大学物理 圆周运动 曲线运动

1、1-2 圆周运动及其描述圆周运动及其描述1. 1. 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 在一般在一般圆周运动圆周运动中，质点速度的中，质点速度的大小大小和和方向方向都都在改变，即在改变，即存在加速度存在加速度。采用。采用自然坐标系自然坐标系，可以更，可以更好地理解加速度的物理意义。好地理解加速度的物理意义。 在运动轨道上任一点建立在运动轨道上任一点建立正交正交坐标系坐标系,其一根坐标轴其一根坐标轴沿轨沿轨道切线方向道切线方向,正方向正方向为运动的为运动的前前进方向进方向；一根沿轨道法线方向，；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。正方向指向轨道内凹的一侧。tenetene切向

2、单位矢量切向单位矢量te法向单位矢量法向单位矢量ne显然，轨迹上各点处，显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方向不断变化。自然坐标轴的方向不断变化。1.1 1.1 自然坐标系自然坐标系ABttv ev 由于由于质点速度质点速度的方向一定沿着轨迹的的方向一定沿着轨迹的切向切向，因，因此，自然坐标系中可将速度表示为：此，自然坐标系中可将速度表示为：tv ettsedd由加速度的定义有由加速度的定义有tvddattveddtvtdd e切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度1.2 1.2 自然坐标系下的加速度自然坐标系下的加速度teod dsnetePtePtetedd nttteedddd()1

3、nnd RdsRdtR dteenRve切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度以以圆周运动圆周运动为例讨论上式中两个分项的为例讨论上式中两个分项的物理意义物理意义： 如图，质点在如图，质点在dt 时间内经历时间内经历弧长弧长ds，对应于角，对应于角位移位移d ，切线的方向改变，切线的方向改变d 角度。角度。作出作出dt始末时刻的始末时刻的切向单位矢切向单位矢量量，由矢量三角形法则可求出，由矢量三角形法则可求出极限情况极限情况下切向单位矢下切向单位矢量量的增的增量为量为ted即即 与与P点的切向正交。因此点的切向正交。因此nded etteonetePanata 于是前面的加速度表达式可写

4、为：于是前面的加速度表达式可写为：attveddnRve2tvatddRvan2即圆周运动的加速度可分解为两即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：个正交分量：at称称切向加速度切向加速度，其大小表示质点，其大小表示质点速率变化速率变化的快慢；的快慢；an称称法向加速度法向加速度，其大小反映质点，其大小反映质点速度方向变化速度方向变化的的 快慢。快慢。切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 上述加速度表达式对上述加速度表达式对任何任何平面曲线运动都适用，平面曲线运动都适用，但但式中半径式中半径R 要用曲率半径要用曲率半径 代替代替。切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度attved

5、dnRve2由由22ntaaa222dd Rvtva的大小为的大小为圆周运动中加速度的方向圆周运动中加速度的方向tanaaarctantnaaat 等于等于0, an等于等于0, 质点做什么运动？质点做什么运动？at 等于等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0, an等于等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？例题例题 讨论下列情况时，质点各作什么运动：讨论下列情况时，质点各作什么运动： 匀速直线运动匀速直线运动 匀速曲线运动匀速曲线运动 变速直线运动变速直线运动

6、 变速曲线运动变速曲线运动t2. 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述oxy 前述用位矢、速度、加速前述用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法，称度描写圆周运动的方法，称线线量描述法量描述法；由于做；由于做圆周运动的圆周运动的质点与圆心的距离不变质点与圆心的距离不变，因此，因此可用一个角度来确定其位置，可用一个角度来确定其位置，称为称为角量角量描述法。描述法。 A：tB：t+ t 设质点在设质点在oxy平面内绕平面内绕o点、沿半径为点、沿半径为R的轨道作的轨道作圆周运动，如图。以圆周运动，如图。以ox轴为参考方向轴为参考方向，则质点的，则质点的角位置为角位置为 角位移为角位移为 规定规定反时针

