第六章不等式、推理与证明

1、第六章不等式、推理与证明备考基础-童清不等关系与不等式忆知识I明误国I悟方法对应学生用书P87必记3知识点忆-忆填填1. 不等关系与不等式在数学意义上，不等关系体现在以下几点：(1) 常量与常量之间的不等关系.(2) 变量与常量之间的不等关系.(3) 函数与函数之间的不等关系.(4) 一组变量之间的不等关系.2. 实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0?ab:ab=0?a=b:ab0?ab,bc，贝Uac.a+ma(3) 一般地，设a、b为正实数，且a0，则3. 不等式的主要性质(1) 如果ab,cd，则a+cb+d:(2) 如果ab0,cd0，则acbd：(3) 如果ab0,则anbn(nN

2、+);(4) 如果ab0,则nanb(nN+,n2).自必明易误点類三想试二试1. 在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如ab,bc?ab?ac2bc2；若无cm0这个条件，ab?ac2bc2就是错误结论(当c=0时，取.试一试A. acbc22C.a2b212.2-1V3+1(填“或解析：一=迄+1寸3+1.,2-1答案：b3目必会方法捂一悟练一练1.不等式的倒数性质1 1(1) ab,ab0?孑；1 1aob?ab0,0cd;(4)0axb或axb0?111bxa.2. 不等式的分数性质（1）真分数的性质:bb+mbbm_(bm0);aa+maam假分数的性质:aa+mbb+maambb

3、m(bm0).答案：b+ca+ca+cb+c若0a0,则黑与求的大小关系为考什么|怎么考怎么办也热点命题-悟通对应学生用书P88考点一比较两个数（式）的大小自主绦透型解析：选D由性质知选D.1.已知ai,a2(0,1)，记M=aia2,N=ai+a21，贝VM与N的大小关系是()A.MNC.M=ND.不确定解析：选BMN=aia2(ai+a21)=aa2a1a2+1=a1(a21)(a21)=(a一1)(a21),又匸1(0,1),a2(0,1),-*a110,a210，即MN0.32.若实数1,比较a+2与的大小.I a解:a+2a2a11a当a1时,a+2当a1时,a+2b+d”是ab且c

4、d”的()A充分不必要条件B既不充分也不必要条件C.充分必要条件D.必要不充分条件ab(2) 若a0ba,cvdv0,则下列结论：adbe;$+Cb-d;adc)b(dc)中成立的个数是()A.1B.2C.3D.4解析由a+cb+d”不能得知ab且cd”，反过来，由“ab且cd”可得知a+cb+d”，因此a+cb+d”是ab且cd”的必要不充分条件，选D.法一：Ta0b,cvdv0,.adv0,bc0,advbe,故错误.a0ba,ab0,*cvdv0,cd0,a(c)(b)(d),ac+bdv0,Aa+b=dcac+bdcdv0,故正确.-cvd,.cd,-ab,.a+(c)b+(d),ac

5、bd,故正确./ab,dc0,.a(dc)b(dc),故正确，故选C.法二：取特殊值.答案(1)D(2)C类题通法判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0;(2) 不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;典例(3) 不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.针对训练若ab0,则下列不等式不成立的是()11A.|b|C.a+b2abD輕冲D.2b0，-|b|,a+b2ab，又2a2b

6、,.ab,选c.考点三不等式性质的应用卜师生共研型已知函数f(x)=ax2+bx，且1f(1)2,2f(1)4求f(-2)的取值范围.解f(1)=ab,f(1)=a+b.f(2)=4a2b.设m(a+b)+n(ab)=4a2b.m+n=4,m=1,则解得mn=2,n=3.f(2)=(a+b)+3(ab)=f(1)+3f(1).Iwf(1)w2,2wf(1)w4,5wf(2)w10.即f(2)的取值范围为5,10.匕题多变若本例中条件变为：已知函数f(x)=ax2+bx，且1f(1)w2,2wf(1)4，求f(2)的取值范围解：由本例知f(2)=f(1)+3f(1).又1f(1)w2,2wf(1

7、)4,53f(1)+f(1)10,故5f(2)10.故f(2)的取值范围为(5,10).类题通法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.针对训练一1Wa+BW1,若a,B满足芒试求a+3B的取值范围.1Wa+23,解：设a+3B=x(a+B+y(a+2B)=(x+y)a+(x+2y)Bx+y=1,X=-1,则解得X+2y=3,y=2.T1W(a+B)W1,2W2(a+2B)W6,两式相加，得1W

