第2章 非线形方程及其非线性方程组解法

1、1第二章第二章 方程方程(组组)的迭代解法的迭代解法 1 1 引言引言2 2 迭代解法迭代解法3 3 迭代公式的改进迭代公式的改进4 4 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法5 5 联立方程组的延拓解法联立方程组的延拓解法6 6 联立方程组的牛顿解法联立方程组的牛顿解法2求求 f (x) = 0 的根的根1 1 引言引言1.1 涉及到的概念vf (x)既可以是既可以是代数多项式代数多项式, ,也可以是也可以是超越函数超越函数f(x)=a0 xn+a1xn-1+ + an-1x+ an (a00)如三角函数,指数函数的复合函数等v方程的根方程的根: 满足满足f(x)=0的的xv重根和单根重根

2、和单根:如果如果f(x)=(x- )mg(x)且且g( )0,则称则称 为为f(x)=0的的m重根重根.m=1称为单根称为单根,m1称称为重根为重根.31 1 引言引言1.2 本章重点v介绍求方程实根的迭代解法介绍求方程实根的迭代解法( (适用于求解代适用于求解代数方程和超越方程数方程和超越方程) ) v代数方程代数方程: :根的个数与其最高次数相同根的个数与其最高次数相同, ,有有成熟的圈定根的方法成熟的圈定根的方法 v超越方程超越方程:可能有一个可能有一个,几个根或者无解几个根或者无解,无无固定的圈定根的方法固定的圈定根的方法42 2 迭代解法迭代解法1 本节重点（关键问题）v根的初值的确

3、定方法；根的初值的确定方法；v迭代法的求解过程迭代法的求解过程v迭代法的收敛性迭代法的收敛性v迭代序列的误差估计迭代序列的误差估计52 2 迭代解法迭代解法2.1 根的初值确定方法求方程根的几何意义:求曲线y=f (x)与x轴交点的横坐标。v求根的具体步骤为求根的具体步骤为:确定根的初值x0将x0进一步精确到所需要的精度62.1 根的初值确定方法定理定理2.1 设设f (x)为区间为区间a,b上的上的单值单值连续连续函数函数 如果如果: f (a)f (b)0，取，取a=r；否则取；否则取b=r 设设xk-1,xk为含根子区间，初值对于根的误差要为含根子区间，初值对于根的误差要求为求为,令令a

4、= xk-1,b= xk,计算出计算出f (a),f (b)后后,进行如下进行如下:v取取a,b的中点的中点r=(a+b)/2,计算计算f(r)v若若b-a,转向转向Begin;否则结束否则结束 Begin:122.1 根的初值确定方法2.1.3 对分(二分)法abx1x2abx*132.1 根的初值确定方法2.1.3 对分(二分)法14误差误差 分析：分析：第第1步产生的步产生的21bax 有误差有误差21abx*|x 第第 k 步产生的步产生的 xk 有误差有误差kkabx*|x2 对于给定的精度对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数可估计二分法所需的步数 k ： 2lnlnln2abk

5、abk 简单简单; 对对f (x) 要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可) .无法求复根及偶重根无法求复根及偶重根 收敛慢收敛慢 用二分法求根，最好先给出用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将概位置。或用搜索程序，将a, b分为若干小区间，对每一分为若干小区间，对每一个满足个满足 f (ak)f (bk) 0 的区间调用二分法程序，可找出区的区间调用二分法程序，可找出区间间a, b内的多个根，且不必要求内的多个根，且不必要求 f (a)f (b) 0 。15f (x) = 0 x = (x)等价变换等价变换思路思路:2.2 迭代法的

6、求解过程f (x) 的根的根(x) 的不动点的不动点由公式由公式f(x)=0出发将其分解为等价形式出发将其分解为等价形式x=(x)2.2.1 建立迭代公式迭代函数例如：例如：f(x)=x3+2x2-4=0 =0 可以分解为可以分解为: :x=x+ f(x) =x3+2x2+x-4; ;x=2(1/(2+x)1/2 x=x-(x3+2x2-4)/(3x2-4x)162.2 迭代法的求解过程2.2.2 迭代解法(简单迭代法) 由初值由初值x0出发出发, ,按按迭代函数迭代函数xn+1= (xn) (n=0,1,2,) )进行计算进行计算迭代公式迭代公式x0 , , x1,x2, , ,xn , ,