7、为正反时针为正平均角速度为平均角速度为t圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述(瞬时瞬时)角速度为角速度为tt0limtdd角加速度角加速度为为22ddddtt角角 速速 度度 的的 单位：单位： 弧度弧度/秒秒(rad s-1) ；角加速度的单位：角加速度的单位： 弧度弧度/平方秒平方秒(rad s-2) 。讨论讨论： (1) 角加速度角加速度 对运动的影响：对运动的影响： 等于零，质点作匀速等于零，质点作匀速率率圆周运动；圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。随时间变化，质点作一般的圆周运动。圆周运动的角

8、量描述圆周运动的角量描述)(22/02022000ttt (2) 质点作质点作匀变速圆周运动匀变速圆周运动时时的角速度、角位移的角速度、角位移与角加速度的关系式为（与角加速度的关系式为（若为匀速圆周运动，则若为匀速圆周运动，则 0 0）)(22/02022000 xxavvattvxxatvv与与匀变速直线运动匀变速直线运动的几个关系式的几个关系式比较知：比较知：两者数学形式完全相同两者数学形式完全相同,说明用角量描述说明用角量描述,可把可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述ROx3. 线量与角量之间的

9、关系线量与角量之间的关系 圆周运动既可以用圆周运动既可以用速度速度、加速度加速度描述，也可以用描述，也可以用角速度角速度、角加速度角加速度描述，二者应有一定的对应关系。描述，二者应有一定的对应关系。 + 0 0+t+ tBtA 图示图示 一质点作圆周运动：一质点作圆周运动：在在 t 时间内，质点的角位时间内，质点的角位移为移为 ，则，则A、B间的间的有向有向线段线段与弧将满足下面的关系与弧将满足下面的关系00limlimttABABR 两边同除以两边同除以 t，得到速度与角速度之间的关系：，得到速度与角速度之间的关系：Rv 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系将上式两端对时间求导，得到切向

10、加速度与角加速将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：度之间的关系：Rat将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：得到法向加速度与角速度之间的关系：Rvan22R例例1例例2思考题思考题线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。例题例题1 1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：解：地球自转周期地球自转周期T=24 60 60 s，角速度大小为：，角速度大小为：T26060242151027. 7s

11、 如图，地面上纬度为如图，地面上纬度为 的的P点，在与赤道平行的平面内点，在与赤道平行的平面内作圆周运动作圆周运动, cosRr 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系R 赤道赤道rp 其轨道的半径为其轨道的半径为rvcosRcos1073. 61027. 765)/(cos1065. 42smran2cos2Rcos1073. 6)1027. 7(625P点速度的大小为点速度的大小为P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为点只有运动平面上的向心加速度，其大小为P点速度的方向与过点速度的方向与过P点运动平面上半径为点运动平面上半径为R的圆相切。的圆相切。线量与角量之间的关系线量与角量之间的关

12、系)/(cos1037. 322smP点加速度的方向在运动平面上由点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。指向地轴。 例如例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬是北纬39 57 、31 12 和和 23 00 ，则，则三地的三地的v 和和 an分别为：分别为：北京：北京：),/(356smv )/(1058. 222sman上海：上海：),/(398smv )/(1089. 222sman广州：广州：),/(428smv )/(1010. 322sman线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 例如例如:上海的纬

13、度上海的纬度31 12 ，则其，则其v 和和 an分别为：分别为：上海：上海：),/(398smv )/(1089. 222smanRo 在在t 时刻，质点运动到位时刻，质点运动到位置置 s 处。处。s s解解：先作图如右，先作图如右，t = 0 时，时，质点位于质点位于s = 0 的的p点处。点处。线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系P （1） t 时刻质点的总加速度的大小；时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b ； （3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行时，质点沿圆周运行了多少圈。了多少圈。例题例题2 一质

14、点沿半径为一质点沿半径为R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v0、b都是正的常量。求：都是正的常量。求：2/20bttvsnnaa （2）令）令a = b ，即，即240)()(aRos （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:tvddRv222ddtsbRbtv20)(线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系n42022()()nvbtbRaaaR（3）当当a = b 时，时，t = v0/b ，由此可求得质点历经，由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为 /220bttvs它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Rsn2Rosbvt/0bv /220Rbv420线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系得得n判断下列说法的正、误：判断下列说法的正、误：a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。b. 平均速率等于平均速度的大小。平均速率等于平均速度的大小。