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文档简介
1、专题2.5 圆锥曲线题组一、 圆锥曲线中的直线问题-试卷1-1、(2022·江苏南京市高淳高级中学高三10月月考)如图,在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,上顶点到右焦点的距离为.过点作不垂直于轴,轴的直线,交椭圆于,两点,为线段的中点,且.(1)求椭圆的方程;(2)求实数的取值范围;(3)延长交椭圆于点,记与的面积分别为,若,求直线的方程.【解析】【分析】(1)由椭圆的离心率可得,由上顶点到右焦点的距离为可得a值,从而可求得椭圆方程;(2)利用点差法及直线垂直的关系,即可求得y02m1,x02(12m)(2m2),由x020即可求得m的取值范围;(3)设B点坐标,代入椭圆方程,根
2、据直线的斜率公式即可求得,根据三角形的面积公式,即可求得m的值,从而可得直线AB的方程;【详解】(1)由椭圆的离心率,则,由上顶点到右焦点的距离为,即,则,则椭圆的标准方程:;(2)由,设,且,由,在椭圆上,两式相减得:,由,则,整理得:,由,则,整理得:,由解得:,解得:,的取值范围:;(3)设,由在椭圆上,由,则,即,代入上式消去,得,所以,由(2)可知:,由,即,解得:,此时,解得:,此时点坐标,直线方程为或.1-2、【2022·广东省深圳市外国语学校第一次月考10月】已知椭圆C的中心为坐标原点,且以直线(mR)所过的定点为一个焦点,过右焦点F2且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的
3、线段长为2.(1)求椭圆C的标准方程;.(1)设点A,B分别是椭圆C的左右顶点,P,Q分别是椭圆C和圆O上的动点(P,Q位于y轴两侧),且直线PQ与x轴平行,直线AP,BP分别与y轴交于不同的两点M,N,求证QM与QN所在的直线互相垂直.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意,得到和,联立方程组,求得的值,即可求解;(2)设,得到直线的方程,求得和,得到和,结合向量的数量积,即可求解.【详解】(1)由题意,直线过定点,即椭圆C的一个焦点为,设椭圆,则,因为过右焦点F2且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2,可得,即,联立方程组,可得,所以椭圆C的方程为.(2)由(
4、1)知,可得,设,则,且,则直线AP的方程为,则,直线BP的方程为,则,所以,所以,所以,即QM与QN所在的直线互相垂直.1-3、(2022·湖南省雅礼中学开学考试-)(12分)已知椭圆C:1(ab0)的焦距与椭圆的焦距相等,且C经过抛物线的顶点(1)求C的方程;(2)若直线ykxm与C相交于A,B两点,且A,B关于直线l:xty10对称,O为C的对称中心,且AOB的面积为,求k的值【解析】(1)由题意:解得:所以C的方程为;(2)因为直线ykxm与C相交于A,B两点,且A,B关于直线l:xty10对称,所以kt,联立,可得,设AB的中点为则D8(2k24m2)0,x0,y0kx0m
5、,因为在直线l:xky10上,所以,即,所以D8(k2)0,即k22,所以,则O到直线AB的距离,所以,解得:1-4、(2022·江苏南京市中华中学高三10月月考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为(1)求椭圆C的标准方程;(2)若M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点,设P(4,0),连接PM交椭圆C于另一点E求证:直线NE过定点B,并求出点B的坐标【解析】(1)设椭圆C的标准方程为:(ab0),焦距为2c,由题意得,a2,由,可得c1,则b2a2c23,所以椭圆C的标准
6、方程为;(2)证明:根据对称性,直线NE过的定点B定在x轴上,由题意可知,直线PM的斜率存在,设直线PM的方程为yk(x4),联立,消去y得到,设点M(x1,y1),E(x2,y2),则N(x1,y1),所以x1x2,x1x2,所以NE的方程为yy2(xx2),令y0,得xx2,将代上式并整理,得,整理得,x,所以直线NE与x轴相交于定点B(1,0) 1-5、(2021·广东华侨中学高三月考)已知椭圆:的左右顶点分别为,右焦点为,点在椭圆上(1)求椭圆的方程;(2)若直线:与椭圆交于,两点,已知直线与相交于点,证明:点在定直线上,并求出此定直线的方程【答案】(1);(2)证明见解析,
