁情形固支梁情形 第5章 工程振动测试和实验第5章 工程振动测试和实验固支梁的边界条件为固支梁的边界条件为0)0( ,0)0(XX（5-455-45）0)( ,0)(lXlX（5-465-46）由条件（由条件（5-455-45），有），有 004231CCCC4231CCCC再由条件（再由条件（5-465-46），可得），可得0)cos()sin(0)sin()cos(2121CllchCllshCllshCllch（5-475-47）5.6 固固 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验0)cos(

40、)sin(0)sin()cos(2121CllchCllshCllshCllch若上式对若上式对 有非零解，它的系数行列式必须为零。即有非零解，它的系数行列式必须为零。即 21, CC（5-475-47）0cossinsincosllchllshllshllch化简后，可得特征方程为化简后，可得特征方程为1cosllch（5-485-48）可以用数字解法求得这一超越方程最低几个特征根为可以用数字解法求得这一超越方程最低几个特征根为l1l2l3l4l54.7304.7307.8537.85310.99610.99614.13714.13717.27917.2795.6 固固 支支 梁梁 情情 形

41、形第5章 工程振动测试和实验 其中，对应于其中，对应于 的各个特征根可足够准确地取为的各个特征根可足够准确地取为2i,4,3,2,21iili 梁的固有频率相应地为梁的固有频率相应地为,2,1,/2iEIii（5-495-49）由式（由式（5-47）可确定系数）可确定系数 的比值：的比值：21, CCllchllshllshllchCCiiiiiiiiiicossinsincos12（5-505-50）5.6 固固 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验)sin(cos)(xxshxxchxXiiiiii（5-515-51）其中前三阶振型函数示于图其中前三阶振型函数示于图5-85-8

42、。 图图5-8 5-8 固支梁的前三阶振型函数固支梁的前三阶振型函数 故与故与 相应的各个振型函数可取为相应的各个振型函数可取为i5.6 固固 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验第第5 5章章 工程振动测试和实验工程振动测试和实验5.7 5.7 悬臂梁情形悬臂梁情形 第5章 工程振动测试和实验第5章 工程振动测试和实验 取悬臂梁的固定端作为坐标系取悬臂梁的固定端作为坐标系xOy的原点。悬臂梁的的原点。悬臂梁的边界条件可表示为边界条件可表示为5.7 悬悬 臂臂 梁梁 情情 形形0)0( ,0)0(XX（5-525-52）0)( ,0)( lXlX（5-535-53）可得可得 0)c

43、os()sin(0)sin()cos(2121CllchCllshCllshCllch（5-545-54）这一方程关于这一方程关于 具有非零解，可得具有非零解，可得21, CC1cosllch（5-555-55） 它就是悬臂梁弯曲振动的它就是悬臂梁弯曲振动的特征方程特征方程。第5章 工程振动测试和实验它的最低几个它的最低几个特征根可借数字解求得为特征根可借数字解求得为l1l2l3l4l51.8751.8754.6944.6947.8557.85510.99610.99614.13714.137其中，对应于其中，对应于 的各个特征根可足够准确地取为的各个特征根可足够准确地取为3i,4,3,21i

44、ili悬臂梁的固有频率相应地为悬臂梁的固有频率相应地为,2,1,/2iEIii（5-565-56）其基本频率为其基本频率为/5156. 321EIl（5-575-57）由式（由式（5-54）可确定系数）可确定系数 的比值的比值21, CC5.7 悬悬 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验llchllshllshllchCCiiiiiiiiiicossinsincos12（5-585-58）故与故与 相应的各个振型函数可取为相应的各个振型函数可取为 i)sin(cos)(xxshxxchxXiiiiii（5-595-59）其中前三阶振型函数示于图其中前三阶振型函数示于图5-95-9。

45、 图图5-5-9 9 悬臂梁的前三阶振型函数悬臂梁的前三阶振型函数5.7 悬悬 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验物理参数物理参数 挠曲线挠度挠曲线挠度 弹性模量弹性模量 截面惯量矩截面惯量矩 梁单位程度质量梁单位程度质量 梁长梁长运动方程运动方程 通解通解 固有频率固有频率 表表5-25-2类比了六种不同边界条件下均匀梁弯曲的固有频率与振类比了六种不同边界条件下均匀梁弯曲的固有频率与振型函数。这些振型函数值已有表可查。型函数。这些振型函数值已有表可查。表表5-25-2 均匀梁的弯曲振动均匀梁的弯曲振动),(txyy EIl0122244tyaxy/2EIa iiiiiiiitp

46、BtpAtxXtxytxy)cossin)(,(),(),(2244321/,cos)(apxCxCxshCxchCxXiiiiiii2222222,lEIlaliiiii5.7 悬悬 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验0cos1ch0cos1ch2,21iii2,21iii3,21iii0sini0)( )( 0)0( )0( lXlXXX0)( )( 0)0( )0(lXlXXX0)( )(0)0( )0(lXlXXX边界条件边界条件固支梁固支梁自由梁自由梁悬臂梁悬臂梁 特征方程特征方程 特征根特征根4.730 4.730 7.853 7.853 10.99610.9964.

