山东德州2015届高三下学期4月二模考试数学理试题版含答案

1、数学（理科）试题第I卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合A=1,3,4,5,集合B=xwZ|x24x5<0,则AlB的子集为A.2B.4C.8D.162、如图，复平面上的点Zi,Z2,Z3,Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为乙，则复数zi（i是虚数单位）的共轲复数所对应的点为，A.ZiB.Z2-*77*X4XCZ3D.Z4|z,3、给出下列四个命题，命题p："xA3"是"xA5"的充分不必要条件;命题：q:函数y=log2（Jx2+1x）是奇函数,则下列命

2、题是真命题的是A.pAqB.pv-'qC.pvqD.p/vq4、若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个SI87934203位数，则这组数据的平均数和方差分别是A.915.5B.915C.925.5D.9255、已知关于x的不等式x-1-x+a至8的解集不是空集，则a的取值范围是A.a<-9B.a77C.9EaE7D.aE9或a至72x-y<06、已知变量x,y满足：彳x2y+3之0,则z=（扬2x4y的最大值为x-0A.应B.272C.2D.47、执行如图所示的程序框图，输出的结果是2带视图圆x2+y2=a&x轴围成的封闭图形

3、，则封闭图形的面积为10、已知函数n上sin(-x)fx=)loga(-x)-1x0一(aA0且a#1)的图象上关于y轴对称的点至少有x:05对，则实数a的取值范围是第II卷11、某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩XN(100,a2)(a>0,试卷满A.5B8、指数函数6C.7D.8,b、x2y二()与二次函数y=ax2bx(aR,bR)在同一坐标系中的图象可能的a9、(x2十三)6展开式的常数项是15,右图阴影部分是由曲线2xA(0,一B.咯1)5D-(0,C(j)、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。分150分)，统计结果显示数学

4、考试成绩在80分到120分之间的人数约为总y=x2和163数的则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有5r-nl主(正视图左(KP祝图12、一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为A.BD13、已知向量AB与AC的夹角为60,且AB46二1十46二14(2)求二面角B-PC-D的余弦值。若aP=九AB+ac,且aP_lBC,则实数九的值为x2V214、已知双曲线F=1(a>0,b>0)的版焦距为c,过右焦点且斜率为1的直线与双曲ab2、2线的右支于两点，右抛物线y2=4cx的准线被双曲线解得的弦长是be2(e为双曲线的离心率)，则e的值为15、已知函数f(x)=aln(x

5、+1)x2在区间(1,2)内任取两个实数p,q,且p#q,不等式f(p+1)-f(q+1)<值成立，则实数a的取值范围为p-q三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、(本小题满分12分)已知m=(.3sin(2二37.-x),cosx),n=(sin(/-R,cos(兀+为),f(x)=mn。(1)求y=f(x)的单调递增区间和对称中心;1(2)在MBC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若有f(B)=，b=7,2-133sinA+sinC=,求MBC的面积。1417、(本小题满分12分)如图，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，NBCD

6、=120"，A=PC=2,AP=BP=J2(1)求证：AB_LPC;18、（本小题满分12分）T,其范围为0,10,领率1碓505522110!ldlE-ooooo交通指数是拥堵的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念，记为分别有五个级别：Tw0,2）畅通；Tw24）基本畅通；Tw14,6）轻度拥堵；Tw6,8）中度拥堵；Tw及10严重拥堵,在晚高峰时段（T>2）,从某市指挥中心选取了市区20个路段,依据其数据绘制的频率分布直方图如图所示。（1）在这20个路段中，随机选取了两个路段，求这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率；（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的

7、中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望。19、（本小题满分12分）数列匕0的前n项和为&,Sn=2n-n,等差数列、的各项为正实数，其前n项和为工，且丁3=15,又4+4©+b2,a3+d1成等比数列。（1）求数列Qn,bn的通项公式；（2）若a=%bn,当n至2时，求数列匕的前n项和人。20、（本小题满分13分）2X2如图，已知椭圆：一+y2=1,点AB是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l与线4yB段AB相较于点D,且与椭圆相较于E、F两点。(2)求四边形AEBF面积的最大值。(1)若ED=6DF,求k的值;21、(本小题满分14分)已知函数fx=lnx-ax2(1)

