第3章 流体运动学基础课件

1、第三章 流体运动学 第第1 1节节 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 第第2 2节节 流体运动学的基本概念流体运动学的基本概念 第第3 3节节 流体运行的连续方程流体运行的连续方程 第第4 4节节 相邻点运动描述相邻点运动描述流体微团的运动分析流体微团的运动分析研究内容：研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等位移、速度、加速度和转速等随时间和空间坐标随时间和空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用不涉及力的具体作用问题问题。但从中得出的结论，将作为流体动力学流体动力学的研究奠定基础。3.1 3.1 研究流体运动的方法研究流体运动的方法1. 1. 运动要素：运动要素：表征流体运

2、动状态的物理量，如位移，速度，加速度 一、基本概念一、基本概念2. 2. 运动要素之间的规律运动要素之间的规律 每一运动要素都随空间与时间在变化；每一运动要素都随空间与时间在变化； 各要素之间存在着本质联系。各要素之间存在着本质联系。3. 3. 场的概念场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间空间坐标和时间为变量描述的，或者说流体运动空间的每一点、在某一个时刻，都对应着描述流体运动状态的参量有一个确定的值，即物理的场描述流体运动就是表达流动参数在空间不同位置上随时间连续变化的规律。流动参数：表征流体运动的主要物理量统称为流动参数：表征流体运动的主要物理量统称为流体的流动参数。包括：流动速度流体的

3、流动参数。包括：流动速度V V、压力、压力P P 、位移位移(x,y,z)(x,y,z)、密度、动量、动能等。、密度、动量、动能等。 描述流体运动是从着眼于研究流体质点的运动，还是着眼于研究流场空间点上流动参数的变化出发，可分为：拉格朗日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法。4. 4. 场的描述方法场的描述方法 拉格朗日法拉格朗日法，研究的是流体中具体的各个质点流动参数的变化规律，来获得整个流体的运动规律。 欧拉法，欧拉法，它以考察流场中流体的不同质点通过固它以考察流场中流体的不同质点通过固定空间点的运动情况，来了解整个流动空间内的流动定空间点的运动情况，来了解整个流动空间内的流动情况

4、。它是基于情况。它是基于“流场流场”的概念的的概念的，又称为又称为“观察点观察点法法” ” 。 描述流体运动的两种方法二、拉格朗日法（质点跟踪法）二、拉格朗日法（质点跟踪法）当初始时刻t0某个质点的初始位置（a,b,c）（各个质点的a,b,c的值各不相同），经过t后该质点到达新的位置(x,y,z)。x=x(a,b,c,t) )()()(tcbazztcbayytcbaxx，1、对于某个确定的流体质点，初始坐标（、对于某个确定的流体质点，初始坐标（a，b，c）为常）为常数，与时间无关，数，与时间无关，t为变量为变量轨迹轨迹2、t为常数，（为常数，（a，b，c）为变数）为变数某一瞬时刻不同流体质某

5、一瞬时刻不同流体质点的位置分布点的位置分布3、a，b，c为为Lagrange变数，不是变量，也不是空间坐标变数，不是变量，也不是空间坐标和时间和时间t的函数，它只是流体质点的标号的函数，它只是流体质点的标号 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程变过程 数学求解较为困难，很难建立起流体运动轨迹的数学求解较为困难，很难建立起流体运动轨迹的数学方程。一般问题研究中很少采用数学方程。一般问题研究中很少采用 ：),(tzyxuu 三、三、 EulerEuler法（欧拉法）法（欧拉法） 以数学场论为基础，着眼于流场中的某一固定的空间区域以数学场论为基础

6、，着眼于流场中的某一固定的空间区域内，任何时刻物理量在场上的分布规律。任意一个物理量内，任何时刻物理量在场上的分布规律。任意一个物理量N N的速的速度场可以描述为：度场可以描述为： 由于空间观察点（由于空间观察点（x,y,zx,y,z）是固定的，当某个质点）是固定的，当某个质点从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移位移是是时间时间t t的函数。故质点中的（的函数。故质点中的（x,y,z,tx,y,z,t）中的）中的x,y,zx,y,z不是不是独立的变量，是时间的函数：独立的变量，是时间的函数： 所以，速度场的描述式：所以，速度场的描述式：)()()

7、(tzztyytxx,t,t,t,t,t,t,t,t,ttzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx）（）（）（）（）（）（）（）（）（ 在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。欧拉法的优越性：欧拉法的优越性： 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。来研究。 采用欧拉法，加速度是一阶导数；而拉格朗日法，加采用欧拉法，加速度是一阶导数；而拉格朗日法，加速度是二阶导数。所得的运动微分方程

8、，分别是一阶速度是二阶导数。所得的运动微分方程，分别是一阶偏微分方程、和二阶偏微分方程。在数学上一阶偏微偏微分方程、和二阶偏微分方程。在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。分方程比二阶偏微分方程求解容易。 拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。些问题中方便。 拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法同时描述所有质点的瞬时参数同时描述所有质点的瞬时参数 分别描述有限质点的轨迹分别描述有限质点的轨迹表达式复杂表达式复杂 表达式简单表达式简单不能直接反映参数的空间分布不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布直接反映参数的空