7、定直线的方程为: x=1.【分析】(1) 由题意知:即可求出a,b即可;(2) 由椭圆对称性知G在上,由特殊点求出x=1,再求出一般性也成立即可.【详解】解:(1)因为,所以c=1,由题意知:,解得,则椭圆的方程为:.(2)由椭圆对称性知G在上,假设直线 l过椭圆上顶点,则,则,而,其交点,所以G在定直线x=1上;当M不在椭圆顶点时,设,由,整理得:,则,当x=1时,得,得,得,上式显然成立,所以G在定直线x=1上.题组二、 圆锥曲线中的最值与范围问题-试卷2-1、(2022·江苏第一次百校联考)(本题满分12分)如图,已知椭圆C1:,椭圆C2:,A(2,0),B(2,0)P为椭圆C
8、2上一动点且在第一象限内,直线PA,PB分别交椭圆C1于E,F两点,连结EF交x轴于Q点过B点作BH交椭圆C1于G,且BHPA(1)求证:直线GF过定点,并求出该定点;(2)若记P,Q点的横坐标分别为xp,xQ,求的取值范围【解析】(1)证明:设,则,且1,则kPA·kPB,即kBF·kBG 2分当直线GF的斜率存在时,设GF的方程为yk(xt)(k0),则代入消元,得(4k23)x28k2tx4k2t2120(D0),设G,则由kBF·kBG·,得,约去k2,并化简得,解得t1(t2不符合题意,舍去)5分当直线GF的斜率不存在时,设GF的方程为xm,利
9、用kBF·kBG,可解得m1综上直线GF过定点(1,0) 6分(2)解:设PA的方程为yk1(x2)(k10),则解得E点坐标为(,)由k1,则E点坐标为(同理,记PB斜率为k1,则F点坐标为(,)由k2,则F点坐标为( 8分则EF的斜率为kEF,所以直线EF的方程为yx 10分-令y0,得x则xPxQx022,当且仅当x0,即x0时取等号其中0x02,所以xPxQ的取值范围是2,¥) 12分2-2、(2022·江苏如皋期初考试-)已知C为圆(x1)2y212的圆心,P是圆C上的动点,点M(1,0),若线段MP的中垂线与CP相交于Q点.(1)当点P在圆上运动时,求
10、点Q的轨迹N的方程;(4分)(2)过点(1,0)的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A,B两点,且与圆O:x2y22相交于E,F两点,求|AB|·|EF|2的取值范围(8分)【考点】轨迹方程的求解、直线与椭圆的位置关系应用【解析】(1) 由题意知MQ是线段AP的垂直平分线,所以|CP|QC|QP|QC|QA|2>|CA|2,所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为2,长轴长为2的椭圆,所以a,c1,b,所以椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知,椭圆的右焦点为(1,0),若直线l的斜率不存在,直线l的方程为x1,则A,B,E(1,1),F(1,1),所以|AB|,|EF|24,|
11、AB|·|EF|2.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2)联立可得(23k2)x26k2x3k260,则x1x2,x1x2,所以|AB|.因为圆心O(0,0)到直线l的距离d,所以|EF|24,所以|AB|·|EF|2··.因为k20,),所以|AB|·|EF|2.综上,|AB|·|EF|2.2-3、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知点A,B在椭圆上,点A在第一象限,O为坐标原点,且.(1)若,直线的方程为,求直线的斜率;(2)若是等腰三角形(点O,A,B按顺时针排列)
12、,求最大值.【解析】(1)由,得椭圆方程为.由得或因为点A在第一象限,所以.又,所以直线方程为,即.由得或所以,所以直线的斜率为.(2)法1:设直线的斜率为,则直线的斜率为.因为是等腰直角三角形(点O,A,B按顺时针排列),所以设.又,所以,得.所以,即.又由,得,所以.因为点,在椭圆上,所以所以.整理得.所以,即.因为,所以,即,所以,当时,取最大值.法2:设直线的斜率为,倾斜角为.因为是等腰直角三角形(点O,A,B按顺时针排列),且,所以直线的斜率为或.所以.设,.由得.由得.又,所以,得,.整理得,所以,即,所以.因为,所以,即,所以,当时,取最大值.题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题-