8、a+3W7.a+3B的取值范围为1,7.迁移应用练透对应学生用书P89课堂练通考点1.“1wXW4”是“1Wx2W16”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A由1wxW4可得1wx?w16，但由1wx2W16可得1wxw4或4wxW1,所以“1wxW4”是“1Wx2W16”的充分不必要条件.2.（2013昆明质检）若abhabb2B.ab解析：选C取a=2,b=1，逐个检验选项可知，仅C选项成立.3.在所给的四个条件：11、bOa:0ab:aOb:ab0中，能推出一二成立的ab有（）11b一a解析：选cab成立，即石成立，逐个验证可得，满足题意

9、.4设a,b是非零实数，若ab,则下列不等式成立的是（）2222A.abB.abab解析：选C当a0时，a20,ab符号不确定，所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错.因为1 iab11看一航=苕，所以看b，则ac2bc2;若ac2bc2，则ab;若ab，则a2cb2c.其中正确的是（请把正确命题的序号都填上）.解析：若c=0则命题不成立.正确.中由2c0知成立.答案：ab116.已知卄b0，则孑+孑与a+b的大小关系是解析:1=_b.尸babba+訂=(ab)2a+b0,(ab)0,a+babab答案：a+a1+1课下提升考能第i组：全员必做题1. 若mv0,n0且m+nv0,则下列不等式

10、中成立的是（）A.nvmvnvmB.nvmvmvnC.mvnvmvnD.mvnvnvm解析：选D法一：（取特殊值法）令m=3,n=2分别代入各选项检验即可.法二：m+nv0?mvn?nvm,又由于mv0vn,故mvnvnvm成立.2. （2014黄冈质检）已知xyz,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是（）A.xyyzB.xzyzC.xyxzD.x|y|z|y|解析：选C因为xyz,x+y+z=0，所以3xx+y+z=0,3z0,可得xyxz.x0,zz,c.（0,n3.（2013西安模拟）设a,那么2a3的取值范围是（B.5n6D.解析：选D由题设得WE,g3n1 14.若ab0,则下列结

11、论不正确的是（）222A.abB.abbC.a+b|a+b|1 1解析：选Dtab.aba+b0,-11一解析：选C由-0可得ba0,从而|a|b，不正确；ab33ab0，贝Ua+bb，正确故不正确的不等式的个数为2.6.(2014扬州期末)若aia2，Sb2，贝Va?b2与aQ2+a?bi的大小关系是解析：作差可得(aibi+a2b2)一(aib2+a2bi)=(aia2)(bib2),aa2,bi0,即aibi+a2b2aib2+a2bi.答案：aibi+a2b2aib2+a2bi7.若iVaV3,432,贝Ua|日的取值范围是.解析：/432,.0|34.A4|3|0.二一3a|3aab

12、，则实数b的取值范围是.解析：-/ab2aab,a丰0,当a0,b2ib,b2i,即解得bi;bi,2当a0时，bib,f2bi综上可得b(bdf答案：（a,i）9 .若ab0,cd0,e0.求证:证明：cdd0.又ab0,acbd0.22(ac)(bd)0.11/.0ac22(ac)(bd)10.某企业去年年底给全部的800名员工共发放)000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人.(1) 若a=10,在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2) 为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1

13、)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元.2 000+60x则y=(aN+,Kx10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元.60X8002000aX2X1800+ax2800+ax1设10，得av24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人.第n组：重点选做题21. (2014济南调研)设a1，且m=loga(a+1),n=loga(a1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系为()A.nmpB.mpnC.mnpD.pmn解析：选B因为a1，所以a2+12a=(a1)20,即a2+12a，又2aa1,所以由2对数函数的单调

14、性可知loga(a+1)loga(2a)loga(a1)，即mpn.2. (2014北京西城区期末)已知ab0,给出下列四个不等式：a2b2:2a2b1:,ab.a.b:a3+b3a2b.其中一定成立的不等式为()A.B.C.D.解析：选A由ab0可得a2b2,正确；由ab0可得ab1,而函数f(x)=2在R上是增函数，22，正确；Tab0，二a-jb,.(i!ab)(：.;ab)=2、：ab2b=2b(,ab)0,.aba,b,正确；若a=3,b=2,贝Ua3+b3=35,2a2b=36,a3+b30A=0AV0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像IjLHl申严;:/ka一兀二次方程a

