求不定积分几种基本方法

1、5.2 求不定积分的几种基本方法求不定积分的几种基本方法一、 第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法） .先看下例：例例1 求解解设则3cosd .x x32cosdcoscos dx xxx xsin ,ux3231cosd(1)d3x xuuuuC22cosdsin(1 sin)dsinxxxx31sinsin.3xxC () d(),f uuF uC一般地，如果()F u是()f u的一个原函数，则而如果u又是另一个变量x的函数 ,ux且 x可微，那么根据复合函数的微分法，有 ddd .Fxfxxfxxx由此得 ddfxxxfxx = d.FxFxC (),F u是具有原函数()

2、f u ux dddg xxfxxxfxx d() duxfxxxf uu于是有如下定理：定理定理1 设可导，则有换元公式 ().uxF uC（5-2）由此可见，一般地，如果积分 dg xx不能直接利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式 dg xx能表示为的形式，且() df uu较易计算，那么可令 ,ux g x d() d.uxfxxf uu代入后有2cos2 d .x x ddg xxfxxx这样就得到了的原函数.这种积分称为第一类换元法第一类换元法.由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分因子 dd ,xxx因此第一类换元法也称为凑微分法凑微分法.例例2 求解解 2cos2

3、dcos22dx xxxx cosdsin.uuuC2ux再以代入，即得1d .23xx例例3 求 解解 被积函数 123x可看成 1u与 23ux构成的复合 函数，虽没有 2u这个因子，但我们可以凑出这个因子： 111112(23)23223223xxxx， 如果令 23ux便有 2cos2 dsin2.x xxC ， 111d(23)d232 23xxxxx11lnln 23.22uCxC一般地，对于积分 ()df axbx总可以作变量代换 uaxb，把它化为 1()d()d()f axbxf axbaxba111 1d(23)d2 232xuxu( )1( )d.uxf uua， 222

4、11d1(1) d2x xxxxx3211d23u uuC例例4 求 21d .x xx解解 令 21,ux则2211d(1)2xx3221(1).3xC ， 例例5 求 2d .xxex解解 令 2ux ,则 d2 d ux x,有 2211d( 2 )dd22 xxuxexexxeu凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式在比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤211.22 uxeCeC例例7 求 例例6 求 221dxax解解 2222d( )1ddarcsin.1 ( )1 ( )xxxaxCaxxaxaaa).0( a221d .xax解解 2222111dd1( )x

5、xxaxaa2111d( )arctan.1( )xxCxaaaaa解解 1d()1d()22axaxaaxaax11lnln22axaxCaa例例8 求 221d (0).x aax221111d()d2xxaxaaxax1ln.2axCaax例例9 求 tan d .x x解解 sindcostan ddcoscos xxx xxxx类似地可得 cot dln sin.x xxCln cos. xC例例10 求 2sind .x x解解 21 cos2sindd2xx xx11sin2.24xxC11cos2 d(2 )24xxx例例11 求 csc d .x x解解 21sincsc d

6、ddsinsinxx xxxxx类似地可得211cosdsin2.24x xxxC2dcos11 coslncos-121 cosxxCxxln tan.2xC类似地可得sec dln sectan.x xxxC例例12 求 d.xexx解解 d2d2.xxxexexeCx例例13 求 4secd .x x解解 422secdsecdtan(1tan)dtanx xxxxx31tantan.3xxC第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:1dd();xaxba11dd(1);1 xxx(1) (2) (3) (4) 1dd ln;xxx1dd;lnxxaxaa(5) (6) (7) (8) s

7、in ddcos ; x xxcos ddsin ;x xx2secddtan ;x xx2cscddcot ; x xx21ddarcsin ;1xxx21ddarctan .1xxx(9) (10) 二二、 第二类换元法第二类换元法 第一类换元法是通过变量代换 ( )ux，将积分 ( ( )( )dfxxx化为积分 ( )df uu第二类换元法是通过变量代换( )xt，将积分 ( )df xx化为积分 ( ( )( )d .fttt在求出后一个积分后,再以 ( )xt反函数 1( )tx代回去,这样换元积分公式可表示为:1( )( )d( ( )( )dtxf xxfttt上述公式的成立是

8、需要一定条件的，首先等式右边的不定积分要存在，即被积函数 的( ( )( )ftt有原函数；其次, ( )xt的反函数 1( )tx要存在.我们有下面的定理 定理定理2 设函数 ( )f x连续, ( )xt单调、可导，并且 ( )0t，则有换元公式1( )( )d( ( )( )dtxf xxfttt(5-3) 下面举例说明公式(5-3)的应用 例例14 求 3d.11xx解解 遇到根式中是一次多项式时，可先通过适当的换元将被积函数有理化，然后再积分 令 31 xt,则 321,d3 dxtxtt，故 223d3 d1 13d1111 xttttttx23333(1)313ln 11.2 x

9、xxC213 (1)d3(ln 1)12 tttttCt例例15 求 1d .1exx解解 令 1 ext，则 222ln(1),dd1txtxtt,则有2d12d11xxtte22d (0).axx a例例16 求 解解 为使被积函数有理化利用三角公式 22sincos1tt令 sin ,(,),2 2 xat t 则它是 t的单调可导函数，具有反函数arcsinxta,且 22cos ,dcos d ,axatxat t11 e1lnln.11 e1xxtCCt因而2222dcoscos dcosdaxxat at tat t2221(sin2 )sin cos2222aaattCtttC