7、称为称为迭代序列；迭代序列；迭代序列的值相应地称为迭代序列的值相应地称为根的根的0 0次次,1,1次次,2,2次次, , ,n n次次近似值；近似值；序列的计算过程称为序列的计算过程称为迭代过程；迭代过程； 如果序列如果序列x0 , x1 , x2 , 收敛于收敛于, ,即即 nnxlim则则 为为方程的根方程的根. . 证明：证明：)()lim()(limlim1 nnnnnnxxx172.2 迭代法的求解过程例例2.22.2：用迭代法求方程用迭代法求方程 f(x)=x3-x-1=0 在在x=1.5附近附近的根，要求根的近似值稳定至小数点后的根，要求根的近似值稳定至小数点后5 5位位. .

8、解解: :(1)(1)将方程改写为将方程改写为 x=(1+x)1/3(2)(2)按上式建立迭代公式按上式建立迭代公式 xn+1=(1+xn)1/3x0=1.5=1.5(3)(3)取取x0=1.5=1.5逐次迭代得逐次迭代得: :x1=1.35721,=1.35721,x2=1.33086, =1.33086, x3=1.32588, =1.32588, x4=1.32494,=1.32494,x5=1.32476,=1.32476,x6=1.32473,=1.32473,x7=1.32472,=1.32472,x8=1.32472=1.32472(4)(4)最后取稳定至小数后位的迭代值最后取稳

9、定至小数后位的迭代值x x8 8 =1.32472 =1.32472为方程的根为方程的根18xyy = xxyy = xxyy = xxyy = xx*x*x*x*y= (x)y= (x)y= (x)y= (x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1192.3 迭代法的收敛性1.影响迭代法收敛性的要素v迭代函数在根附近的性态迭代函数在根附近的性态v初值的选取范围初值的选取范围2. 迭代法收敛的类型v大范围收敛大范围收敛:从任何可取的初值出发都能保证从任何可取的初值出发都能保证收敛收敛v局部收敛局部收敛:为了保证收敛性必须选取初值充分为了保证收敛性必须选取初

10、值充分接近于所要求的根接近于所要求的根这里讨论迭代法的收敛性时，均指的是局部这里讨论迭代法的收敛性时，均指的是局部收敛性收敛性局部收敛方法比大范围收敛方法收敛得快202.3 迭代法的收敛性3.合理的求根算法v先用一种大范围收敛方法求得接近于根的近似值先用一种大范围收敛方法求得接近于根的近似值 ( (如对分法如对分法) )v再以其作为新的初值使用局部收敛法再以其作为新的初值使用局部收敛法( (如迭代法如迭代法) )4.迭代收敛的条件定理定理2.2定理定理2.3定理定理2.421证明：证明：因因为根为根,式式= ()恒成立恒成立.设设x0与与的误差为的误差为|x0-|,则以后各次近似值的误差为则以

11、后各次近似值的误差为: 0101)( )()(xxx 1212)( )()(xxx nnnnxxx)( )()(11. 01211xxnn则则条件(1)定理定理2.2 ( ), , xqxa b 21条件：条件：结论：结论：(1) (x)在包含根在包含根的区间的区间a,b上可微上可微对任何对任何x0 a,b,迭代过程迭代过程xn+1= (xn)一定收敛一定收敛k+1kx-aq = max(k = 0,1,n)x -a其其中中, ,22证明：证明： 011xqxnn根据条件(2)必有0, 0,11 nnnximqn时时当当迭代过程收敛得证v该定理的条件是充分条件vq值等于新旧迭代值之误差比,即对

