江西省吉安县高中数学第2章解三角形2.2.1三角形中的几何计算课件北师大版必修5

1、2.2.1三角形中的几何计算三角形中的几何计算学习目标1会用正、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题2培养学生分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神知识回顾知识回顾导导AB钝角三角形直角三角形锐角三角形知识回顾知识回顾AB思思例1 1：如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=5,AC=9, BCA=30O, ADB=45O,求BD的长. ABCD5930O45O解解 在ABC中, ADBC,AB=5,AC=9, BCA=30O .由正弦定理,得sinsinABACBCAABCsinsinACBCAABCAB9sin309510因为 ADBC,所以BAD=180O -ABC,于是探

2、究一：探究一：议、展议、展9sinsin10BADABC同理,在ABD中, AB=5,ADB=45O ,9sin,10BAD解得9 22BD 答 BD的长为 .9 22例2 一次机器人足球比赛中,甲队1号机器由点A开始作匀速直线运动,到达B点时,发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A作匀速直线滚动.如图,已知若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球? 4 2dm,17dm,45 .ABADBACABD45O分析分析 机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方,设为C点.利用速度建立AC与BC之间的关系,再利用余弦定理便可建立方程解决问题.议、展议、展探究二

3、：探究二：解解.设机器人最快可在C处截住足球,点C在线段AD上.设BC=x dm,由题意,CD=2x dm.ABD45OCAC=AD-CD=(17-2x) dm.在BCD中,由余弦定理,得.2222cosBCABACABACA即222(4 2)(172 )2 4 2(172 )cos45xxx 解得12375(dm),(dm).3xx所以231727(dm),(dm).3ACxAC 或(不合题意,舍去)答 该机器人最快可在线段AD上离点A7dm的点C处截住足球.例3如图,已知O的半径是1,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是O上半圆上的一个动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心

4、分别在PC的两侧.(1)若POB=,试将四边形OPDC的面积y表示成的函数;(2)求四边形OPDC面积的最大值.AOBDCP1sin2OP OC分析分析 四边形OPDC可以分成OPC与PCD.SOPC可用表示;而求PCD的面积的关键在于求出边长PC,在OPC中利用余弦定理即可求出;面积最值,可通过函数解决.议、展议、展探究三：探究三：解解.(1)在POC中,由余弦定理,得.2222cosPCOPOCOP OC54cos所以OPCPCDySS131 2sin(54cos )24 5 32sin()34 (2)当5,326 时,max5 324y 1、如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，已知中

5、，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=60,BCD=135,求求BC的长的长.检检【解析】【解析】在在ABD中，设中，设BD=x， 则则BA2=BD2+AD2-2BDADcosBDA, 即即142=x2+102-210 xcos60, x2-10 x-96=0, 解得解得x1=16,x2=-6(舍去舍去). 由正弦定理由正弦定理 得得BC= 8 .2BCDsinBDCDBsinBC 2、如图所示，在平面四边形ABCD中, ABAD1,BAD，BCD是正三角形(1)将四边形ABCD的面积S表示为的函数；(2)求S的最大值及此时角的值检检返回返回 例例3 已知已知ABC的内角的内角A,B

6、,C的对边分别的对边分别 为为a,b,c,asinA+csinC- asinC=bsinB. (1)求角求角B； (2)若若A=75，b=2，求，求a,c.2检检【解析】【解析】(1)由正弦定理得由正弦定理得a2+c2- ac=b2,由余弦定理得由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,故故cosB= ,又又B为三角形的内角，因此为三角形的内角，因此B=45.(2)sinA=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45= 故故a= 由三角形内角和定理知由三角形内角和定理知C=180-(A+B)=60,c=222462 645sin60sin2sinBbsinC 31262sinBbsinA 课堂小结课堂小结1.正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，解决时抓住两点：合理的运用题目中的三角形资源，尽量将所有的条件集中到某个三角形之