9、间分布不适合描述流体元的运动变形特性不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法流体力学最常用的解析方法两种方法的比较两种方法的比较四、两种描述的关系四、两种描述的关系 3.2 3.2 基本概念基本概念流场的两个特例流场的两个特例 一、定常流动和非定常流动一、定常流动和非定常流动1. 1. 定常流动定常流动流动运动参量，不随时间流动运动参量，不随时间t t变化的流动变化的流动, ,只是空间坐标的函数只是空间坐标的函数),(),(),(zyxzyxppzyxvv特点：流场内的速度、压强

10、、密度等参量只是坐标的函数，而特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而 与时间无关，即具有时间不变性。也即：与时间无关，即具有时间不变性。也即：0.tTttptv2. 2. 非定常流动非定常流动流动参量，随时间变化的流动。流动参量，随时间变化的流动。特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且还与时间有关。标的函数，而且还与时间有关。0t（）即：即：),(),(),(tzyxtzyxpptzyxvv二、均匀流动与非均匀流动二、均匀流动与非均匀流动1. 1. 均匀流动均匀流动 流场中各流动参量与空间无关，也即流场中流场中各流

11、动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面上的相应点的流速不变。位沿流程的每一个断面上的相应点的流速不变。位不变不变特点：流场内的速度、压强、密度等参量不特点：流场内的速度、压强、密度等参量不是坐标的函数是坐标的函数0.PPPzyxzuyuxu即：即：),(),(),(tzyxtzyxpptzyxvv?2. 2. 非均匀流动：如果均匀场中任何一个物理量非均匀流动：如果均匀场中任何一个物理量的分布不具有空间不变性，则为非均匀流动的分布不具有空间不变性，则为非均匀流动补充补充: :一维流动、二维流动和三维流动一维流动、二维流动和三维流动流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动参量是几个坐标变

12、量的函数，即为几维流动。流动。一维流动一维流动二维流动二维流动三维流动三维流动1. 1. 定义定义实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以简化。根据具体情况加以简化。),(zyxvv )(xvv ),(yxvv 运动中的流体质点所具有的物理量运动中的流体质点所具有的物理量N N( (速度、速度、压强、密度、质量、温度、动量、动能等压强、密度、质量、温度、动量、动能等) )对时间对时间的变化率，称为物理量的变化率，称为物理量N N的质点导数。的质点导数。三三 质点导数质点导数 )()()(tcbazztcbayytcbaxx， ttcbaz

13、tcbawwttcbaytcbavvttcbaxtcbauu)()()()()()(， 222222)()()()()()()()()(ttcbazttcbawtcbaaattcbayttcbavtcbaaattcbaxttcbautcbaaayyyyxx，流体质点的流体质点的运动方程运动方程拉格朗日法表示的质点导数拉格朗日法表示的质点导数uutudtud)(adtdzudtdyudtdxuzyx,矢量形式：矢量形式：),(tzyxuu kzjyixnabla其中哈密顿算子欧拉法表示的质点导数欧拉法表示的质点导数tudtduaxxxdtdzzudtdyyudtdxxuxxxadtdzzudxd

14、yyudtdxxutudtduadtdzzudtdyyudtdxxutudtduadtdzzudtdyyudtdxxutudtduazzzzzzyyyyyyxxxxxx当地加速度当地加速度：迁移加速度迁移加速度第一部分：是由于某一空间点上流体质点的速度随时间的变第一部分：是由于某一空间点上流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度。定常场中此式为化而产生的，称为当地加速度。定常场中此式为0第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的，称为迁移加速度。均匀场中该项为化而产生的，称为迁移加速度。均匀场中该项为0. 如教材图如

15、教材图3-1，分析在，分析在h不变和改变情况下，不变和改变情况下，a段和段和b段段的流场及其加速度情况。的流场及其加速度情况。uutudtud)(a 烟火烟火 流星流星 迹线方程迹线方程 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。流体质点在某一时段的运动轨迹称为迹线。由运动流体质点在某一时段的运动轨迹称为迹线。由运动方程：方程：便可得到迹线的微分方程：便可得到迹线的微分方程：dtudzdtudydtudxzyxdtudzudyudxzyx 流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重

16、合。与欧拉法对应。上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法对应。2 2、流线（假想的曲线）、流线（假想的曲线）u21uu2133u6545u46u流线流线流线方程流线方程,xyzdxds dyds dzdsuuuuuu,yxzuuudxdydzdsudsudsuxyzdxdydzdsuuuu3. 3. 流线的性质流线的性质（1 1）定常流动时流线形状不变（速度不随时间）定常流动时流线形状不变（速度不随时间变化，则代表速度方向的流线形状也与时间无变化，则代表速度方向的流线形状也与时间无关），流线与迹线重合。关），流线与迹线重合。 非定常流动时流线形状发生变化。非定常流动时流线形状发生变化。（2