12、旧误差的缩小率.q愈小,新近似值逼近就愈快v一般认为， q1/2,收敛慢v在实际应用时,因(x)连续且a,b较小, (x)的值变化不大,可用| (x0)|1代替 | (x)|1 超线性收敛超线性收敛2.3 迭代法的收敛性vr反映了迭代过程的收敛速反映了迭代过程的收敛速度度, ,r越大绝对误差缩减得越越大绝对误差缩减得越快快, ,即方法收敛得越快即方法收敛得越快, ,它是它是衡量迭代法好坏的重要标志衡量迭代法好坏的重要标志v不同的迭代法具有不同的不同的迭代法具有不同的收敛阶数收敛阶数25定理定理2.4条件：条件：结论：结论：(1) (x)在根在根附近有附近有r阶连续导数阶连续导数迭代过程迭代过程

13、xn+1= (xn)是是r阶阶收敛的收敛的该定理提供了测定收敛阶的方法!(2)()= ()= (r-1)()=0, 及及(r)()026上界公式1:2.4 迭代序列的误差估计1.迭代终止条件|xn+1-|, , xn+1即为所求得的近似值即为所求得的近似值2.引申迭代终止条件(上界公式)nnnxxqqx111证明:)()(1nnxx)()()()(11 nnnxxx)( )( 1211 nnnxxx )()()()(11 nnnxxx(2.3.1)( )xq127)( )()( 11112nnnxxxnnnxxx1211)( 1)( nnxxqq112.4 迭代序列的误差估计讨论nnnnnxx

14、xxqqx1111时当210)( qa11qq,有式(2.3.1)可以简化为:成立能够保证|1nxnnxx1当 成立, 282.4 迭代序列的误差估计讨论可可以以统统一一表表示示为为：则则，当当只只能能要要求求时时，当当),21(21, 0(11, 1121)(11 qqqqxxxxqqqqqbnnnn 21,210,11qqlxxaxnnn 绝对误差限292.4 迭代序列的误差估计v按相对误差限来控制按相对误差限来控制1111nnnnnxxxxxv有的问题中还采用两种误差限并存控制（有的问题中还采用两种误差限并存控制（P36）302.4 迭代序列的误差估计讨论的情况时，有可能出现假收敛当1)

15、(qcyx0l xn+1xny2(x)= (x)y1(x)=x312.4 迭代序列的误差估计总结 q q q12121 n1nlxxn 1n1 qxxlq 使用绝对误差使用绝对误差限来控制限来控制出现假收敛的现象32上界公式2:2.4 迭代序列的误差估计证明:011xxqqxnn 2112111nnnnxxqqxxqq2121nnxxqq011xxqqn|11nnnxxqqx( (上界公式上界公式1)1)证毕332.4 迭代序列的误差估计v上界公式上界公式2 2可用来预估迭代次数可用来预估迭代次数n当当成立成立, ,011xxqqn|1nx必成立必成立lnqn nqxx101qxxqnnln)

16、1 (01两边取对数可得两边取对数可得: :342.4 迭代序列的误差估计上界公式3:,|( )|, , nnf xxmfxxa bm0 有有为为精精确确解解，所所以以, 0 f nnxffxf nnxfxf mxffxfxnnn证明:证毕由公式3可知:,)(时当mxfn成立就有nx用用|f(xn)|作为迭代终止的判据作为迭代终止的判据352.4 迭代序列的误差估计讨论v当 时,1)( xfv当 时,1)( xfmxfn)(|f(xn)|,所以迭代终止时的xn值的误差不一定能保证小于v当|f(xn)|1时, 2 ffxfxn因为2,所以迭代终止时的xn值的误差比实际要求的误差要求小，因而产生不

17、必要的迭代运算。362.4 迭代序列的误差估计例例2.32.3： 对下列方程对下列方程 x-sinx=0.25,用迭代法用迭代法,取三位小数取三位小数计算其近似根计算其近似根,并估计其误差并估计其误差.方程可变形为方程可变形为 x= sinx +0.25由作图法可粗略知由作图法可粗略知 0.9,1.5因为因为 (x)=sinx+0.25, (x)=cosx当当0.9x1.5时时有有 |(x)|cos0.90.62=q1所以迭代过程收敛。取所以迭代过程收敛。取x0=1.2、xn+1=sinxn+0.25计计算得算得x4如下如下：yx0y1(x)=xy2(x)=sinx+0.250.91.50.2

