高考数学总复习专题4.4 概率与统计（解析版）新课标试卷

1、专题4.4 概率与统计题组一、 独立性检验与线回归方程及其应用1-1、【2022·广州市荔湾区上学期调研】某地投资兴建了甲、乙两个加工厂，生产同一型号的小型电器，产品按质量分为A，B，C三个等级，其中A，B等级的产品为合格品，C等级的产品为不合格品.质监部门随机抽取了两个工厂的产品各100件，检测结果为：甲厂合格品为95件，甲、乙两厂A级产品分别为20件、25件，两厂不合格品共20件.（1）根据所提供的数据，判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关?（2）每件产品的生产成本为50元，每件A，B等级的产品出厂销售价格分别为100元、80元，C等级的产品必须销毁，且销毁费用为

2、每件5元.用样本的频率代替概率，试比较甲、乙两厂盈利的大小.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有；（2）甲厂的盈利比乙厂大.【解析】【分析】（1）根据题意填写2×2列联表，再计算进行比较，即可得到答案.（2）设甲厂生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为50，30，-55，乙厂生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为50，30，-55，再分别计算和，即可得到答案.【详解】（1）2×2列联表如下合格品次品合计甲厂955100乙厂8515100合计18020200因为所以有95%的把握认为产品的合

3、格率与生产厂家有关.（2）对于甲厂，抽到的100件产品中有A等级产品20件，B等级产品75件，C等级产品5件，设生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为50，30，-55.X的分布列为5030-550.20.750.05因为，对于乙厂，抽到的100件产品中有A等产品25件，B等级产品60件，C等级产品15件，设生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为50，30，-55.的分布列为5030-550.250.60.15因为，所以甲厂盈利比乙厂大.1-2、（2021·广东华侨中学高三月考）某校对学生关于开展数学研究性学习的态度进行调查，随机抽调了人，他们数学成绩的平均分（单位：分）的频数分

4、布及对开展数学研究性学习赞成人数如表：成绩频数赞成人数（1）根据以上统计数据完成下面的列联表：能否有的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为分分界点有关？成绩不低于分的人数成绩低于分的人数合计赞成不赞成合计（2）若对数学成绩平均分在和的被调查人中各随机选取人进行追踪调查，求在选中的人中有人不赞成的条件下，赞成开展数学研究性学习的人数的分布列及数学期望附参考公式与数据：，【答案】（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，.【分析】（1）根据频数分布表中的数据填写列联表，再利用求出，然后利用临界值表进行判断，（2）由题意知，的所有可能取值为，然后求出各自对应的概率，从而可列出分

5、布列，求出数学期望【详解】解：（1）根据统计数据填写列联表，如下：成绩不低于分的人数成绩低于分的人数合计赞成不赞成合计4050由表中数据，计算，所以有的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为分分界点有关；（2）由题意知，的所有可能取值为，则，所以的分布列为：数学期望为1-3、（2021·珠海市第二中学高三月考）经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上处的直径)越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.下面给出了某林场在研究树高与胸径之间的关系时收集的某种树的数据.编号胸径树高编号胸径树高（1）根据表格绘制树高与胸径之间关系的散点

6、图；（2）分析树高与胸径之间的相关关系，并求关于的线性回归方程；（3）预测当树的胸径为时，树的高度约为多少.(精确)附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；参考数据：，.【答案】(1)作图见解析；(2)树高与胸径之间正相关，；(3)27.47cm【分析】(1)画直角坐标系，横轴为胸径，纵轴为树高，把12个以胸径为横坐标，树高为纵坐标的点在坐标系内描出即可得解；(2)观察散点图可得树高，胸径的相关性，再求出x，y的平均数，利用最小二乘法即可得回归直线方程；(3)回归直线方程中x取50.6即可得树高的预测值.【详解】(1)作出散点图如下：(2)由散点图可看出，当胸径x由小变大时，树高