15、x2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根X1,X2(X10(a0)的解集XlXx?bx|x殖R2ax+bx+cv0(a0)的解集x|x1vXVX2?自必明2s误点？怨二辄试三遢,1. 二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式.2 .当A0(a0)的解集为R还是?.试一试1 .(2013浙江高考)设集合S=x|x2,T=x|x2+3x40，则(?rS)UT=()A.(2,1B.(汽一4C.(g,1D.1,+s)解析：选CT=x|40的解集是.一2,3，则a+b的值是()A.10B.10C.14D.141 1o解析：选D由题意知一2

16、、是axa=b=0,a0,(2) 不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立？$或*|c0,A0的解集为R，则m的取值范围是.解析：当m=0时，10显然成立. 当mz0时，由条件知m0,A=4m24m0.+bx+2=0的两根.则a=12,b=2.a+b=14.故选D.3. 不等式x2+ax+40的解集不是空集，则实数a的取值范围是解析：不等式x2+ax+40,即卩a16.a4或a0,(1) 不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立？或*p0,A0.得0m1,由知owm0(a丰0).解(1)原不等式等价于x2X20,2xx2W4x2x20,2xx6w0x2x+10,x3x+2w0x2或xv1,

17、2wxw3.借助于数轴，如图所示,原不等式的解集为x|2wxv1或2vxw3.22由x4ax5a0知(x5a)(x+a)0.由于0故分a0与av0讨论.当av0时，xv5a或xa;当a0时，xva或x5a.综上,av0时，解集为x|xv5a或xa；a0时，解集为x|x5a或xva.类题通法1.解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0,即ax2+bx+c0(a0),ax2+bx+cv0(a0);(2) 计算相应的判别式；(3) 当A0时，求出相应的一元二次方程的根;(4) 根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集.2 解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论

18、的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类.针对训练解下列不等式：(1) 3x22x+80;(2) ax2(a+1)x+1v0(a0).解：原不等式可化为3x2+2x80,即(3x4)(x+2)w0.”f4解得2wx0,所以ax*(x1)v0.1所以当a1时，解为avxv1；当a=1时，解集为?;1当0vav1时，解为1vxvJ综上，当0vav1时，不等式的解集为Ix1vxv1a当a=1时，不等式的解集为?;当a1时，不等式的解集为寸vxv1考点二一元二次不等式恒成立问题卜多堆探究型一元二次不等式

19、与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围归纳起来常见的命题角度有：1形如fx0xR确定参数的范围；2形如fx0xa,b确定参数范围；3形如fx0参数ma,b确定x的范围.角度一形如f(x)0(xR)确定参数的范围21. (2013重庆高考)设00对xR恒成立，则a的取值范围为.解析：根据题意可得(8sina4X8cos2aW0，即2sin2acos2aW0,2sin2a(12sin211n5na)0(xa,b)确定参数范

20、围2.对任意x1,1，函数f(x)=x2+(a4)x+42a的值恒大于零，求a的取值范围.解:函数f(x)=x2+(a4)x+42a的对称轴为a44a当1,即卩a6时，f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(a4)X(1)+42a0,解得a0,I2丿I2丿22即a1，即a0,即a1，故有a1.2综上可知，当a0(参数ma,b)确定x的范围3. 对任意a1,1，函数f(x)=x2+(a4)x+42a的值恒大于零，求x的取值范围.解：由f(x)=x+(a4)x+42a=(x2)a+x4x+4,2令g(a)=(x2)a+x4x+4.由题意知在1,1上，g(a)的值恒大于零，g1=x2X1+x24x

21、+40,g1=x2+x24x+40,解得x3.故当x3时，对任意的a1,1，函数f(x)的值恒大于零.类题通法恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1) 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.(2) 对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.考点三一元二次不等式的应用卜师生共研型典例某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a件现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价

22、格是4元/件.经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件.(1) 写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；(2) 设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?解(1)设该商品价格下降后为x元/件，(k、则由题意可知年销量增加到lx4+a件，丄、故经销商的年收益y=込_4+a(x3),5.5Wxw7.5.(2)当k=2a时，依题意有if4+a(x3)(83)aX(1+20%),x-11x+30化简得0,x4解得x6或410260,2化简得8x30x+

23、13W0.113解得寸xw所以x的取值范围是j2，2迁移应用练透对应学生用书对点练综合绦创新练主峑演堀K冲关P91课堂练通考点1. (2013东高考)不等式X22222258a，故(X2X1)=(X1+X2)4x1x2=(2a)4x(8a)=36a=15，得a=4. (2014皖南八校联考)不等式x22x+5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A.1,4B.(汽一2U5,+s)C.(s,1U4,+)D.2,5解析：选Ax22x+5=(x1)2+4的最小值为4，所以x22x+5a23a对任意实数2x恒成立，只需a3a4，解得Ka4.2|2的解集是()A.(1,1)B.(2,2)C