8、求f(x)的单调区间；(2)设g(x)=f(x)x+1(a±0),l是曲线y=g(x)的一条切线，证明y=g(x)上的任意一点都不能在直线l的上方；(3)当a=1时，方程2mx+f(x)=(12m)x2有唯一实数解，求正数m的值。数学(理科)试题参考答案2015.4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案涂在答题卡上.LC2.B3.C4.A5.D6.D7.B8.C9.A10.D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.12012.乎13.114.亭15.a<15三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说

9、明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)3已知m=(V3sin(2x),cosx)>n=(sin(-yn-x)tcos(7r+x)»/(x)=mn.(I)求y=/Gr)的单调递增区间和对称中心；(n)在448。中，角A、B、C所对应的边分别为。若有八B)=b=7,sinA+sinC=4/，求aABC的面积.143解：(I)/(x)=/nn=y3sin(27r-x)sin(-r)+cosxcos(n,+x)乙=V3sinxcosx-cos2x2分=ysin2x-cos2x-i-=sin(2x-4分因函数y=/Cr)递增，所以2时一彳<21一*42版+5/GZ40Z

10、得=/(#)的单调递增区间的是：DU卷，标十件/GZ5分00对称中心是(宗+各一6分(U)由/(B)=4得/(B)=sin(2B-)-i=v>-sin(2B-)=l.L0LL02B一专=会所以8=崇8分04O由正弦定理得：sinA+sinC=中sinB,b即审x§,所以a+c=13.9分14/Z由余弦定理/=。2-j-f22accosB得：=(a+c>2ac2accosB,即49=1693«c>/.ac=40.11分所以S梳=Jacsinb=Jx40X亨=10G.12分17 .(本小题满分12分)如图已知四棱维F-A8CD的底面为菱形，ZBCD=120&#

11、176;MB=PC=2MP=BP=9.数学(理科)试题答案第1页(共6页)(I)求证:AB，PC；(n)求二面角b-pc-d的余弦值.(I)证明：取A3的中点O,连接PO.CO.ACAPB为等腰三角形/.PO1.AB1分又V四边形ABCD是菱形，NBCD=120°AC3是等边三角形：.CO±AB2分又CODPO=O平面PCO,又PCU平面PCO：.AR±PC4分(ID解：可求得：PO=1,00=6002+0(?=。：.OP±OC5分以。为坐标原点,以OC所在直线为1轴,OB所在直线为？轴，OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示6分贝ijA(0,-

12、1,035(0/90),。(9,0,0),0(0,0,1),。(6,一2,0),就=(用，-1,0),定=(伍就=(0,2,0)冗nQun,9即<DCn=0设平面DCP的法向量=Q,»n)工。,令7=1,得/l=(1.0,JT)2y=0设平面PCB的法向旦，=(a,6,c)(PC-m=0IbC-m=0岛一°,令1,yj。-6=0得m=(l,后后COS</n,/!>=-j?r=-yV711分|m|n|7经观察二面角B-PC-D的大小为钝角，设为8cos=-y'/712分18 .(本小题满分22分)交通指数是拥堵的简称，是综合反映道路网场通或拥堵的概念

13、，记为T.其范围为0,10人分别有五个级别：760,2)畅通；丁2,4)基本畅通；丁64,6)轻度拥堵；下£6,8)中度拥堵；TG8,10严重拥堵.在晚高峰时段(丁)2),从某市指挥中心选取了市区20个路段.依据其数据绘制的频率分布直方图如图所示.(T)在这20个路段中，随机选取了两个路段，求这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率；(II)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望.解Ml)由立方图得，严重拥堵的路段个数是(0.10+0.05)X1X20=3个，1分数学(理科)试题答案第2页(共6页)记“在这20个路段中,随机选取了两个

14、路段，这两个路段至少有一个未出现严重拥堵”为事件A则。=急=斋，2分所以P(A)=1P=1一急=提故这两个路段未出现严重拥堵的概率为樵.3分(II)中度拥堵的路段个数是(0.25+0.20)X1X20=9个，4分X的可能取值为0,1,2,3.5分P(X=0)=刍二=*P(X=1)=P(X=2)=1L=33sq019095147P(X=3)=T=T90=95所以，中度拥堵的路段个数X的分布列为X0123P11763376339579510分EX=OX1|+1X|+2X|+3X余震12分19.(本小题满分12分)数列*.)的前项和为S.,8=2"一，等差数列2的各项为正实数，其前刀项和为

