天津南开区2016届高三下学期第一次模拟考试数学理试题

1、2016届天津市南开区高三一模考试数学(理)试卷本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷1至2页，第n卷3至9页.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1 .答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2 .每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3 .本卷共8小题，每小题5分，共40分.、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) i是虚数单位，满足(1+2i)z=W+4i的复数z=().(A)12(B)-11+2i5(C)1+2i(D

2、)-4+2i(2)已知集合A=1,a,B=1,2,3,贝U“库B”是“a=3”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)以下茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩(单位：分)甲组乙组589x2106y974115已知甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为105.4,则x,y的值分别为().(A)5,7(B)6,8(D)8,8(C)6,9(4)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4,则输出s的值为().(A)4(B)6(C)7(D)11lx2y三6,(5)已知实数x,y满足约束条件2x-yE6,则xWy0的概率是()

3、.、x之0,y之0,1(A)14(C)34(B)(D)1335(6)已知双曲线2x2a2y2=1(a0,b2b0)与抛物线y2=4cx(其中c=Ja2+b2)交于A,B两点，若|AB|=4c,则双曲线的离心率为).(B)2(A)如(D),2+1(7)如图，已知AB为。的直径,C、F为。O上的两点，OCLAB,过点F作。O的切线FD交AB的延长线于点D,连结CF交AB于点E.若AB=6,ED=4,则EF=()(A)2(B)54.10(D)-5(8)在ABC中，D为边BC上一点，tan/BAD,tan/CAD=1BC=3,则AD=().35旧2(C)23(D)V10南开区20152016学年度第二

4、学期高三年级总复习质量检测(一)答题纸(理工类)题号一三总分(15)(16)(17)(18)(19)(20)得分第II卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题;得分评卷人二、填空题：本大题共6个小题,将答案填在题中横线上。2,本卷共12小题，共110分.每小题5分，共30分.请(9)设f(x)为定义在R上的奇函数，若当x0时，f(x)=3x+1,则f(log31)=2主视图俯视图左视图(10)一个棱长为V6的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为二1a(11)若a=%(sinx)dx,则(x-书)6的二项展开式中的常数项为(用数字作答)2二x(12)已

5、知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为:x=1t,2一2y=2十万t,(t为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：P=2cos日，则圆C上的点到直线l距离的最小值为.(13)在等腰梯形ABCD中，已知AB/DC,AC与BD交于点M,AB=2CD=4.若AC?BD=T,则cos/BMC=一，一.10g2(x),x0,x2x30)的最小正周期为二(i)求的值和函数f(x)的单调增区间；(n)求函数f(x)在区间I-,上的取值范围.,3得分评卷人(16)(本小题满分13分)某家电商场开展购物抽奖促销活动，顾客购物满500元即可获得一次抽奖机会，若每10张券中有一等奖券1张，可

6、获价值100元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值50元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张券中任抽2张，求：(I)该顾客中奖的概率；(n)该顾客获得的奖品总价值之(元)的概率分布列和期望E之得分评卷人(17)(本小题满分13分)已知在直三棱柱ABC工iBiCi中，ABXBC,且AAi=2AB=2BC=2,E,M分别是CCi,ABi的中点.(I)证明：EM/平面ABC;(n)求直线AiE与平面AEBi所成角的正弦值;(出)求二面角B-EM-Bi的余弦值.得分评卷人(18)(本小题满分13分)设Sn为数列an的前n项和，且Sn=n2,数列bn为等比数列.已知aibi+a2b2+a3b3+an

7、bn=(nT)73n+1+3.(I)求数列an,bn的通项公式；，、一一_3(n)设(an+1)710g3bn+2?Cn=1,求证：数列Cn的刖n项和Tnb0)的两焦点为Fi(-c,0),F2(c,0),椭圆的上顶点a2b2F1M?F2M=0.(i)求椭圆C的离心率e；(n)若以点N(0,2)为圆心，且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为v26.(i)求此时椭圆C的方程；(ii)椭圆C上是否存在两点A,B关于直线l：y=kx-1(kw0)对称，若存在，求出M满足k的取值范围；若不存在，请说明理由.得分评卷人(20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=xlnx永+1.(i)求曲线f(x)在点(1,

8、f(1)处的切线方程；(n)若函数g(x)=af(x)-1x2(aeR)在其定义域内有两个不同的极值点，求a的取值范围；2(出)在(n)的条件下，记两个极值点分别为xnx2,且xvx2.若不等式avmx1+(1m)M(m0)恒成立，求m的取值范围.南开区高三一模数学试卷(理工类)参考答案、选择题:题号(1)(2)(3)(4)(6)(7)(8)答案CBBCADDB二、填空题：(9) 6(10)5;(11)15;(12)氏1；(13)工；(14)5417三、解答题：(其他正确解法请比照给分)(15)解：(I)f(x)=-23ssinxcoscx+1-cos2x2分=-,3sin2x-cos2x+1