47、730 7.853 4.730 7.853 10.99610.996（零频零频率除外）率除外）1.875 1.875 4.694 4.694 7.8557.855振型函数振型函数 续表续表5-25-2 均匀梁的弯曲振动均匀梁的弯曲振动0cos1ch)sin(cosxxshvxxchiiiii)sin(cosxxshvxxchiiiii)sin(cosxxshxxchiiiii5.7 悬悬 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验边界条件边界条件简支梁简支梁铰支铰支-固支梁固支梁铰支铰支-自由梁自由梁 特征方程特征方程 特征根特征根 3.9273.9277.069 7.069 10.21

48、010.210 3.927 7.069 3.927 7.069 10.21010.210（零频率除外）（零频率除外）振型函数振型函数 注注 iiiiiiiiiishchshchvsincos,sincos0tgthxshxshiiiisinsin, 2 , 1,41iiixshxshiiiisinsin0)( )(0)0( )0(lXlXXX0tgth, 2 , 1,41iii0)( )( 0)0( )0(lXlXXXiilxisin续表续表5-25-2 均匀梁的弯曲振动均匀梁的弯曲振动0)( )(0)0( )0(lXlXXX0sin5.7 悬悬 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实

49、验 例例5-4 设在悬臂梁的自由端加上横向弹性支承，其弹簧设在悬臂梁的自由端加上横向弹性支承，其弹簧刚度系数为刚度系数为k，如图，如图5-105-10。试导出系统的频率方程。试导出系统的频率方程。图图5-10 5-10 例例5-45-4示意图示意图 解：取固支端作为坐标系解：取固支端作为坐标系 的原点。由自由端的边界条件，的原点。由自由端的边界条件，有有xOy2413CCCC 在弹性支承端，弯矩为零，而剪力就是弹簧力。故弹性支承端在弹性支承端，弯矩为零，而剪力就是弹簧力。故弹性支承端的的边界条件边界条件为为)()( 0)( lkXlEIXlX（a a） 5.7 悬悬 臂臂 梁梁 情情 形形第5

50、章 工程振动测试和实验由此可得由此可得0)sin()cos()cos()sin(0)sin()cos(231321CllshkllchEICllchkllshEICllshCllch（b b）方程（方程（b b）有非零解可得）有非零解可得 llshllchllchEIkcossincos13（c c）上式即为所求的上式即为所求的频率方程频率方程。 注意到，当注意到，当 时上式是悬臂梁的频率方程。时上式是悬臂梁的频率方程。 0k 当当 ，弹性支承端就相当于铰支端。即为一端固支一端，弹性支承端就相当于铰支端。即为一端固支一端铰支情形下的梁的弯曲振动频率方程。铰支情形下的梁的弯曲振动频率方程。 k5

51、.7 悬悬 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验 解：和上例一样，取固支端作为坐标系原点。假设附加质量可解：和上例一样，取固支端作为坐标系原点。假设附加质量可看作质点，那么在梁的看作质点，那么在梁的 x=l 截面处弯矩为零，而剪力就是质量截面处弯矩为零，而剪力就是质量m的的惯性力。这一惯性力可表示为惯性力。这一惯性力可表示为 例例5-5 设在悬臂梁的自由端附加集中质量设在悬臂梁的自由端附加集中质量m，如图，如图5-115-11。试求其频率方程。试求其频率方程。),(),(222tlymtltym5.7 悬悬 臂臂 梁梁 情情 形形图图5-11 5-11 例例5-55-5示意图示意图

52、第5章 工程振动测试和实验即有即有llshllchllchEImcossincos132（b b）lm令令 ，即得所求频率方程，即得所求频率方程llshllchllchlcossincos1（c c）)()( 0)( 2lXmlEIXlX（a a）梁附加质量端的边界条件为梁附加质量端的边界条件为5.7 悬悬 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振动测试和实验第第5 5章章 工程振动测试和实验工程振动测试和实验5.8 5.8 振型函数的正交性振型函数的正交性 第5章 工程振动测试和实验第5章 工程振动测试和实验 下面我们仅就梁的弯曲振动的振型函数论证其正交性。和下面我们仅就梁的弯曲振动的振型函数论

53、证其正交性。和前几节不同，本节所考察的梁截面可以是变化的。这时，梁单前几节不同，本节所考察的梁截面可以是变化的。这时，梁单位长度的质量位长度的质量(x) 以及截面刚度以及截面刚度EI(x)都是都是x的已知函数，而不必的已知函数，而不必为常数。故梁的自由弯曲振动微分方程为为常数。故梁的自由弯曲振动微分方程为 5.8 振型函数的正交性振型函数的正交性 从前几节的讨论中可以看到，一些简单情形下的振型函数从前几节的讨论中可以看到，一些简单情形下的振型函数是三角函数，它们的正交性是比较清楚的；而在另一些情形下是三角函数，它们的正交性是比较清楚的；而在另一些情形下得到的振型函数还包含有双曲函数，它们的正交

