湘教版九年级数学下册练习小专题八　圆中常见辅助线的作法

1、小专题(八)圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连要想证明是切线，半径垂线仔细辨是直径，成半圆，想成直角径连弦弧有中点圆心连，垂径定理要记全圆周角边两条弦，直径和弦端点连还要作个内切圆，内角平分线梦圆三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算一、连半径构造等腰三角形1如图，在O中，AB为O的弦，C，D是直线AB上的两点，且ACBD.求证：OCD是等腰三角形证明：连接OA，OB.OA，OB是O的半径，OAOB.OABOBA.OACOBD.在AOC和BOD中，AOCBOD(SAS)OCOD，即OCD是等腰三角形二、半径与弦长计算，弦心距

2、来中间站 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度解：过点O作OCAB，垂足为C，交O于点D，E，连接OA.OA0.5 m，AB0.8 m.OCAB，ACBC0.4 m.在RtAOC中，OA2AC2OC2，OC0.3 m，则CE0.30.50.8(m)答：排水管内水的深度为0.8m.三、见到直径构造直径所对的圆周角 构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半

3、圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质3如图，AB为O的直径，弦CD与AB相交于点E.ACD60，ADC50，求CEB的度数解：连接BD.AB为O的直径，ADB90.又ADC50，CDBADBADC40.CDBCAB40.CEBCABACD4060100.四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题4如图，AB是O的直径，弦CDAB于点H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于点F，切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KEGE.证明：连接OG.FE切O于点G，OGE90

4、.OGAAGE90.CDAB，OAKAKH90.又AKHGKE，OAKGKE90.OGOA，OGAOAG.KGEGKE.KEGE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”判定直线与圆相切 证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“dr”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径5如图，点A，B，C分别是O上的点，B60，AC3，CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，且APAC.求证：AP是O的切线证明：连接OA. B60，AOC2B120.又OAOC，ACPCAO30.AOP60.又AC

5、AP，PACP30.OAP90.OAAP.又OA为O的半径，AP是O的切线6如图，ABC为等腰三角形，ABAC，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D，求证：AC与O相切证明：连接OD，过点O作OEAC于点E，则OEC90.AB切O于点D，ODAB.ODB90.ODBOEC.又O是BC的中点，OBOC.ABAC，BC.OBDOCE(AAS)OEOD，即OE是O的半径AC与O相切六、内切圆，连接内角平分线把梦圆 利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换7如图，在ABC中，E是内心，AE的延长线交ABC的外接圆于点D.求证：DEDB.证明：连接BE.E为ABC的内心，ABECBE，BADDAC.DEBABEBAD，DBECBEDBC，而DBCDACBAD，DEBDBE.DEDB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积 通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化8如图，A是半径为2的O外一点，OA4，AB是O的切线，B为切点，弦BCOA，连接AC，求阴影部分的面积解：连接OB，OC.BCOA，OBC和ABC同底等