直角坐标系下二重积分

1、复习：曲顶柱体的体积复习：曲顶柱体的体积求以曲面求以曲面 为顶，底面为矩形为顶，底面为矩形 的曲顶柱体的体积的曲顶柱体的体积。)0),(),(yxfyxfz,;,dcbayxzOabcd),(yxfz i),(iiiiiifV),(yxzOabcd),(yxfz 取极限求和近似代替分割分割近似代替 求和取极限niiiiniifVV11),(niiiidfV10),(lim求曲顶柱体体积步骤如下：求曲顶柱体体积步骤如下： 分割分割：将矩形 任意分为 n 块可求面积的小块,;,dcban,21其面积仍记为 。相应地将曲顶柱体分割成 n 个小曲顶柱体，分别记为n,21nVVV,21 近似代替：近似代

2、替：在每一小块上任意取一点 则小曲顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替，即),(iiiMiViiiifV),( 求和求和：把 n 个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值niiiiniifVV11),(取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：,;,10),(),(limdcbaniiiiddxdyyxffV 取极限取极限：记 在和式中令,max1的直径inid0d 由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。先复习定积分应用中的一个结果：

3、设空间立体位于平面 与平面 之间，用与 轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为 ，则此立体的体积为ax bx x)(xsbadxxsV)()(xsabx化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分yxzOabcd)(xS作与 轴垂直的平面，设截得曲顶柱体截面的面积为)(xSx立体位于平面与平面 之间，ax bx 则曲顶柱体体积为badxxsV)(x而 就是平面 上， 由曲线 与直线 所围成的曲边梯形的面积，所以)(xSxX ),(yxfz 0,zdycydcdyyxfxS),()(从而 dcbabadcbadyyxfdxdxdyyxfdxxsV),(),()(因此dcbadcbadyyxfdxd

4、xdyyxf),(),(,;,badcdcbadxyxfdydxdyyxf),(),(,;,类似地，也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得y从上面的分析，可以得到下列结果：badcdcbadcbadxyxfdydyyxfdxdxdyyxf),(),(),(,;,dcbadcbadyyxfdxdxdyyxf),(),(,;,定理定理21.8 设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则,;,dcba),(yxf,baxdcdyyxfxF),()(badcdcbadxyxfdydxdyyxf),(),(,;,设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则,;,dcba),(yxf,dcybadx

5、yxfyJ),()(类似地可以给出先对 后对 积分的结果：yx设 在矩形 上连续，则dcbabadcdcbadyyxfdxdxyxfdydxdyyxf),(),(),(,;,;,dcba),(yxf我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：定理21.9 前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。根据积分区域的特点，分三种情况讨论。),()(| ),(21bxaxyyxyyxDyx)(2xyy )(1xyy ab这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。x这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。

6、yx第一种情形：积分区域 D 由两条曲线及两条直线围成，即)(),(21xyyxyybxax ,)()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdxdyyxf作包含此积分区域的矩形,;,dcba令DyxDyxyxfyxF),(, 0),(),(),(于是)()(,;,21),(),(),(),(xyxybadcbadcbaDdyyxfdxdyyxFdxdxdyyxFdxdyyxfyx)(2xyy )(1xyy abcdx),()(| ),(21dycyxxyxyxD第二种情形：积分区域 D 由曲线及直线围成，即)(),(21yxxyxxdycy ,)()(21),(),(yxyxdcDdx

7、yxfdydxdyyxf这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。yx)(1yxx )(2yxx ydcxo这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。y第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。yx1D2D3D4D X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.

8、若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图例例 3 3 改改变变积积分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次

9、序序.axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域.解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例5 5 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1

10、, 1(),0 , 0()1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 6 6 计计算算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例 7 7 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的

11、立体体积，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.zyxo, 10 yx,xyyx 所求体积所求体积 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是例8 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V. 解 设这两个直交圆柱面的方程为： 由图形的对称性 =8=8=8=二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型设设)(xf在在1 , 0上连续，并设上连续，并设Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题 1)(xdyy