高考数学总复习专题2.5 圆锥曲线 （解析版）新课标试卷

1、专题2.5 圆锥曲线题组一、 圆锥曲线中的直线问题-试卷1-1、(2022·江苏南京市高淳高级中学高三10月月考)如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，上顶点到右焦点的距离为.过点作不垂直于轴，轴的直线，交椭圆于，两点，为线段的中点，且.（1）求椭圆的方程；（2）求实数的取值范围；（3）延长交椭圆于点，记与的面积分别为，若，求直线的方程.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率可得，由上顶点到右焦点的距离为可得a值，从而可求得椭圆方程；（2）利用点差法及直线垂直的关系，即可求得y02m1，x02（12m）（2m2），由x020即可求得m的取值范围；（3）设B点坐标，代入椭圆方程，根

2、据直线的斜率公式即可求得，根据三角形的面积公式，即可求得m的值，从而可得直线AB的方程；【详解】（1）由椭圆的离心率，则，由上顶点到右焦点的距离为，即，则，则椭圆的标准方程：；（2）由，设，且，由，在椭圆上，两式相减得：，由，则，整理得：，由，则，整理得：，由解得：，解得：，的取值范围：；（3）设，由在椭圆上，由，则，即，代入上式消去，得，所以，由（2）可知：，由，即，解得：，此时，解得：，此时点坐标，直线方程为或.1-2、【2022·广东省深圳市外国语学校第一次月考10月】已知椭圆C的中心为坐标原点，且以直线（mR）所过的定点为一个焦点，过右焦点F2且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的

3、线段长为2.（1）求椭圆C的标准方程；.（1）设点A，B分别是椭圆C的左右顶点，P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于不同的两点M，N，求证QM与QN所在的直线互相垂直.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求解；（2）设，得到直线的方程，求得和，得到和，结合向量的数量积，即可求解.【详解】（1）由题意，直线过定点，即椭圆C的一个焦点为，设椭圆，则，因为过右焦点F2且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2，可得，即，联立方程组，可得，所以椭圆C的方程为.（2）由（

4、1）知，可得，设，则，且，则直线AP的方程为，则，直线BP的方程为，则，所以，所以，所以，即QM与QN所在的直线互相垂直.1-3、(2022·湖南省雅礼中学开学考试-)(12分)已知椭圆C：1(ab0)的焦距与椭圆的焦距相等，且C经过抛物线的顶点(1)求C的方程；(2)若直线ykxm与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：xty10对称，O为C的对称中心，且AOB的面积为，求k的值【解析】(1)由题意：解得：所以C的方程为；(2)因为直线ykxm与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：xty10对称，所以kt，联立，可得，设AB的中点为则D8(2k24m2)0，x0，y0kx0m

5、，因为在直线l：xky10上，所以，即，所以D8(k2)0，即k22，所以，则O到直线AB的距离，所以，解得：1-4、(2022·江苏南京市中华中学高三10月月考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P(4，0)，连接PM交椭圆C于另一点E求证：直线NE过定点B，并求出点B的坐标【解析】(1)设椭圆C的标准方程为：(ab0)，焦距为2c，由题意得，a2，由，可得c1，则b2a2c23，所以椭圆C的标准

6、方程为；(2)证明：根据对称性，直线NE过的定点B定在x轴上，由题意可知，直线PM的斜率存在，设直线PM的方程为yk(x4)，联立，消去y得到，设点M(x1，y1)，E(x2，y2)，则N(x1，y1)，所以x1x2，x1x2，所以NE的方程为yy2(xx2)，令y0，得xx2，将代上式并整理，得，整理得，x，所以直线NE与x轴相交于定点B(1，0) 1-5、（2021·广东华侨中学高三月考）已知椭圆：的左右顶点分别为，右焦点为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程【答案】(1);(2)证明见解析,

7、定直线的方程为: x=1.【分析】(1) 由题意知:即可求出a,b即可;(2) 由椭圆对称性知G在上,由特殊点求出x=1,再求出一般性也成立即可.【详解】解:(1)因为,所以c=1,由题意知:,解得,则椭圆的方程为:.(2)由椭圆对称性知G在上,假设直线 l过椭圆上顶点,则,则,而,其交点,所以G在定直线x=1上;当M不在椭圆顶点时,设,由,整理得:,则,当x=1时,得,得,得,上式显然成立,所以G在定直线x=1上.题组二、 圆锥曲线中的最值与范围问题-试卷2-1、(2022·江苏第一次百校联考)(本题满分12分)如图，已知椭圆C1：，椭圆C2：，A(2，0)，B(2，0)P为椭圆C

8、2上一动点且在第一象限内，直线PA，PB分别交椭圆C1于E，F两点，连结EF交x轴于Q点过B点作BH交椭圆C1于G，且BHPA(1)求证：直线GF过定点，并求出该定点；(2)若记P，Q点的横坐标分别为xp，xQ，求的取值范围【解析】(1)证明：设，则，且1，则kPA·kPB，即kBF·kBG 2分当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为yk(xt)(k0)，则代入消元，得(4k23)x28k2tx4k2t2120(D0)，设G，则由kBF·kBG·，得，约去k2，并化简得，解得t1(t2不符合题意，舍去)5分当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程为xm，利