7、y也由小变大，从而y与x之间是正相关关系，从而，从而关于的线性回归方程是；(3)当x=50.6时，即当树的胸径为时，树的高度约为cm.题组二、离散型随机变量分布列、期望2-1、【2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测】自2019年起，全国高中数学联赛试题-新规则如下：联赛分为一试加试（即俗称的“二试”）.一试考试-时间为8：009：20，共80分-钟，包括8道填空题-高考群：605697969-（每题8分）和3道解答题（分别为16分20分-20分-），满分120分-.二试考试-时间为9：4012：30，共170分-钟，包括4道解答题，涉及平面几何代数数论组合四个方面.前两题每题

8、40分-，后两题每题50分-，满分180分-.已知某校有一数学竞赛选手，在一试中，正确解答每道填空题-高考群：605697969-的概率为0.8，正确解答每道解答题的概率均为0.6.在二试中，前两题每题能够正确解答的概率为0.6，后两题每题能够正确解答的概率为0.5.假设每道题答对得满分，答错得0分-.（1）记该同学在二试中的成绩为，求的分布列；（2）根据该选手所在省份历年的竞赛成绩分布可知，若一试成绩在100分-（含100分-）以上的选手，最终获得省一等奖的可能性为0.9，试成绩低于100分-，最终获得省一等奖的可能性为0.2.求该选手最终获得省一等奖的可能性能否达到50%，并说明理由.（参

9、考数据：，结果保留两位小数）【详解】（1）依题意，的可能值为0，40，50，80，90，100，130，140，180.所以，.故的分布列为0405080901001301401800.040.120.080.090240.040.180.120.09（2）由题意可知，一试分数达到100分-及以上，则后三题解答题只错一题，前8题全对，或者是前面的8题填空题-高考群：605697969-只答错一题或者两题，解答题全部答对，亦或是全部答对.一试题-目全部答对的概率为，后三题解答题只错一题，前8题全对的概率为，前面的8题填空题-高考群：605697969-只答错一题或者两题，解答题全部答对的概率为，

10、所以一试获得100分-及以上的概率为，所以该同学获得省一等奖的概率为，所以该选手最终获得省一等奖的可能性达不到50%.2-2、【2022·广东省梅江市梅州中学10月月考】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)【答案】(1)0.108.(2) 1.8，0.72.【解析】【详解】试题-分析：

11、（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知XB(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 .（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为,分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216 因为XB(3

12、，0.6)，所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.722-3、【2022·广东省深圳市外国语学校第一次月考10月】红队队员甲乙丙与蓝队队员A，进行围棋比赛，甲对，乙对，丙对各一盘，已知甲胜，乙胜，丙胜的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立.（1）求红队至少两名队员获胜的概率；（2）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意知红队至少有两名队员获胜包括四种情况，一是只有甲输，二是只有乙输，三是只有丙输，四是三个人都赢，这四种情况

13、是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果（2）由题意知的可能取值是0，1，2，3，利用独立事件的乘法公式求出变量对应的概率，利用对立事件求得变量为2的概率，写出分布列.【详解】解：（1）设甲胜A的事件为，乙胜的事件为，丙胜的事件为，则，分别表示甲不胜A，乙不胜，丙不胜的事件.，.红队至少两人获胜的事件有：，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率；（2）由题意知可能取值为0，1，2，3.因此，由对立事件的概率公式得.所以分布列为：01230.10.350.40.152-4、（2021·广东茂名·高三月考）接种新冠疫

14、苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足，为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推）若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗（1）求这四个人中恰有一个人接种A种疫苗的概率；（2）记甲，乙，丙，丁四个人中接种A种疫苗的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望【详解】（1）记四

15、个人中恰有一个人接种A疫苗的事件为M，则，所以四个人中恰有一个人接种A疫苗的概率为（2）由题意可知，的取值依次为0，1，2，3，4且，故随机变量的分布列为012342-5、（2021·梅州市梅江区梅州中学高三月考）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)【答案】(1)0.108.(2) 1

16、.8，0.72.【详解】试题-分析：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知XB(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 .（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为,分布列为X0123P0.0640.28

17、80.4320.216 因为XB(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.722-6、（2021·广州市第一中学高三月考）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题-试卷，每位参加比赛的同学先在两类问题-试卷中选择一类并从中随机抽取一个问题-试卷回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题-试卷中再随机抽取一个问题-试卷回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题-试卷中的每个问题-试卷回答正确得20分-，否则得0分-；B类问题-试卷中的每个问题-试卷回答正确得80分-，