18、5解解: :372.4 迭代序列的误差估计x1=sin1.2+0.250=0.932+0.250=1.182x2=sin1.182+0.250=0.925+0.250=1.175x3=sin1.175+0.250=0.923+0.250=1.173x4=sin1.173+0.250=0.922+0.250=1.172x5=sin1.172+0.250= =1.172则有| x4- x3 |=0.001,按照上界公式1得 | x4-|0.62/(1-0.62)0.001=0.0016计算x4的舍入误差小于2 (0.5 10-3)=0.001得近似根x4的总误差为=0.0016+0.001 0.5

19、 10-2所以=1.17382.4 迭代序列的误差估计v如果把如果把f(x)=0或或x=(x)视为参数模型视为参数模型,则则=()就是就是参数模型精确解参数模型精确解。而迭代公式。而迭代公式xn+1= (xn)应视为应视为计计算模型算模型，它的精确解与参数模型的精确解间的方，它的精确解与参数模型的精确解间的方法误差可应用法误差可应用上界公式来估计上界公式来估计。v当舍入误差所引入的参数误差较小及计算模型近当舍入误差所引入的参数误差较小及计算模型近似解的舍入误差较小时，采用上界公式实现迭代似解的舍入误差较小时，采用上界公式实现迭代终止的控制才是合适的。终止的控制才是合适的。v多次迭代中，舍入误差

20、仍存在，虽然迭代法可逐多次迭代中，舍入误差仍存在，虽然迭代法可逐次逼近解，由于受字长的限制，不可能达到任意次逼近解，由于受字长的限制，不可能达到任意的精度。因此迭代控制中的精度要求要适当，否的精度。因此迭代控制中的精度要求要适当，否则可能造成迭代过程出现死循环的情况则可能造成迭代过程出现死循环的情况392.4 迭代序列的误差估计v最后一次迭代计算的舍入误差在舍入误差积累中最后一次迭代计算的舍入误差在舍入误差积累中占主部地位；因此最终迭代值的总误差应由迭代占主部地位；因此最终迭代值的总误差应由迭代公式的误差上界公式的误差上界 和最后一次迭代计算的舍入误差和最后一次迭代计算的舍入误差之和组成。之和

21、组成。nnnnnqaxqaxqax )(1403 3 迭代公式的改进迭代公式的改进使迭代过程收敛或提高收敛的速度,可以从以下方面来改进:v提高初值的精度提高初值的精度v减小减小q q的值的值v提高收敛的阶数提高收敛的阶数r r413.1 改变等效方程法之一改变等效方程法之一思路思路: 重新构造等效方程3.1.1 方法描述从从x= (x)出发出发,两边同时减去两边同时减去x,得到一个与得到一个与 f(x)=0等价的方程等价的方程:(1-)x= (x)-x当当0和和1时时,上式化为上式化为 xxxx 11 xxx,11 可可取取42nnnxxx111可建立如下的迭代公式可建立如下的迭代公式:解x=

22、e-x之根 55. 061. 06 . 05 . 0 eexex 粗取=-0.6，建立如下迭代公式 nxnxnxexexnn6 . 06 . 116 . 0)6 . 0(111 仍取x0=0.5，逐次计算得 x1=0.56658 x2=0.56713 x3=0.56714例例2.32.3：解解: :因0.5,0.6,所以有433.1.2 埃特肯加速法埃特肯加速法思路思路: 针对前一种方法,如何找到合适的 1. 方法描述 将方程将方程f(x)=0作作x= (x)分解后分解后,由由x0出发出发,迭代二次得到迭代二次得到三个相邻迭代值三个相邻迭代值: x0 , y1= (x0) ,z1= (y1),

