等腰三角形常用辅助线专题练习含答案

1、1. 如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=ACAD=AE求证：BD=CE证明：作AF丄BC,垂足为F,贝UAF丄DEvAB=ACAD=AE又AF丄BC,AF丄DE二BF=CFDF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。BD=CE.2. 如图，在三角形ABC中,AB=AC,AF平行BC于F,D是AC边上任意一点，延长BA到E,使AE=AD连接DE试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由解：AF丄DE理由：延长ED交BC于GvAB=ACAE=AD-ZB=ZC,ZE=ZADE/B+ZE=ZC+ZADVZADEZCDG.ZB+ZE=ZC+ZCDG'ZB+ZE=Z

2、DGCZC+ZCDGZBGEZBGEZCGD=18°/-ZBGEZCGD=90/EGLBCvAF/BUAF丄DEF解法2:过A点作ABC底边上的高,再用/BAC=/D+AEDH2/ADE即卩/CAGMAED证明AG/DE利用AF/BC证明AF丄DE3. 如图，ABC中,BA=BC点D是AB延长线上一点，DF丄AC交BC于E,求证：DBE是等腰三角形。证明：在厶ABC中，tBA=BC：/A=ZC,：DF丄AC；/-ZC+ZFEC=90，/A+ZD=90,./ZFECZDvZFECZBEDBEDZD,/BD=BE即厶DBE是等腰三角形.4. 如图，ABC中,AB=AC,E在AC上，且AD

3、=AE,DE勺延长线与BC相交于F。求证：DF丄BC.证明：AB=AC/ZB=ZC,又tAD=AE/ZD=ZAED/ZB+ZD=ZC+ZAED/ZB+ZD=ZC+ZCEF/ZEFCZBFE=180X1/2=90°，/DF丄BC;若把“AD=AE与结论“DF丄BC互换，结论也成立若把条件“AB=AC与结论“DF丄BC”互换，结论依然成立5. 如图，AB=AE,BC=ED,B=ZE,AMCD,A求证：CM=MD.证明：连接AC,ADvAB=AEZB=ZE,BC=EDABCAAED(SAS)AC=ADvAMLCD/AMC=AMD=90vAM=AM公共边)二RTAAC降RTAADM(HL)C

4、M=DM6. 如图，已知人。是厶ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF求证：BF=AC证明：过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点vAD为中线，二BD=CVBG平行于AC,/-ZFGBMCAF/DBGMACD在人卩丘和厶GFB中,vZFGBZCAFZGFBZAFE/-AAFEAGFB/ZFGBZFAEvAE=EF/.ZFAE=/AFE/BFG=/GiAGFB为等腰三角形，且BF二B(在AD(和GBDvZDBGMACDBD=CD/BDGMCDA.AADCAGBD-BG=ACBF=AC7. 已知：如图，ABC(ABAC)中，DE在BC上，且DE二EC过D点作DF/BA,交AE于点F,DF=

5、AC求证：AE平分/BAC证明：延长AE,过D作DMIAC交AE延长线于MT/MN1,/C=Z2在厶DEMWCEA中ZM=1,ZC=Z2,DE二CEDEIWACEA.DM=CALvDF=CA/.DM=DFtZM=Z3vAB|FD,tZ3=Z4,.Z4=Z1tAE平分ZBAC8. 已知：如图，ABC中,AB=AC在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求证：BD=CE证明：过D作DF/AC交BC于F,：DF/AC（已知），丄DFCMFCE/DFB2ACB（平行线的性质）TAB=A（已知）,/B=ZACB（等边对等角）,/B=ZDFB（等量代换）,BD=DF（等

6、角对等边），：BD=C（已知），二DF=CE（等量代换），vZDFCMFCE/DGFMCGE（已证），DFGAECG（AAS，DG=GE对应边相等）9. 已知：如图，在ABC中,AB=AC=CE,是AD上一点，BE丄CB交CD于E,AC丄DC求证:BE=1/2BC证明：过点A作AF丄BC交BC于点FABC是等腰三角形，AB=ACZABF=/ACF(1)二AF是BC上的垂直平分线，AF丄BC,BF=CF=BC/2(2)vBE!BC,二BE/AF/-ZDBEZBAF(3)vZCBE=90/ZDBEZABF=90=ZACF+ZECB(4)由(1)和(4)知道：ZDBE=ZECB'(5)由(3

7、)和(5)知道：ZBAFZECB又vAB=CEZBFA=/EBC=90RTBFARTAEBC（角角边）二BF=EB（6）由（2）和（6）知道:BE=BC/210. 如图，ABC的角平分线，M为BC的中点，MEDA交BA延长线于E,求证:BE=CF=1/2（AB+AC）证明：（1）延长EM使EM=M,G连接CGv点M是BC的中点，二BM=CM/BMEMCMG-ABMEACM（SAS）BE=CGZE=ZGMAD平分/BAC/-ZBAD2CAD/ME/DA,a/BAD"E,ZCADMAFE/-ZE=ZAFEAE=AM/AFE=/CFGa/G=/CFG.CF=CGaBE=CGaBE=CF(2

8、)tBE=AB+A，二2BE=2AB+2AEvCF=BEAC=CF+AFAE=AF2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE=AF+CF2BE=AB+ACBE=CF=1/2(AB+AC)ifflG11. 如图，已知ABC中,ADIBC,ZABC=ZC.试说明AB+BD=C的理由。证明：在DC上截取DE=BD连接AEvADLBC,二/ADB"ADE=90vAD=AD-RTADBRTADE(SAS)：AB=AE/ABC"AEBvZAEB"C+"EAC/ABC="C(已知)二"EAC"CAE=

9、CE：AB=CE'CD=CE+DE：AB+BD=CD12. 已知：如图，人。是厶ABC的角平分线，且AC=AB+BD求证：ZB=2/C.证明：在AC上作AE=AB连结DE/AC=AB+BDAE+CEBD=CEAD是角平分线，二"BAD=ZEAD又vAB=AEAD=AD-ABDAEADZB=ZAEDBD=DE=CEZEDC"C,ZAEB2ZC即："B=2"C13. 如图所示，已知在厶ABC中AD是/A的平分线，且/B=2/C.求证：AC=AB+BD.证明：延长AB到E,使AC=AE连接DEvAD是/BAC的角平分线/BAD2DAC（角平分线的定义）

10、公共边AD=ADAC=AEBAD=/DAC.AACDAAED（SAS）./ACBMDEA（全等三角形形的对角相等）v/BDEyDEBMCB型CBA=ZAC玄ACB2DEA/BDE2DEA.BD=BE（等角对等边）vAB+BE=AE,AC=AE,BD=BEAB+BD=AC14. 如图，点E是等边ABC内一点，且EA=EBABC外一点D满足BD=AC且BE平分/BDE求/BDE的度数解：连接CETAC=BCAE=BECE为公共边，二BCEAACE/BCEMACE=30又tBD=AC=BCZDBEMCBEBE为公共边，二BDEABCE/BDEMBCE=3015. 如图，已知在厶ABC中,AB=BC=CA，是AD上一点，并且EB=BD=DE证：BD+DC=AD.A提示：证明ABEABCD即可EBC16. 已知：如图，ABC中，/C=90,CMLAB于M,AT平分/BAC交CMTD,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E,求证：CT=BE证明1:作DF/BC交AB于F,则：vZAFDWB=ZACD,AT为/BAC的角平分线,AD为公共边AFDAACD,AF=A连接TFvAF=AC,AT为/BAC的角平分线,AT为公共边ACBAAFT,TF丄AF,TF/CM/DF/CT/BE,TF/CD,DE/BF：四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形二C