18、否则得0分-，己知小明能正确回答A类问题-试卷的概率为0.8，能正确回答B类问题-试卷的概率为0.6，且能正确回答问题-试卷的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题-试卷，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题-试卷？并说明理由.【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，；所以的分布列为（2）由（1）知，若小明先回答问题-试卷，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，；所以因为，所以小明应选择先回答类问题-试卷2-7、（2021·广东高三月考）自2019年起，全国高中数学联赛试题-新规则如下：联赛分为一试加试（即俗称的“二试”）

19、.一试考试-时间为8：009：20，共80分-钟，包括8道填空题-高考群：605697969-（每题8分）和3道解答题（分别为16分20分-20分-），满分120分-.二试考试-时间为9：4012：30，共170分-钟，包括4道解答题，涉及平面几何代数数论组合四个方面.前两题每题40分-，后两题每题50分-，满分180分-.已知某校有一数学竞赛选手，在一试中，正确解答每道填空题-高考群：605697969-的概率为0.8，正确解答每道解答题的概率均为0.6.在二试中，前两题每题能够正确解答的概率为0.6，后两题每题能够正确解答的概率为0.5.假设每道题答对得满分，答错得0分-.（1）记该同学在

20、二试中的成绩为，求的分布列；（2）根据该选手所在省份历年的竞赛成绩分布可知，若一试成绩在100分-（含100分-）以上的选手，最终获得省一等奖的可能性为0.9，试成绩低于100分-，最终获得省一等奖的可能性为0.2.求该选手最终获得省一等奖的可能性能否达到50%，并说明理由.（参考数据：，结果保留两位小数）【答案】（1）分布列答案见解析；（2）该选手最终获得省一等奖的可能性达不到50%，理由见解析.【分析】（1）先写出的可能值，再求出每个值所对应的概率，列出分布列即可；（2）先求出该同学一试获得100分-及以上的概率，再结合题意即可求解【详解】（1）依题意，的可能值为0，40，50，80，90

21、，100，130，140，180.所以，.故的分布列为0405080901001301401800.040.120.080.090.240.040.180.120.09（2）由题意可知，一试分数达到100分-及以上，则后三题解答题只错一题，前8题全对，或者是前面的8题填空题-高考群：605697969-只答错一题或者两题，解答题全部答对，亦或是全部答对.一试题-目全部答对的概率为，后三题解答题只错一题，前8题全对的概率为，前面的8题填空题-高考群：605697969-只答错一题或者两题，解答题全部答对的概率为，所以一试获得100分-及以上的概率为，所以该同学获得省一等奖的概率为，所以该选手最终

22、获得省一等奖的可能性达不到50%.题型三、概率等综合3-1、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试-联考)在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩.防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法

23、随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及数学期望；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店一个订单“秒杀”抢购，同时乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲，乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为，.求的分布列及数学期望；当的数学期望取最大值时正整数的值.【解析】【分析】（1）由题意，根据分层抽样，确定抽取的二级、一级口罩个数分别为6，2，得出的可能取值，求出对应的概率，即可得出分布列，从而可求出期望；（2）先由

24、题意，得到的可能取值，求出对应的概率，即可得出分布列，从而求出对应的期望；根据题意，得到，由（1）结果，根据期望的运算性质，即可求出结果.【详解】（1）由题意，样本中一级口罩和二级口罩的频率之比为：，按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6，2.故的可能取值为0，1，2.，所以的分布列为012所以.（2）由题知，的可能取值为0，1，2，所以的分布列为012所以.因为，所以，当且仅当时取等号，所以取最大值时，的值为2.3-2、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都

25、通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，两轮比赛过程相互独立（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为，求的分布列与数学期望；（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组"该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为（）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为，当时，最大，试求的值【答案】（1）分布列见解析；期望为1；（2）【解析】【分析】（1）先计算甲，乙两组各自通过初赛的概率，确定的可能取值为0,1,2，求出相应概率，列出分布列，并计算数学期望即可；（2）根据题意，列出“优秀小组”的概率的计算公式，通过求导数，确定在上的单调性；即可得到取最大时， 的值.【详解】（1）设甲乙通过两轮制的初