23、 取以下平均变取以下平均变化率作为化率作为=1 :010101111xyxyxyyz将x0和=1代入nnnxxx111443.1.2 埃特肯加速法埃特肯加速法 110211000111001111211zyxyzxxxyyzxxyyzx 求得求得x1的基础上的基础上,继续求取三个相邻迭代值继续求取三个相邻迭代值,得到得到x1 , y2= (x1) ,z2= (y2)，建立建立 111212222xyxyxyyz以x1和2代入公式计算出 221222122zyxyzxx 450 x)(01xy )(11yz 010101111xyxyxyyz 110211000111001111211zyxyz

24、xxxyyzxxyyzx )(12xy )(22yz 111212222xyxyxyyz221222122zyxyzxx nnnxxx 111463.1.2 埃特肯加速法埃特肯加速法 以下递推，直到|xn+1-xn |之差满足精度要求为止。其一般公式可归纳为 .3 , 2 , 1 , 0,2112111nxzyxyzxxnnnnnnnn其中 nnxy 1 11 nnyz xxxxxxx 22473.1.2 埃特肯加速法埃特肯加速法1.埃肯特加速法的几何意义xyy = xy = (x)x*x0A(x0, y1)y1z11xB(y1, z1)埃特肯法就是埃特肯法就是用直线代替曲用直线代替曲线求取交

25、点的线求取交点的迭代方法迭代方法C(x1, x1)01110111xyyzxxyx 110211012zyxyzxx 483.1.2 埃肯特加速法埃肯特加速法56762. 054524. 060653. 025 . 060653. 054524. 05 . 021x y2= e-0.56762 = 0.56687,z2= e-0.56687 = 0.5673056714. 056730. 056687. 0256762. 056687. 056730. 056762. 022x用埃肯特加速法解x=e-x之根例例2.62.6：解解: :取x0=0.5,按照题意， ，埃特肯法公式得:x0= 0.5

26、, y1= e-0.5 = 0.60653, z1= e-0.60653 = 0.54524xex )( 493.2 改变方程式法之二改变方程式法之二1. 方法描述由由f(x) =0得得 f(x) =0, 为为待定常数待定常数。可得可得 x=x- f(x)= (x) (3.2.1)选择选择值值，使使| | (x)|1，以达到收敛的目的以达到收敛的目的由由3.2.13.2.1可知可知: :| | (x) |=|1- f(x)|对对f(x), ,x a,b内的值做估计内的值做估计0mf(x)M503.2 改变方程式法之二改变方程式法之二1. 方法描述Mmmmmmx202022m0111111, 1

27、 同理：同理：即要求即要求）（要使要使513.2 改变方程式法之二改变方程式法之二1. 方法描述由由| |(x)|=|1- f(x) |知知，若取若取 =1/ f(x)可获得可获得较小的较小的| |(x)|值值 通常取通常取f(x)=(m+M)/2 ，则则*= 2/(m+M),得以下得以下迭代公式迭代公式xn+1=xn- f(xn)= (xn) : :)(21nnnxfMmxx 523.2 改变方程式法之二改变方程式法之二例例2.72.7： 用上述迭代法解x=e-x之根解解: :(1) 0.5,0.6,及及f(x)=x- e-x , f(x)= 1+ e-x估计估计m与与M： m= f(0.6

28、)=1+ e-0.6 =1.55M= f(0.5)=1+ e-0.5 =1.61 (4)计算结果得计算结果得(2)因因 *= 2/(m+M) =2/(1.55+1.61)=0.63(3)建立迭代公式建立迭代公式 xn+1= =xn-0.63(-0.63(xn - e-Xn ) )x0=0.5,=0.5,x1=0.56711, =0.56711, x2=0.56714=0.56714533.2 改变方程式法之二改变方程式法之二2.1 2.1 方法描述方法描述2. 方程式法二的演化由公式由公式3.2.13.2.1可知可知则则: : (x) = xf(x)=x- (x)(111xxx由改变方程式法一

