一元二次方程的概念

1、 某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长周长为为900900米的一块长方形绿地，并且长比宽多米的一块长方形绿地，并且长比宽多1010米，那么绿米，那么绿地的长和宽各为多少？地的长和宽各为多少？问题问题1 1：解：设长方形绿地的宽为解：设长方形绿地的宽为x米，得米，得900102 xx整理可得： 900204x （1）变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面面积积为为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那米，那么绿地的长和宽各为多少？么绿地

2、的长和宽各为多少？解：设长方形绿地的宽为解：设长方形绿地的宽为x米，得米，得90010 xx整理可得： 900102xx （2）思考思考1：方程（：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？）与一元一次方程的区别在哪里？思考思考2：方程（：方程（1）和方程（）和方程（2）有什么共同点呢？）有什么共同点呢？ 思考思考3：你能类比一元一次方程给方程（：你能类比一元一次方程给方程（2）起个）起个名称吗？名称吗？ 思考思考4：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是一元二次方程吗？一元二次方程吗？ 只含有一个未知数只含有一个未知数，并且未知数的，并且未知数的最高次数最

3、高次数是是2的的整式方程整式方程，叫做一元二次方程。，叫做一元二次方程。 900204x900102xx一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程一般式一般式相同点相同点不同点不同点 ax=b (a0）ax2+bx+c=0 (a0）都是整式方程，只含有一个未知数都是整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是未知数最高次数是1未知数最高次数是未知数最高次数是2整式整式方程方程一元二次方程的概念一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式像这样的等号两边都是整式, , 只含有只含有一个未知数一个未知数( (一元一元) )，并且未知数的最，并且未知数的最高次数是高次数是2(2(二次二次) )的

4、方程叫做的方程叫做一元二次一元二次方程。方程。 都是都是整式整式方程方程; ; 只含只含一一个未知数个未知数; ;未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.2.即：一元二次方程即：一元二次方程的特点的特点:（默（默1）20axbxc 20axbxc 为什么要限制为什么要限制 a x 2 + b x + c = 0(a 0)一次项系数一次项系数一元二次方程的一元二次方程的一般一般形式形式 二次二次项项一次一次项项“= =”的右边必的右边必须整理成须整理成0.0.（默（默2）ax2+bx=0 (a0,b0) 一元二次方一元二次方程的一般形式程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a0)完全的一元二次方

5、程完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0, b0, c0) 不完全的不完全的一元二次方程一元二次方程ax2+c=0 (a0,c0)ax2=0 (a0)例例1 1：212(4)0 xx (1)x2+x =36(2) x3+ x2=36(3)x+3y=36(5) x+1=0 63)6(2x22)32(14)7(xx062)(8(2xx 判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程化为化为一般式一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个三个条件条件进行判别。进行判别。 （默（默3）05212 xx)(0

6、13422 yx)(032cbxax)(0214 )()(xx0152aa)(1262 )(m)(1)(4)(6可能为可能为0是分式是分式2(7)5xx2(8)2321x xx是二次是二次根式根式61.x化简为：例题讲解 例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：的二次项、一次项和常数项及它们的系数： (1) 例题讲解)2(5) 1(3xxx105332xxx0105332xxx02x(2)解：解：010832 xx10常数项为88 ，其系数为一次项：x332，其系数为二次项：x12、系数为二次项： x00、系数为一

7、次项：0常数项：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是数项都是包括符号包括符号的的 ax2 + bx + c = 0注意注意:要确定一元二次方程的系数和常数项要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必必须先将方程化为一般形式须先将方程化为一般形式二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数 常数项常数项(a0) 在写一元二次方程的一般形式时在写一元二次方程的一般形式时, ,通常按未通常按未知数的知数的次数从高到低排列次数从高到低排列, ,即即先写先写二次项二次项, ,再写再写一次项一次项, ,最后是最后是常数项。常数项。例例3.把下列方程化为一元二