9、用kBF·kBG，可解得m1综上直线GF过定点(1，0) 6分(2)解：设PA的方程为yk1(x2)(k10)，则解得E点坐标为(，)由k1，则E点坐标为(同理，记PB斜率为k1，则F点坐标为(，)由k2，则F点坐标为( 8分则EF的斜率为kEF，所以直线EF的方程为yx 10分-令y0，得x则xPxQx022，当且仅当x0，即x0时取等号其中0x02，所以xPxQ的取值范围是2，¥) 12分2-2、(2022·江苏如皋期初考试-)已知C为圆(x1)2y212的圆心，P是圆C上的动点，点M(1,0)，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点.(1)当点P在圆上运动时，求

10、点Q的轨迹N的方程；（4分）(2)过点(1,0)的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：x2y22相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围（8分）【考点】轨迹方程的求解、直线与椭圆的位置关系应用【解析】(1) 由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|QC|QP|QC|QA|2>|CA|2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a，c1，b，所以椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1，0)，若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x1，则A，B，E(1,1)，F(1，1)，所以|AB|，|EF|24，|

11、AB|·|EF|2.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立可得(23k2)x26k2x3k260，则x1x2，x1x2，所以|AB|.因为圆心O(0,0)到直线l的距离d，所以|EF|24，所以|AB|·|EF|2··.因为k20，)，所以|AB|·|EF|2.综上，|AB|·|EF|2.2-3、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知点A，B在椭圆上，点A在第一象限，O为坐标原点，且.（1）若，直线的方程为，求直线的斜率；（2）若是等腰三角形(点O，A，B按顺时针排列)

12、，求最大值.【解析】（1）由，得椭圆方程为.由得或因为点A在第一象限，所以.又，所以直线方程为，即.由得或所以，所以直线的斜率为.（2）法1：设直线的斜率为，则直线的斜率为.因为是等腰直角三角形(点O，A，B按顺时针排列)，所以设.又，所以，得.所以，即.又由，得，所以.因为点，在椭圆上，所以所以.整理得.所以，即.因为，所以，即，所以，当时，取最大值.法2：设直线的斜率为，倾斜角为.因为是等腰直角三角形(点O，A，B按顺时针排列)，且，所以直线的斜率为或.所以.设，.由得.由得.又，所以，得，.整理得，所以，即，所以.因为，所以，即，所以，当时，取最大值.题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题-

13、试卷3-1、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(ab0)的左，右顶点分别为A，BF是椭圆的右焦点，3，·3(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2若k(k1k2)1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系：定点问题-试卷【解析】(1)由题意，知A(a，0)，B(a，0)，F(c，0)因为3，·3，所以2分解得从而b2a2c23所以椭圆C的方程4分(2)设直线l的方程为ykxm，M(x1，y1

14、)，N(x2，y2)因为直线l不过点A，因此2km0由得(则，x1x26分所以k1k2由k(k1k2)1，可得3km2k，即m5k10分-故l的方程为ykx5k，恒过定点(5，0)12分3-2、(2022·江苏如皋期初考试-)已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2分）（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；（4分）（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.（6分）【考点】双曲线的综合应用：求标准方程、直线与双曲线

15、的位置关系应用【解析】（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，又焦距为，则， 解得，则所求双曲线的方程为. （2）设，由，得， 则，且，又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，即，即，则， 即，则或，即实数的取值范围. （3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，又点是线段的中点，则点， 直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，则直线的方程为，即，又直线的方程为，联立方程，消去化简整理，得，又，代入消去，得，即，则，即点的横坐标为， 则.故线段在轴上的射影长为定值.3-3、【2022·广东省广州市10月调研】已知抛物线的焦点为点在上， （1）求;（2

16、）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由【答案】(1) ；（2）是定值，.【解析】【分析】（1）由题知 ，由焦半径公式得 ，两式联立即可求得答案；（2）先讨论当直线与轴平行时得，再讨论当直线与轴不平行且斜率存在时，证明，再设方程，联立方程，利用向量方法求即可.【详解】解：（1）因为点在上，所以 ，因为，所以由焦半径公式得 ，由解得 所以. （2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为，当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，此时为等腰直角三角形且，故.当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.要证明，只需证明，只需

17、证，即，设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程得，设，则，所以，联立方程得，所以，所以，所以，即，所以.综上，为定值，.题组四、 圆锥曲线中的探索性问题-试卷4-1、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(12分)已知椭圆E：(ab0)的离心率为，点A(0，1)是椭圆E短轴的一个四等分点(1)求椭圆E的标准方程；(2)设过点A且斜率为k1的动直线与椭圆E交于M，N两点，且点B(0，2)，直线BM，BN分别交C：于异于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k2，求实数，使得k2k1恒成立【考点】圆锥曲线中椭圆的标准方程、椭圆与直线的位置关系：与斜率相关的恒成立问题-试卷【解析】(1)由题意，解得b2，设椭圆半焦距为c，则，即，解得8椭圆的标准方程为 4分(2)设，直线MN方程为方法一：直线BM方程为，与联立得由xP0，解得又1，即x1282y12，代入上式，得即点，同理，点，将代入上式，得k2即k2k1， 12分方法二：与联立得：，则kBMkBN×设直线PQ方程为，与联立得：则kBPkBQ×由，即，解得 12分4-2、（2021·深圳市龙岗区平冈中学高三月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的