29、可知由改变方程式法一可知: :比较式比较式3.2.2,3.2.33.2.2,3.2.3可知可知: :(3.2.3) 11 11 )()1()()(xxxxxxxfxx 543.2 改变方程式法之二改变方程式法之二2.2 2.2 迭代公式迭代公式2. 方程式法二的演化 )(1)(111nnnnnnxyxxxx ,.2,1 ,0),(1 nxynn 它实际上是相邻两个迭代值它实际上是相邻两个迭代值xn、 (xn), ,作作(1- )与与之之比的组合公式比的组合公式)()1(xxx 553.2 改变方程式法之二改变方程式法之二如取=1/2,则 xn+1 =(xn + (xn)/2=(xn +yn+1

30、 )/2 yn+1 = (xn)v它是将相邻二个迭代值的算术平均值作为新它是将相邻二个迭代值的算术平均值作为新的近似值的近似值。v当迭代序列中的各次近似值在根的两边往复当迭代序列中的各次近似值在根的两边往复地趋近时地趋近时, ,用该式能加快收敛用该式能加快收敛, ,和防止死循环和防止死循环的出现的出现 563.3 牛顿迭代法牛顿迭代法3.3.1 方法描述 在在改变方程式法二的迭代公式改变方程式法二的迭代公式:xn+1=xn- f(xn)中中,取取=1/ f (xn).得到得到xn+1=xn- f(xn)/ f (xn),这就是这就是牛顿迭代法牛顿迭代法。yx0 xny =f(x)xn+1xn+

31、2 573.3 牛顿迭代法牛顿迭代法3.3.1 方法描述vy=f(xn)+ f (xn)(x- xn)是y=f(xn)在点(xn , f(xn)的切线方程.设其与x轴交点为(xn+1, 0),代入切线方程xn+1=xn-f(xn)/ f (xn)v与牛顿迭代法完全一致,因此又称为切线法583.3 牛顿迭代法牛顿迭代法3.3.1 方法描述v当f (xn)0时，重新选取初值。 )()(2)()(20)(21)(2nnnnnnnnnnnxfxfxxxfxfxxxxxfxf求求解解该该方方程程可可知知：59 3.3 牛顿迭代法牛顿迭代法例例2.82.8： 用切线法法解x=e-x之根解解: :因因f(x

32、)=xex 1, f (x)=ex ( x+1)建立迭代公式建立迭代公式nxnnnxxnnnxexxxeexxxnnn 1)1(11f(xn)f (xn)取x0=0.5,逐次计算得x1=0.57102, x2=0.56716， x3=0.56714 f (xn)603.3.2 牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的收敛性1 牛顿迭代法的收敛阶数 牛顿迭代法的收敛阶数为牛顿迭代法的收敛阶数为2；在重根情况下，；在重根情况下，收敛阶数为收敛阶数为1。222)()()()()()()(1)()()()(xfxfxfxfxfxfxfxxfxfxx 收敛的条件：1)()(0)(0 xxxfxf 能保证：能保证：

33、充分接近精确解时，才充分接近精确解时，才连续，连续，且且613.3.2 牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的收敛性1 牛顿迭代法收敛的充分条件 设设f(x)在在a,b上二阶导数存在上二阶导数存在,且满足且满足(1) f (a) f (b) 0；有根有根产生的序列单调有产生的序列单调有界，保证收敛。界，保证收敛。(4)在整个在整个a, b上上 f ”不变号不变号根唯一根唯一623.3.2 牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的收敛性yx0B=x0f(x)0 xn+1 ayx0B=x0f(x)0a=x0yx0Bf(x)0a =x0633.3.2 牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的收敛性xy0 x0 xy0 x0不满

34、足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况。找不到根或死循环的情况。（1）（）（2）（）（3）不满足。）不满足。（3）（）（4）不满足。）不满足。643.3.3 切线（牛顿）法的变形使用切线（牛顿）法的变形使用取取f (xn)为固定值，例如取为固定值，例如取f (x0) ，这时迭代，这时迭代公式成为公式成为xn+1=xn- f(xn)/ f (x0),称为称为简化切线法简化切线法，或或固定斜率的切线法固定斜率的切线法1. 简化切线法yx0 x0y =f(x)x1x2 v几何意义653.3.3 切线法的变形使用切线法的变形使用v