8、次方程的形式，并写出它的二次把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：项系数、一次项系数和常数项：方程方程一般形式一般形式二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数项常数项3x2=5x-1(x+2)(x -1)=64-7x2=03x25x10 x2 x8035 111 835 11187x2 4070 4一元二次方程一元二次方程二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数项常数项 42x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x-1=03-1-1抢答：抢答：4x2-5=040-5m-31-m-m(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m3)3-8-

9、10 方程方程(2a4)x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为在什么条件下此方程为一元二次一元二次方程？方程？在什么条件下此方程为在什么条件下此方程为一元一次一元一次方程？方程？ 解：解：由题意得，由题意得，2a2a4040，解之得，解之得a2a2当当a2时是一元二次方程；时是一元二次方程； 2a2a4=0 a=24=0 a=2 2b0 2b0 b0由题意得，由题意得，解之得解之得当当a2且且b0时是一元一次方程时是一元一次方程.例例4：（默（默4）例例 2 2：当m取什么值时，关于x的方程010222mxxmm 为一元二次方程。 解：根据题意得：222m 42m 2m 又02 m 2m

10、 2m 当2m时，该方程是一元二次方程。 02222mm1.关于关于x的方程的方程(k3)x2 2x10,当当k时，是一元二次方程时，是一元二次方程2.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程当当k 时，是一元一次方程时，是一元一次方程311练习巩固练习巩固 4.当m为何值时,方程 42(1)2750mmxmx是关于x的一元二次方程.+104-2=2mmm=13.3.下列方程中下列方程中, ,无论无论a a为何值为何值, ,总是关于总是关于x x的一元二次方程的是的一元二次方程的是( )( ) A.(2x-1)(x A.(

11、2x-1)(x2 2+3)=2x+3)=2x2 2-a B.ax-a B.ax2 2+2x+4=0+2x+4=0 C.ax C.ax2 2+x=x+x=x2 2-1 D.(a-1 D.(a2 2+1)x+1)x2 2=0=0D已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程(m1)x23x-5m40有一根为有一根为2,求求m.分析分析:一根为一根为2，即，即x2,只需把只需把x2代入原方程代入原方程.一元二次方程解的概念一元二次方程解的概念v方程解的定义是怎样的呢方程解的定义是怎样的呢? 能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解解. .一元二次方程的

12、一元二次方程的解解也叫做一元二次方程也叫做一元二次方程根根. .（默（默6）0456) 1(4mm6m已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+ax+a=0+ax+a=0的一个根的一个根是是3 3，求，求a a的值。的值。解：由题意得解：由题意得把把x=3x=3代入方程代入方程x x2 2+ax+a=0+ax+a=0得，得，3 32 2+3+3a+a=0a+a=09+49+4a=0a=094a 4 4a=a=-9-9练一练练一练例例 4 4：关于x的一元二次方程01122mxxm 的一个根为 0，求m的值。 解：把0 x代入原方程，得： 012m 12m 1m 又01m

13、1m 1m 当1m时，该方程的一个根为 0。 例例 3 3：判断2，34，0 是不是一元二次方程 xx2832的根。 解：把2x分别代入方程xx2832的左边和右边，得 左边的值为48128232； 右边的值为422。 左边的值与右边的值相等 2x是这个一元二次方程的根。 6问题 2：在下列方程中，哪些方程有一个根为 0？ 哪些方程有一个根为 1？哪些方程有一个根为-1？ （1）022 xx； （2）0452 xx； （3）05232 xx； （4）0672 xx； （5）0452 xx； （6）05322 xx。 ? 的值为则的一根是的一元二次方程已知关于aaxxax0, 01)1()122