10、2221arcsin.22axx axCa例例17 求 221d (0).x aax解解 令 tan ,(,),2 2 xat t 则 222sec ,dsec d ,xaatxat t于是 2221sec ddsec dsecat txt tatax21 cos2d2tat1ln sectanttC221lnxaxCaa22ln.xaxC其中 1ln .CCa例例18 求 221d (0).x axa解解 被积函数的定义域为 (,)( ,)aa ,令 sec ,(0,)2xat t，这时22tan ,xaat故 221sec tan ddsec dtanatt txt tatxa1ln se

11、ctanttCdsec tan dxatt t22221lnln,xxaCxxaCaa其中 1lnCCa,当 (,)xa 时,可令 sec ,xat类似地可得到相同形式的结果以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式，称之为三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数的有理因式一般地，若被积函数中含有 22ax时，可 作代换 sinxat(, ),2t或 cosxat；含有 22xa时，可作代换tanxat；含有 22xa时，可作代换 sec .xat利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换即1xt等 例例19 求 2d.1xx x解解 令 1xt,则 21dd , xtt因此22dd.

12、11 ttxxxtt当 1x 时， 01t ,有22d1d11 xtx xt1arcsinarcsin; tCCx1x 10t 当 时， 有22d11darcsinarcsin.11xttCCxxxt综合起来，得2d1arcsin.1 xCxx x在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到的所以它们通常也被当作公式使用这样,常用的积分 公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中常数a0). tan dln cos x xxCcot dln sinx xxC(14) (15) (16) (17) (18) sec dln sectanx xxxCcsc dln csccotx xxx

13、C22d1arctanxxCaxaa22d1ln |2xxaCxaaxa22darcsinxxCaax(19) (20) (21) 2222dln().xxxaCxa例例20 求 2d.23xxx解解 222d1d(1),23(1)( 2)xxxxx利用公式(18)，可得2d11arctan.2322xxCxx例例21 求 2d.49xx解解 222d1d(2 ).249(2 )3xxxx利用公式(21)，可得22d1ln(249).249xxxCx三三 分部积分法分部积分法 .一一、 分部积分公式的推导分部积分公式的推导思考：d?xxex诸如此类的不定积分，用换元积分法都不能求解特点： 被积

14、函数是两种不同类型的函数的乘积.需要用到求不定积分的另一种基本方法分部积分法分部积分法设函数 ( )uu x及 ( )vv x具有连续导数那么， (),uvu vuv移项，得 ().uvuvu vsin d?,ln d?xx xxx x对这个等式两边求不定积分，得dd .uv xuvu v x（5-4）公式（5-4）称为分部积分公式分部积分公式. 如果积分 d uv x不易求,而积分 du v x比较容易时,分部积分公式就可用了.为简便起见,也可把公式（5-4）写成下面的形式:dd .u vuvv u（5-5）现在通过例子说明如何运用这个重要公式.例例22 求 sin d .xx x解解 由于

15、被积函数 sinxx是两个函数的乘积,选其中一, u那么另一个即为 , v如果选择 ,uxsin ,vx则 个为ddcos , vx得 如果选择 sin ,ux vx则 21dd(),2vx得 21sin dsin d()2xx xxx2211sincos d22xxxx xsin ddcoscoscos d xx xxxxxx xcossin. xxxC2211sindsin22xxxx上式右端的积分比原积分更不容易求出 由此可见，如果 u和 dv选取不当，就求不出结果 所以应用分部积分法时，恰当选取 udv和 是关键，dv u一般以比 du v易求出为原则例例23 求 2d .xx ex解

16、解 2222dddxxxxx exxex eex222d22dxxxxxx ex ex exeex222.xxxx exeeC22dxxx exex例例24 求 2secd .xx x解解 由上面的三个例子知道，如果被积函数是指数为正整数的幂函数和三角函数或指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并选择幂函数为 .u经过一次积分，就可以使幂函数的次数降低一次例例25 求 arctan d .xx x解解 2211arctandarctan22xxxx2sec ddtantantan dtanlncos.xx xxx xxx x xxx C21arctan darctan d()2xx xxx2

17、111arctanarctan.222xxxxC22111arctan(1)d221xxxx例例26 2ln d .xx x求解解 231ln dln d()3xx xxx32331111lndln.3339xxxxxxxC22211arctand22 1xxxxx3311lndln33xxxx例例27 求ln d .x x解解 ln dlndlnx xxxxx总结上面四个例子可以知道,如果被积函数是幂函数和反三角函数或对数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并选择反三角函数或对数函数为. u一般地,如果被积函数是两类基本初等函数的乘积, 在多数情况下,可按下列顺序: 反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数，将排在前面的那类函数选作u，后面的那类函数选作 . v2lndln.xxxxxxC下面两例中使用的方法也是比较典型的.例例28 求 e cos d .xx x解解 cos dcos dcosdcosxxxxex xx eexexcossin dcossin dxxxxexex xexx ecossindsinxxxexexexcossincos d