35、推广的简化切线法当取当取f (xn)=C(任意不为任意不为0的常数的常数),迭代公式成为迭代公式成为xn+1=xn- f(xn)/ C,称为推广的简化切线法称为推广的简化切线法.C值应满足值应满足|(x)|=|1- f (x)/ C |01- f(x)/ C 0-(1- f(x)/ C) 1解得解得0f (x)/ C |f(x1)|单调下降的目的。称单调下降的目的。称|f(xn+1)|0,且且f(x1)f(x0)0设设f(x)在在a,b上二阶导数存在上二阶导数存在,且满足且满足(1) f(a)f(b)0(2) f(x)0(3) f(x)不变号不变号 有根 根唯一产生的序列单调有界，保证收敛。产

36、生的序列单调有界，保证收敛。853.4 弦截法弦截法 0.5,0.6, f (x)=ex(1+x), f (x)=ex(2+x) f(0.5)f (0.5)0,56532. 0)6 . 0()5 . 0()6 . 0(5 . 0)5 . 0(6 . 02 ffffx例例2.102.10：用单点弦截法求用单点弦截法求f(x)=xex-1=0的根的根解解: :取取0.6,f(0.6)为不动点，则为不动点，则x0=0.6,x1=0.5 ，按照，按照公式公式)()()()(0001xfxfxfxxfxxnnnn56709. 0)6 . 0()()6 . 0(56532. 0)(6 . 0223 fxf

37、fxfxx4=0.56714, x5=0.56714863.4 弦截法弦截法3.4.2 双点弦截法如果把单点弦截法中的不动点改为变动点如果把单点弦截法中的不动点改为变动点 (xn-1 , yn-1 ),则得则得)()()()()()()(111111 nnnnnnnnnnnnnxfxfxfxxfxxfxfxxxfxx）（)()()()()()()(000001xfxfxfxxfxxfxfxxxfxxnnnnnnnn 873.4 弦截法弦截法v双点弦截法的收敛性双点弦截法的收敛性 当当f(x)在区间在区间a,b上满足：上满足：(1)(2) f(a) f(b)0 xn xn+1893.4 弦截法弦

38、截法例例2.102.10：用双点弦截法求用双点弦截法求f(x)=xex-1=0的根的根解解: :取取x0=0.6,x1=0.5 , ,按公式按公式00503. 0)(56532. 0)()()()(20101102 xfxfxfxfxxfxx， x0=0.5, f(x0)=-0.17564 x1=0. 6, f(x1)=0.0932700015. 0)(56709. 0)()()()(31212213 xfxfxfxfxxfxx，00001. 0)(56714. 0)()()()(42323324 xfxfxfxfxxfxx，56714. 0)()()()(3434435 xfxfxfxxfx

39、x90v因为因为(x)=1/(x)，所以推得，所以推得 (x)=1/(x)1/K1, xa,b。将方程右端。将方程右端(x)中中的的x反解得到它的反函数反解得到它的反函数x=(x).3.5 |(xn)|1的处理方法914 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法1.方法描述 0),.,(.0),.,(0),.,(21212211nnnnxxxfxxxfxxxf ),.,(.),.,(),.,(2121222111nnnnnxxxxxxxxxxxx v方程变形方程变形924 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法v设设x(0)=(x1(0), x2(0), xn(0)为根为根x*的零次近似，的

40、零次近似，由由xi(0)出发按照下式进行迭代：出发按照下式进行迭代： ),.,(.),.,(),.,()1()1(2)1(1)()1()1(2)1(12)(2)1()1(2)1(11)(1knkknknknkkkknkkkxxxxxxxxxxxx v当当n时，时， xi(k)有极限有极限x*存在。存在。93v设设R为含根为含根x* =(x1*, x2*, xn* )的闭域，并且在迭代的闭域，并且在迭代过程中迭代点留在该闭域中，记过程中迭代点留在该闭域中，记 |),.,(|max),.,(21,21jniRxjinxxxxaxxxX 4 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法2.收敛条件及误差

