同济版高等数学第六版第八章第六节空间曲线及其方程ppt课件

1、一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组 0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF1S0),(zyxG空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程组，不在曲线上的点方程组，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.特点：特点：xozy1S2S2S1SC 0),(0),(zyxGzyxF例如例如, ,方程组方程组 632122zxyx表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 又如又如, ,方程组方程组表示上半

2、球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. C. 022222xayxyxazyxzao机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )()()(tzztyytxx空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程C将曲线将曲线 上的动点坐标上的动点坐标 表示成参数表示成参数t t 的函数的函数: :zyx, 动点从动点从A点出发，点出发，经过经过t时间，运动到时间，运动到M 点点 A MM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t t为参数，为参数，解解xyzo螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 b

3、zayaxsincos),( vbt tax cos tay sin vtz 螺旋线的重要性质：螺旋线的重要性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2 螺距螺距 ,2 例例2. 2. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示: : 6321)1(22zxyx 0)2(22222xayxyxaz解解: (1) : (1) 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数 , , txcos tysin )cos26(31tz 得所求为得所求为)20( t(2) 将第二方程变形为将第二方程变形为,)(42222a

4、ayx 故所求为故所求为txaacos22 tyasin2 tazcos2121 )20( t机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0)2(22222xayxyxaz 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z z后得：后得：0),( yxH曲线关于曲线关于 的投影柱面的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. .投影柱面的特征：投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影zyxCC如图如图: :投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程. .空间曲线空间曲线投影曲线

5、投影曲线投影柱面投影柱面同理同理消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y y 得得C C 在在zox zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程 00),(xzyR 00),(yzxT机动 目录 上页 下页 返回 完毕 00),(zyxH称为称为C 在在 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程xoyzyxC1o例如例如, ,在在xoy xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 002222zyyx 1)1()1(1:222222zyxzyxC机动 目录 上页 下页 返回 完毕 zxyo1C又如又如, ,立体在立体在 xoy xoy 面上的投影区域

6、为面上的投影区域为: :上半球面上半球面和锥面和锥面224yxz )(322yxz )(34:2222yxzyxzC二者交线二者交线二者交线在二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域面上的投影曲线所围之域 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 所围的所围的 0122zyx在在 xoy xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线.0,122 zyx所围圆域所围圆域: :zxyo1C补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面例例3 3.,)(34,2222面面上上的的投投影影求求它它在在锥锥面面所所围围成成和和由由上上半半球球面面设设一一个

7、个立立体体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得得投投影影柱柱面面消消去去面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC . 0, 122zyx是一个圆是一个圆, ,面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在 xoy. 122 yx空间立体空间立体空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程四、小结 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxTP416 题1 (2)

8、ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (3)zxyo oaoa222azx222ayx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 P416 题2 (1)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 yz2x3考虑考虑: :by 对平面交线情况如何?,3时当b交线情况如何?,3时当bP416 题2(2)19422yx3y机动 目录 上页 下页 返回 完毕 P417 题 7022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考题思考题思考题解答思考题解答,2

9、2222 zxzxy交线方程为交线方程为, 122 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy.0122 zyx练练 习习 题题二、二、 画出下列曲线在第一卦限的图形：画出下列曲线在第一卦限的图形：1 1、 0422yxyxz2 2、 222222azxayx三三、 将将曲曲线线 xyzyx9222化化为为参参数数方方程程四、四、 求螺旋线求螺旋线 bzayaxsincos在三个坐标面上的投影曲线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程的直角坐标方程 . .五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面222yxaz , , 柱 面柱 面022 axyx及平面及平面0 z所围成的立体，在所围成的立体，在xoy面和