54、性以及更一般得到的振型函数还包含有双曲函数，它们的正交性以及更一般情形下振型函数的正交性尚待进一步说明。情形下振型函数的正交性尚待进一步说明。 ),()(),()(222222txtyxtxxyxEIx（5-605-60）第5章 工程振动测试和实验 采用分离变量法，将采用分离变量法，将 表示为表示为),(txy)()(),(tYxXtxy（5-615-61） 进行分离变量后，可得进行分离变量后，可得 0222YdtYd（5-625-62）)()()(22222xXxdxXdxEIdxd（5-635-63）我们将从方程（我们将从方程（5-635-63）出发进行讨论。这时边界条件为）出发进行讨论。

55、这时边界条件为 固支端：固支端： lXX或00)( 0)(（5-645-64）5.8 振型函数的正交性振型函数的正交性第5章 工程振动测试和实验 铰支端：铰支端：lXEIX或00)( )(0)(（5-655-65） 自由端自由端lxXxEIXEIx或00|)( )(0)( )(（5-665-66） 现假设方程（现假设方程（5-635-63）在一定的边界条件下，对应）在一定的边界条件下，对应于任意两个不同的特征值于任意两个不同的特征值 i或或j的振型函数分别为的振型函数分别为 Xi(x )与与 Xj(x ) ，于是有，于是有5.8 振型函数的正交性振型函数的正交性第5章 工程振动测试和实验对（对

56、（5-675-67）式乘以）式乘以Xj(x ) dx，然后在，然后在 x上对上对0 x l 进行进行积分，得积分，得lxxXxxXxEIiii0,)()()( )(2（5-675-67）lxxXxxXxEIjjj0,)()()( )(2（5-685-68）dxxXxXxdxxXxXxEIxXxEIxXxXxEIxXdxxXxEIxXijliijllijlijijl)()()()( )( )()|( )()( )|( )()()( )()(020000（5-695-69）对（对（5-685-68）式乘以）式乘以Xj(x ) dx ，然后在，然后在0 x l 上对上对 x进行积进行积分，得分，得5

57、.8 振型函数的正交性振型函数的正交性第5章 工程振动测试和实验dxxXxXxdxxXxXxEIxXxEIxXxXxEIxXdxxXxEIxXjiljjilljiljijil)()()()( )( )()|( )()( )|( )()()( )()(020000（5-705-70）再对式（再对式（5-695-69）与式（）与式（5-705-70）相减，可得）相减，可得ljijiijijjiljixXxEIxXxXxEIxXxXxEIxXxXxEIxXdxxXxXx0022)|( )()( )( )()()( )()( )( )()()()()()(（5-715-71）可以看到，如果以式（可以看

58、到，如果以式（5-645-64）一（）一（5-665-66）中任意两个式子组合成）中任意两个式子组合成梁的边界条件，那么式（梁的边界条件，那么式（5-715-71）右端都将等于零。所以，在这情）右端都将等于零。所以，在这情形下，就有形下，就有5.8 振型函数的正交性振型函数的正交性第5章 工程振动测试和实验0)()()()(022dxxXxXxjilji（5-725-72）但前面已经假设但前面已经假设 ，故有，故有jijidxxXxXxjil当,0)()()(0 正是在这一意义上，我们称振型函数正是在这一意义上，我们称振型函数 与与 关关于质量密度于质量密度 正交。数学上亦称以正交。数学上亦称

59、以 为权的加权正为权的加权正交，以区别于交，以区别于 常数时，常数时， 与与 所具有的通常所具有的通常意义下的正交性意义下的正交性)(xXi)(xXj)(x)(x)(x)(xXi)(xXjjidxxXxXjil当,0)()(0考虑到式（考虑到式（5-725-72），从式（），从式（5-695-69）或式（）或式（5-705-70）都可以看）都可以看到，在上述边界条件下，有到，在上述边界条件下，有 jidxxXxXxEIjil当,0)( )( )(0（5-735-73）5.8 振型函数的正交性振型函数的正交性第5章 工程振动测试和实验 Mi称为第称为第 i阶振型的广义质量，阶振型的广义质量，Ki

60、称为第称为第 i 阶振型的广义刚度。由阶振型的广义刚度。由式式（5-695-69）或式（）或式（5-705-70）不难看到，有不难看到，有 当梁当梁的的l端为弹性支承时，边界条件为端为弹性支承时，边界条件为当当i = j 时，式（时，式（5-715-71）自然满足。这时，可记下列积分为自然满足。这时，可记下列积分为 由此可见，梁弯曲振动振型函数这种关于刚度由此可见，梁弯曲振动振型函数这种关于刚度EI(x) 的正交性，的正交性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。 iliilKdxxXxEIMdxxXx2020)( )()()(（5-745-74）