14、A.1 B.-1 C.1A.1 B.-1 C.1或或-1 D.0-1 D.0B B看谁眼力好！)0(0)7(0)6()2)(1(3)5(023)4(1) 3(1)2(1) 1 (222222的常数为不等于mmxcbxaxxxxyxxxxxxx先看是不是先看是不是整式方程，整式方程，然后整理看然后整理看是否符合另是否符合另外两个条件外两个条件1.本节学习的数学知识是：本节学习的数学知识是：2、学习的数学思想方法是、学习的数学思想方法是 3、如何理解一元二次方程的一般形式、如何理解一元二次方程的一般形式 20ax bx c （1）（2）（1）（2）一元二次方程的概念一元二次方程的概念一元二次方程的

15、一般形式一元二次方程的一般形式 转化、建模思想。转化、建模思想。(a0)(a0)是成为一元二次方程的必要条件是成为一元二次方程的必要条件找一元二次方程的二次项、一次项找一元二次方程的二次项、一次项系数及常数项要先化为一般式系数及常数项要先化为一般式知识回顾知识回顾一、一元二次方程的概念一、一元二次方程的概念一般形式：一般形式：ax2+bx+c=0 (a0)对应练习对应练习1：1. 将一元二次方程将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般化为一般形式形式 .其中二次项系数其中二次项系数 ，常数项，常数项 . 2. 当当m 时，方程时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二是一

16、元二次方程次方程. 当当m 时，方程时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是是一元一次方程一元一次方程.x2+3x-3=01-3221.下列方程中，关于下列方程中，关于x的一元二次方程是的一元二次方程是 （ ）12132xx02112xx0 0c cbxbxaxax2 21222xxxA. B. C. D. A （1）三个特征：只含有一个未知数；）三个特征：只含有一个未知数； 方程的两边都是整式；方程的两边都是整式； 未知数的最高次数为未知数的最高次数为2次次.（2）形如）形如ax2 + bx + c=0（a0）叫做一元二次方程）叫做一元二次方程.2.关于关于x的方程（的方程（a-1）

17、x2 - 2x + 3=0是一元二次方程，则是一元二次方程，则 （ ）A. a1 B. a1 C.a=1 D.a1D3.方程（方程（m1)x2mx1=0为关于为关于x的的一元二次方程一元二次方程,则则m的值为的值为( ) A . 任何实数任何实数 B. m0 C. m1 D. m0 且且m1C4.4.下列方程中下列方程中, ,无论无论a a为何值为何值, ,总是关于总是关于x x的一元二次方程的是的一元二次方程的是( )( ) A.(2x-1)(x A.(2x-1)(x2 2+3)=2x+3)=2x2 2-a -a B.ax B.ax2 2+2x+4=0+2x+4=0 C.ax C.ax2 2

18、+x=x+x=x2 2-1 -1 D.(a D.(a2 2+1)x+1)x2 2=0=0D5、已知、已知x=2是一元二次方程是一元二次方程 的一个解，则的一个解，则m=_ 。 baba22221, 0 xbaa022mxx6、已知、已知 是方程是方程 的一个解，则的一个解，则 的的 值是值是_。0102bxax-357、方程方程mx2+5x+m=0一定是（一定是（ ）。）。(A)一元二次方程；一元二次方程； (B)一元一次方程一元一次方程;(C) 整式方程整式方程; (D)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程C 已知方程已知方程 (m 2) (m 2)x 4 0（1）m为何值时它是一元二次方程？为何值时它是一元二次方程？（2）m为何值时它是一元一次方程？为何值时它是一元一次方程？分析：（分析：（1）由一元二次方程的一般形式，）由一元二次方程的一般形式，m2 2 2，故故m 2 0，故，故m2；（2）需分三种情况讨论：）需分三种情况讨论：m 2 0，此时，此时m 2；m2 2 1，此时，此时m ；显然；显然x 0，故若，故若m2 2 0，则原方程也是一元一次方程，则原方程也是一元一次方程322mx22mx 解：（解：（1）由）由m2 2 2，m 2 0得得m2；（2）分三种情况讨论：）分三种情况讨论：一元二次方程中一元二次方程中未知数的最高次未知数的最高次数是数是2，