对称性、奇偶性和周期性的综合运用

1、对称性、奇偶性和周期性的综合运用函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用一.函数的对称性(一)函数yf(x)的图象自身对称1、轴对称对于函数f(x)的定义域内任意一个X)f(ax)f(bx)yf(x)图象关于直线x(ax)2(bx)T对称.推论1：f(ax)f(ax)yf(x)的图象关于直线xa对称.推论2：f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称.推论3：f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称.求对称轴方法:(ax)(bx)ab222、中心对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x,f(ax)f(bx)2cyf(x)的图象关于点,ab(丁©对称.推论:f(ax

2、)f(ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称.推论:点(a,b)推论:点(a,b)求f(x)对称.f(2af(x)的图象关于横坐标xf(x)对称.对(x)的图象关于(ax)(bx)2，纵坐标中2cy万c-小结：轴对称与中心对称的区别自变量系数互(差为零)；中，自变轴对称：f(a+x)=f(b-x)中)为相反数(内反)，函数值相等中心对称：f(a+x)=-f(b-x)+2c量系数互为相反数(内反)，函数值和为定值.(二)两个函数的图象相互对称1、函数yf(aX)与函数yf(bx)图象关于直线xV对称；特别地)函数y=f(a+x)与y=f(ax)关于直线x=0(y轴)轴对称；称;函数yf(

3、x)与函数yf(x)图象关于y轴对求对称轴方法：令a+x=b-x,得x?2、函数y=f(a+x)+c与丫=f(bx)+d关于点(？,c/)中心对称；特别地)函数y=f(a+乂)与丫=f(ax)关于点(0,0)(原点)中心对称.函数y9)与函数yf(x)图象关于原点对称函数.求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得bax亍)纵坐标y=cii二.函数的奇偶性1 .如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x)(f(x)f(x)=0),那么函数f(x)叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴(x=0)对称.推论：若y=f(x+a)为偶函数)则f(x+a)4=f(x+a),即y=f(x)的

4、图像关于直线x=a轴对称.2 .如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x)(f(x)+f(x)=0),那么函数f(x)叫做奇函数.奇函数的图象关于原点(0,0)对称.推论：若y=f(x+a)为奇函数，则f(x+a)=-f(a+x),即y=f(x)的图像关于点(a,0)中心对称.三.函数的周期性1.定义：对于“x)定义域内的任意一个x,都存在非零常数T,使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数9)具有周期性，T叫做小)的一个周期，则kT(kZ，k0)也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫P)的最小正周期.2.推论:)(y9)的周期为T.2)f(f(x)f(x)的周期为的周

5、期为)的周期为Tf(xa)f(x)的周期为Tf(xa)1f(x)1f(x)仆)的周期为T2a.f(xa)1f(x)1f(x)的周期为T2af(xa)1f(x)1f(x)f(x)的周期为T4a(9T6a)yp)的周期为若P0,f(px)f(pxa),贝IT(11)若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=2|ab|.推论：偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x)周期T2a(12)若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=2|a-b|.推论：奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0yf(x

6、)t4a(13) yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b，0)f(x)的周期T=4|ab|.小结：函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个力x;对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”；定义在R上的函数yf(x),在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在.题型分类1,求函数值例1.设f(x)是(，)上的奇函数,f(2x)f(x),当。x1时,f(x)x)则f(7.5)等于(-0.5)(A)0.5;(B)-0.5;(C)1.5;(D)-1.5.例2.偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x1)，且当xG

7、1,0时，f(x)=3x+4,则f(1四5)93的值等于()A_1B.空C,也5045D.1解：由于偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x1),说明函数的周期为2,f(-x)=f(x)当x-1,0时，f(x)=3x+4,则对于10g15*35,937f(%5)=f(2+iog5)=f(2-Iog35)=3log35+-4=1故可339知答案为D.2,比较函数值大小例3.若f(x)(xR)是以2为周期的偶函数，当0,11时，f(x)x礴试比较f(98)、f(12!)、f(吧)的大小.1917151解：f(x)(xR)是以2为周期的偶函数，又f(x)x,在0,1上是增函数)且01竺”1)1

8、71915)fj)f(四)f(当即f(3f(西)f(理).1719151719153、求函数解析式例4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x),且当*2，0时，f(x)=2x+1,求当x4,6时求f(x)的解析式.例5.设p)是定义在(，)上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间2,3上，f(x)2(x3)24.求x1,2时，f(x)的解析式.解：当x3,2,即x2,3,f(x)f(x)2(x3)242(x3)24又f(x)是以2为周期的周期函数，于是当x1,2,即3x42时)有f(x)f(x4)f(x)2(x4)3242(x1)24(1x2).-2一f(x)2(x

9、1)4(1x2).4、判断(证明)函数性质例6.已知f(x)的周期为4,且等式f(2x)f(2x)对任意xR均成立，判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x)的周期为4,得f(x)f(4x),由f(2x)f(2x)得f(x)f(4x),f(x)f(x)，故f(x)为偶函数.例7.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足1f(x+999)=同，f(999+x)=f(999x),试判断函数f(x)的奇偶性.例8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)且当x2,0时)f(x)是减函数)求证当x4,6时f(x)为增函数解：设4Xix26则2x24x140f(x)在卜2,0上是减函数，f(

10、x24)f(xi4)10又函数f(x)是定义在R上的偶函数)f(x)=f(4-x),类比命题3(1)知函数f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x)f(-x)=f(x)f(X2)f(Xi)f(X2)f(Xi)故当x4,6时f(x)为增函数例9.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，证明f(x)是周期函数例10.设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10当xG-1,1时f(x尸x+x)=f(10x)f(20x)则f(x)是(C)A.偶函数，又是周期函数但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数=f(20+x)B,偶函数,D.奇函数,但不是周期函数例11.设函数f(x)满足对任意是定

11、义在R上的奇函数，且x£R者B有f(2+x)=-f(x)又11证明：直线x=1是f(x)图像的一条对称轴；当x1,5时，求函数f(x)的解析式.判断函数的单调性5、确定函数零点个数例12.设函数f(x)对任意实数x满足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x),且f(0)0,判断函数f(x)图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.解：由题设知函数f(x)图象关于直线x2和x7对称，又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间0,10上，f(0)0,f(4)f(22)f(22)f(0)0且f(x)不能恒为零，故f(x)图象与x轴至少有2个交点.而区间30,30有6

12、个周期，故在闭区间30,30上f(x)图象与x轴至少有13个交点.126、求参数的值(范围)例13.若函数f(x)=|x+a|,且f(x)满足对xR都有f(3+x)=f(2-x),则实数a=.若函数f(x)=(x+a)3,且f(x)满足对xR者B有f(3+x)=-f(2-x),贝I实数a=.例14.f(x)满足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),aW5,9且f(x)在5,9上单调.求a的值.例15.设fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fxx2.若对任意的xa,a2,不等式fxaf及x恒成立，则实数a的取值范围是()A.a0B.a、.5C.a友D.a07.两个函数图像的对称性例16.函数y=f(x)是