41、估计944 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法有以下收敛的充分条件及相应的误差估计公式：njijia11max|max1|max)0()1(*)(iiikikiixxxx 充分条件充分条件1: 1:若若 ,则迭代过程收敛则迭代过程收敛,且且行求和的行求和的最大值最大值954 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法充分条件充分条件2:2: niiikniikixxxx1)0()1(1*)(|1| niijja11max若若 ,则迭代过程收敛则迭代过程收敛,且且列求和的列求和的最大值最大值964 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法11,2njiijap若若 ,则迭代过程收敛则迭代过程

42、收敛,且且niiikniikixxppxx12)0()1(12*)()(1)(充分条件充分条件3:3:各元素平方各元素平方和的开方。和的开方。97 0152),(0lg3),(2221xxyxyxfyxxyxf 通过画图法可以知道其中一个根的初值可通过画图法可以知道其中一个根的初值可取取(x0,y0)= =(3.4,2.2). 方程组可以改写为方程组可以改写为: : ),(521),(lg3212yxxxyyxxyx 4 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法例例2.112.11：求下列方程组的根求下列方程组的根解解: :980|, 9 . 1|, 4 . 4|, 4 . 0|,),(222

43、),(221),(112),(11100000000 yxyxyxyxijyaxayaxaa 的的近近似似值值可可求求0, 21,2,lg322211yxxyyexx4 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法则则99v1=a11+a212.3v2=a12+a224.4 v=max(v1, v2) 4.41因为因为v 1，可能不收敛。可能不收敛。方程组方程组重新改写重新改写为为: ),(lg3),(21)5(21yxxxyyxyxx 4 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法按照按照充分条件充分条件2 2判断：判断：1000,lg32lg31,1)5(42,1)5(4)5(22211 yxx

44、exxyxxyyxyx 0|,309. 0|,248. 0|,525. 0|,),(),(222),(221),(112),(1110000000000 yxyxyxyxyaxayaxayx 处处的的值值是是它它们们在在4 联立方程组的迭代解法联立方程组的迭代解法则则101 )1()1()()1()1()(lg321)5(kkkkkkxxyyxx计算结果为计算结果为x*=3.487, y*=2.262。 则则 v1=a11+a210.834v2=a12+a220.248 v=max(v1, v2) 0.8341符合充分条件符合充分条件2 2，按照下式一定收敛，按照下式一定收敛4 联立方程组的迭

45、代解法联立方程组的迭代解法按照按照充分条件充分条件2 2判断：判断：1025 联立方程组的延拓解法5.1 同伦方程组及其建立方法（扩大收敛域的求根方法）v同伦方程组同伦方程组 H(X,t)=0（1）H(X(0),0)=0，（2） H(X,1)= F(X)=0, 满足上述条件的方程组为满足上述条件的方程组为同伦方程组同伦方程组. .X(0)=(x1(0), x2(0), ,xn(0)是任意取定的一组初值,即当t=0时,H(X,0)是具有已知解X(0)的联立方程组。当t=1时,H(X,1)=0与原联立方程组F(X)相同。103)()()(0)()1 ()()()1 ()(),() 0() 0(XF

46、XFXXFtXFXtXtFtXH )(),()()()0 ,(), 0, 0)()(),()0()0(XFtXHXFXFXHtXFeXFtXHtt5.1 同伦方程组及其建立方法v同伦方程组的构造同伦方程组的构造或或)(),(,2XFtXHt 变变为为：条条件件1045.2 求解方法(1)将将t的值域的值域0,1等距或不等距的划分为等距或不等距的划分为(为为将已知解将已知解X(0)逐步引渡到逐步引渡到F(X)=0的未知解的未知解) 0t0 t1tN-1 tN=1代入同伦方程组得代入同伦方程组得 Hi=H(X, ti)=0 (i=1,2,N)(2)以下取以下取X(0)作为作为H1=0的初值，用某种迭代法的初值，用某种迭代法求解出求解出H1=0的解的解X(1)。105(4)当上述同伦方程组的解为当上述同伦方程组的解为t的连续时，则的连续时，