17、 2）流线是一条光滑的曲线，流线彼此不能相）流线是一条光滑的曲线，流线彼此不能相交，不可能突然转折，但可以相切。交，不可能突然转折，但可以相切。l 强调的是空间连续质点而不是某单个质点强调的是空间连续质点而不是某单个质点l 形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内l 表示的是质点的速度方向而不是空间位置连表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线线迹线迹线定义定义zyxuzuyuxddd(x,y,z(x,y,z为为t t的函数，的函数，t t为参数）为参数）质点的运动轨迹质点的运动轨迹某一瞬时，速度方向线某一瞬时，速度方向线研究方法研究方法微分方程微分方程 流线流

18、线 欧拉法欧拉法拉格朗日法拉格朗日法tzwtyvtxudddddd 例例 已知速度场已知速度场 。试求：。试求：流线方程及流线方程及 时的流线图。时的流线图。 0,zyxubtuau 解解 : :由流线的微分方程式由流线的微分方程式可得：可得： 其中其中t是参变量，积分得：是参变量，积分得： 或或 所得流线方程是直线方程，不同时刻所得流线方程是直线方程，不同时刻 的的流线图是三组不同斜率的直线。流线图是三组不同斜率的直线。(0,1,2)tttcbtxaybtyxcabtdyadx2, 1, 0tttxyzdxdydzdsuuuu求t=1时过（0,0）点的流线及t=0时位于（0,0）点的质点轨迹

19、。例 已知流体的速度分布为yu1xtu yyu1xtu yyxdduyuxtyyxd1dcyyxt22解：（1）将，带入流线微分方程得t被看成常数，则积分上式得t=1时过（0,0）点的流线为022yyxyu1xtu ytuyuxdddyx（2）将带入迹线微分方程得ttyyxdd1d解这个微分方程得迹的参数方程： 1)1 (ctyx222cty将t=0时刻，点（0,0）代入可得积分常数： 01c02c带入上式并消去t可得迹线方程为：yyx2)1 ( 五五. .流管与流束流管与流束 过流断面过流断面在流束上作出与流线正交的横断面1注意：只有均匀流的过流断面才是平面六六. .过流断面、流量过流断面、

20、流量AnAAvdAvdAnvvQ),cos(dAvsm /3AnAAmdAvdAnvvQ),cos(dAvAquv续：均匀流和非均匀流续：均匀流和非均匀流流场中同一条流线各空间点上的流速相同。流场中同一条流线各空间点上的流速相同。流场中同一条流线各空间点上的流速不相同。流场中同一条流线各空间点上的流速不相同。均匀流有如下特征均匀流有如下特征：（1 1）均匀流的过流断面（有效截面）是平面，并）均匀流的过流断面（有效截面）是平面，并且有效截面的形状与尺寸沿流程不变；且有效截面的形状与尺寸沿流程不变； （2 2）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有）均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的

21、流速分布相同，平均流速相同；效截面上的流速分布相同，平均流速相同；（3 3）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与）均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静压强分布规律相同，也就是在流体静力学中流体静压强分布规律相同，也就是在均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于常数的均匀流有效截面上同样存在各点静水头等于常数的特征，即特征，即Cgpz 例例 已知速度场为已知速度场为 。试问：试问：(1)(1)t t2s2s时，在时，在(2(2，4)4)点加速度是多少点加速度是多少?(2)?(2)流动是流动是恒定流还是非恒定流？恒定流还是非恒定流？ 解解(1).(1).由欧拉法加速度公式可得由

22、欧拉法加速度公式可得(69(46 )yx tixuytj22()()4646.( 6 )() (4 )(46 )(1 66 )6.9.xxxxyxauuuutxyttttuyyxyxyxttx4, 2,2yxst2/4smax将代入(2).(2).因速度场随时间变化，此流动是非恒定流。或由时变因速度场随时间变化，此流动是非恒定流。或由时变导数导数 0)96()64(jyxixyjtuitutuyx222/2 . 7smaaayx22/6)95 . 1)(64(smtxy)6()96()9()64()96(ttxyttxyxyyuuxuutuayyyxyy故此流动为非恒定流动3.3 3.3 流体

23、运动的连续性方程流体运动的连续性方程一、系统与控制体1、系统：特定流体质点组成的流体团。例：水中的气泡；空气中漂 浮的微小水滴。2、控制体：相对于坐标系 不动的空间体积。控制体的边界为控制面。yxzdydzdx二、微分形式的连续性方程二、微分形式的连续性方程3.3 3.3 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程yxzdydzdx2dxx2dxx2dxxuu2dxxuu控制体流出的质量： dzdydxxuudxxx22dzdydxxuudxxx 22dxdydzxudxdydzxudxdydzxuxxx单位时间内由六个表面净流出的质量流量为：dxdydzzuyuxuzyx单位时间内由于密度变化使控制体内的流体质量变量为dxdydzt 质量守恒要求：质量守恒要求：密度变化增加的质量=净流入的质量dxdydzzuyuxudxdydztzyx连续方程（质量守恒方程）：0zuyuxutzyx对于三元定常流动：0zuyuxuzyx对于不可压缩的流体流动（ ）const0zuyuxuzyx例题：在三元不可压缩流动中，已知例题：在三元不可压缩流动中，已知ux= x2