13、试卷3-1、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(ab0)的左,右顶点分别为A,BF是椭圆的右焦点,3,·3(1)求椭圆C的方程;(2)不过点A的直线l交椭圆C于M,N两点,记直线l,AM,AN的斜率分别为k,k1,k2若k(k1k2)1,证明直线l过定点,并求出定点的坐标【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系:定点问题-试卷【解析】(1)由题意,知A(a,0),B(a,0),F(c,0)因为3,·3,所以2分解得从而b2a2c23所以椭圆C的方程4分(2)设直线l的方程为ykxm,M(x1,y1
14、),N(x2,y2)因为直线l不过点A,因此2km0由得(则,x1x26分所以k1k2由k(k1k2)1,可得3km2k,即m5k10分-故l的方程为ykx5k,恒过定点(5,0)12分3-2、(2022·江苏如皋期初考试-)已知双曲线:的焦距为,直线()与交于两个不同的点、,且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.(1)求双曲线的方程;(2分)(2)若坐标原点在以线段为直径的圆的内部,求实数的取值范围;(4分)(3)设、分别是的左、右两顶点,线段的垂直平分线交直线于点,交直线于点,求证:线段在轴上的射影长为定值.(6分)【考点】双曲线的综合应用:求标准方程、直线与双曲线
15、的位置关系应用【解析】(1)当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形,由根据双曲线的性质得,又焦距为,则, 解得,则所求双曲线的方程为. (2)设,由,得, 则,且,又坐标原点在以线段为直径的圆内,则,即,即,即,则, 即,则或,即实数的取值范围. (3)线段在轴上的射影长是. 设,由(1)得点,又点是线段的中点,则点, 直线的斜率为,直线的斜率为 ,又,则直线的方程为,即,又直线的方程为,联立方程,消去化简整理,得,又,代入消去,得,即,则,即点的横坐标为, 则.故线段在轴上的射影长为定值.3-3、【2022·广东省广州市10月调研】已知抛物线的焦点为点在上, (1)求;(2
16、)过作两条互相垂直的直线,与交于两点,与直线交于点,判断是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由【答案】(1) ;(2)是定值,.【解析】【分析】(1)由题知 ,由焦半径公式得 ,两式联立即可求得答案;(2)先讨论当直线与轴平行时得,再讨论当直线与轴不平行且斜率存在时,证明,再设方程,联立方程,利用向量方法求即可.【详解】解:(1)因为点在上,所以 ,因为,所以由焦半径公式得 ,由解得 所以. (2)由(1)知抛物线的方程为,焦点坐标为,当直线与轴平行时,此时的方程为,的方程为,此时为等腰直角三角形且,故.当直线与轴不平行且斜率存在时,若为定值,则定值比为,下面证明.要证明,只需证明,只需
17、证,即,设直线的斜率为,则直线的方程为,直线的方程为,联立方程得,设,则,所以,联立方程得,所以,所以,所以,即,所以.综上,为定值,.题组四、 圆锥曲线中的探索性问题-试卷4-1、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(12分)已知椭圆E:(ab0)的离心率为,点A(0,1)是椭圆E短轴的一个四等分点(1)求椭圆E的标准方程;(2)设过点A且斜率为k1的动直线与椭圆E交于M,N两点,且点B(0,2),直线BM,BN分别交C:于异于点B的点P,Q,设直线PQ的斜率为k2,求实数,使得k2k1恒成立【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、椭圆与直线的位置关系:与斜率相关的恒成立问题-试卷【解析】(1)由题意,解得b2,设椭圆半焦距为c,则,即,解得8椭圆的标准方程为 4分(2)设,直线MN方程为方法一:直线BM方程为,与联立得由xP0,解得又1,即x1282y12,代入上式,得即点,同理,点,将代入上式,得k2即k2k1, 12分方法二:与联立得:,则kBMkBN×设直线PQ方程为,与联立得:则kBPkBQ×由,即,解得 12分4-2、(2021·深圳市龙岗区平冈中学高三月考)在平面直角坐标系中,已知椭圆的右顶点为,且其两个焦点与短轴顶点相连形成的
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