15、T.,且73=15,又4+6i,七十。2，。3十/一1成等比数列.(I)求数列求.,九的通项公式;(n)若。=06.，当n>2时求数列c.的前H项和A.解：(I)当=1时,。=21=1；1分当,2时，aeuS.S.t=2"一一2-7(-=|1,2分此式对”=1不成立， 、3分又由73=15可得匹+&+仇=15 62=54分设数列出“的公差为4，由,+-，七+&，田+优一1成等比数列可得：6-d.6,7+d成等比数列，所以(64)(7+，)=36=>4=2或4=一35分又因为等差数列儿的各项为正实数，所以d=-3不合题意，舍去 d=2,从而可得儿=1+储-2

16、)4=5+5-2)2=2+16分I3,(=1)4(H)(=/九=|(2/+1)2'-,-(2n+l),(n>2)数学(理科)试题答案第3页(共6页)当2时，A1t=3+521+722+-+(2n-l)22+(2n+l)21一5+7+(2m+D令Pn=521+7-22+-+(2n-l)2-2+(2n+l)，(1)则2P.=522+723+-+(2nl)2-,+(2n+l)2。(2),(1)-(2)可得：一P,=521+23+2-(2+D2",-PR=522'+2(2+D2-10+232.11-2(2n+l)-2W=(1-2)2，+2,11分12分:.P产-1)2-

17、24=3/-1)2-2(-1)(n+3)=(2n-l)-2"-n2-2z/4-420 .(本小题满分13分)如图，已知椭圆/=点A,8是它的两个顶点，过原点且斜率为万的直线/与线2分B段AB相交于点。,且与椭圆相交于E、F两点.(I)若劭=69，求4的值；(0)求四边形AEBF面积的最大值.解：(I)依题设得椭圆的顶点A(2,0),B(0,l),则直线AB方程分别为l+2)2=0设EF的方程为y="&>0)如图，设Q(Zo，£To),E(©,ZZi),F(12/N2)，其中了|不，联立直线/与椭圆的方程-了十y=1y=kx消去,得方程(1+

18、4公)=4,故X2XX，1+4公由包=6/知丁。一乃=6(12一10)，得=)=-yx2=二三1/7J1+4-2由D在A3上知1。+20。-2=0,得。=中彳所以1+2A7，1+4-'10化简得24/一254+6=0,23解得Q告或OO(U)根据点到直线的距离公式知，点A,B到EF的距离分别为,2khx=./ThFA：=-*/TTF数学(理科)试题答案第4页(共6页)又|EF|=4平坐，所以四边形AEBF的面积为4+4户S=J|EF|(阳+儿)=2。块io分vTT4F=2/1+4/1+_4乙T1十4万,1十1+4公=2/1+112反J"+十当且仅当4Q）,即当八卷时，取等号.

19、12分所以S的最大值为2&；13分21 .（本小题满分14分）已知函数/（x）=lnr-ar2.（1）求/（幻的单调区间；（fl）设8（）=/（幻一工+1（120）,/是曲线3=4（力的一条切线，证明：曲线:y=g（/）上的任意一点都不能在直线I的上方；（田）当。=1时，方程2ml>+/（）：=（1有唯一实数解，求正数小的值.解：（I）/（1）的定义域为（0,+8）,/'（公=上一2.1=二?”山，1£（0,+8）,1分当a<0时,/（1）>0恒成立，/（/为增函数，增区间是（0，+8）2分当a>0时，令/（x）=0得,央=一J（舍去）z£（0,J）时/（幻>0，/（幻为增函数（总,+8）时，rCr）VOJ（z）为减函数3分综上所述：当a<0时，增区间是（0,+8）当心>。时，增区间是（0认层），减区间是G层,+8）4分VLaVca（II）g（x）=lnx-ax2-x+l（a>0）,设M（XO,g（ko）是曲线g（M）上的一点，则:y=g（N）在点M处的切线方程为yg（ZQ）=g'（Ho）（Z-#o3即,=(2ax01)(x-x0)+g(x0>»5分Zo令A(x)