9、=2sin(2sx+7+14分函数f(x)的最小正周期为T=空=冗，2.0=1.5分，f(x)=Wsin(2x+()+1.由2kn+2x+2kn+,一二2得kn+xkn+,2二，函数f(x)的单倜增区间为kn+,kn+,kez.8分一、冗(n)xn,32-2-.f(x)在区间5,2-单调递增，在区间2-,同单调递减，10分5二23二二f()=-2sin+1=0,f(-)=-2sin+1=3,f(n)=2sin+1=0,因此f(x)的取值范围为0,3.13分(16)解：(I)P=1C_=1地=2,即该顾客中奖的概率为-.4分C1o4533(n)之的所有可能值为：0,50,100,150(元).5

10、分P(=0)=C2=15=1?P(=50)=怨=史=2,C*453C*455p(=100)=CM=a=Lp(=i50)=CM=a=,C舄455C24515所以的分布列为0501001501211P3551511分13分上的数学期望E()=0x1+50x-+100X1+150X=50.35515(17)解：在直三棱柱ABCiBiCi中，BBiXAB,BBiXBC,又.ABBC,.AB，平面BCCiBi.如图，以点B为原点，BC,BB,BA分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),C(1,0,0),Bi(0,2,0),A(0,0,1),Ci(1,2,0),Ai(0,2,

11、1).(1) E,M分别是CC，AB1的中点，E(1,1,0),M(0,1,2前=(T,0,1).2易知平面ABC的法向量为m=(0,2,0),EM,m=0,EM，1m.又EM二平面ABC,.EM/平面ABC.(n)AB=(0,2,-1),EB1=(11,0),EA=(T,11).设0=(x1,y1,Z1)为面AEB1的法向量，则n1AB=nEB=0,2y1Z1=0,即取y1=1,则X1=1,Z1=2,从而n1=(1,1,2),一x+y=0,设直线AE与平面AEB1所成角为包|EAn|2,2则sin1=|cos|=-1=,|EA|八|.6,33一、2即直线AE与平面AEB1所成角的正弦值为31

12、0分(出)BE=(1,1,0),而=(0,1,1).2设n2=(x2,y2,Z2)为面BEM的法向量，则n2BE=n2BM=0,x2y2=0,即1取Z2=2,则x2=1,y2=-1,从而n2=(1,T,2),y2产=0,cos=由图形可知所求二面角的平面角为钝角,213分.二面角B-EM-Bi的余弦值为-23(18)解：(I)当n2时，an=SS-i=n2(nT)2=2nT,n=1时，ai=Si=1,满足上式，1-an=2nT.3分-aibi+a2b2+a3b3+anbn=(nT)73n+1+3,aibi=3,aibi+a2b2=30,解得bi=3,b2=9.，bn的通项公式为bn=3n.6分

13、(n)(an+1)?og3bn+2?cn=2n(n+2)?cn=1,=1(12n(n2)4n.Tn=1(1-1)+1(1-1)+l(1-1)+1(13+1(41(1+14241n-11一n-12443-)+-(-n14-1)=3n28n1一4n2(n11+n13分(19)解：(I)FiM?F2M=(c,b)?(-c,b)=-c2+b2=0,1b=c,从而a=2,则y=W时，|PN|max=J2b2+8=V26,22，b=3,此时椭圆方程为人+上=1.7分189(ii)若0Vb2,贝Uy=b时，|PN|max=b+2=26,.b=2,矛盾.22综上得椭圆方程为2-=1.189设直线AB的方程为x

14、=-ky+m,2,八2/-十工口x+2y=18,联立万程组Jyx=-ky+m化简彳导:(k2+2)y22kmy+m2T8=0,由=4k2m2汨(k2+2)(m2T8)0,解得：9k2-m2+180.由韦达定理得：yA+yB=-2”,k22可求得AB的中点坐标为(-m-,J),k22k222-代入直线y=kx1得?m=?mT,求得m=,k22k22k22代入9k2m2+180得9k2一k2+2!+180,kJ14分解得ke(牝，-1)u(1,+丐.22(20)解：(i)f(1)=0,f(x)=lnx,，切线斜率f(1)=0,曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=0.3分(n)g(x)=

15、a(xlnx水+1)彳g(x)=alnx),设h(x)=alnx从而转化为函数h(x)在(0,+叫有两个不同零点,aa-x而h(x)=T=，xx若a0,在0vxva时，h(x)0,在xa时，h(x)v0,所以h(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+丐上单调递减，从而h(x)极大值=卜(2)=alna-a,又因为在x-0时，h(x)一6,在x一+0cM,h(x)一于是只须：h(x)极大值0,即alna-a0,所以ae.综上所述，ae.8分(出)由(n)可知xi,&分别是方程alnxi=0的两个根，即alnxi=xi,alnx2=x2,两式相减得a(lnx?Tnxi)=m水i(0Vxix2),.a=x_i.ln上xi.不等式avmxi+(i-m)x2与等式x2xii,xi.不等式x2-xivmxi+(i-m)x不等式匕1m+(i-m)t,x2lntlnxit-i，原不等式恒成立，u不等式0,lnt0,t-i则不等式-Vm+(i5)t在te(i,+8)上恒成立lntt-1u不等式0在te(l,+丐上恒成立.10分m(1-m)t令(x)=lnt-=m(1-m)t22-又(x)=