24、.(1,0)U(0,1)D.(2,0)U(0,2)解析：选D由|x22|2得一2x222，即20x4,所以一2x0或0x0,不等式一cax+bc的解集是x|2x1，贝Ua:b:c=()A.1:2:3B.2：1：3C.3:1:2D.3:2:1解析：选BTcax+b0,b+ccbxaab+c=2,不等式的解集为x|2x1,ab=2，3c=2a，a:b:c=a:2:罗=2:1:3.3.（2013重庆高考）关于x的不等式x22ax8a20）的解集为（X1,X2）,且x2冷=15,则a=(5a.2)7B.21515D乙解析：选A由条件知x1,X2为方程x2ax8a?=0的两根，则x1+x2=2a,X1x

25、2=X+1，x0,、5. (2013温州调研)若函数f(x)=则不等式f(x)0,0,解析：不等式f(x)4等价于2或|x+14，x4,即0x,3或一4xW0因此，不等式f(x)4的解集是(一4,3).答案：(一4,.3)6. (2012天津高考)已知集合A=xR|x+2|3，集合B=xR|(xm)(x2)0，且AAB=(1,n),贝Hm=,n=.解析：因为|x+2|3，即5x1，所以A=(5,1)，又AABm?，所以m1,B=(m,2),由AAB=(1,n)得m=1,n=1.答案：11课下提升考能第I组：全员必做题41.(2014潍坊质检)不等式0,即x2时，不等式可化为(x2)解析：选D因

26、为一元二次不等式f(x)0的解集为*|x2:所以可设f(x)=a(x+1)(-ja0可得(10x+1)(10x2丿0,即10x2,xlg2.3. (2014湖北八校联考)“0a0的解集是实数集R”的()A.充分而不必要条件B必要而不充分条件4,所以x4;当x20,即x2时，不等式可化为(x2)24，所以0Wx2.f11x2. (2013安徽高考)已知一元二次不等式f(x)0的解集为ix|x2，贝Vf(10)0的解集为()A.x|xlg2B.x|1xlg2D.x|x0，显然成立；当a丰0时，？故ax+2ax|=4a24a0的解集是实数集R等价于Owa1.因此，0a0的解集是实数集R”的充分而不必

27、要条件.4. 关于x的不等式x2(a+1)x+av0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是()A.(4,5)B.(3,2)U(4,5)C.(4,5D.3,2)U(4,5解析：选D原不等式可能为(x1)(xa)v0，当a1时得1vxva，此时解集中的整数为2,3,4，贝U4vaw5，当av1时得avxv1,则一3wav2，故a3,2)U(4,55. (2013洛阳诊断)若不等式x2+ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是()A.-pmD.C.(1,+m)解析：选B由=a2+80,知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是

28、f(5)0,f(1)w0,解得a弩，且aw1,5故a的取值范围为一乍3,1.6 .不等式x(x2)|x(x2)的解集是.解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x27 .在R上定义运算：x*y=x(1y).若不等式(xy)*(x+y)1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是.解析：由题意，知(xy)*(x+y)=(xy)1(x+y)1对一切实数x恒成立，所以x22222+x+yy10对于xR恒成立.故=14X(1)X(yy1)0,所以4y4y30,13解得尹2答案：,I&不等式X22X+3Wa22a1在R上的解集是？，则实数a的取值范围是解析：

29、原不等式即x22xa2+2a+4W0，在R上解集为？，44(a2+2a+4)v0,2即a2a3v0,解得1vav3.答案：(1,3)29.设函数f(x)=mxmx1.(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立，求m的取值范围；若对于x1,3,f(x)m+5恒成立，求m的取值范围.解：要使mx2mx10恒成立，若m=0,显然10;m0,若mz0,贝U2?4m0.A=m2+4m0所以一4mW0.要使f(x)m+5在1,3上恒成立，即m|x夕j+3m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)max=g(3)?7m60,66所以m7，则0m7；当m=0时，一60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上

30、是减函数，所以g(x)max=g(1)?m60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是Imm0,因为函数y=6x2*x+1一3在1,3上的最小值为号，所以只需x-22+4mV6即可.2/xx+1又因为m(xx+1)60，所以m所以，m的取值范围是mm0的解集；1、若a0,且0vxvmvnv,比较f(x)与m的大小.a解：由题意知，F(x)=f(x)x=a(xm)(xn),当m=1,n=2时，不等式F(x)0,即a(x+1)(x2)0.那么当a0时，不等式F(x)0的解集为x|xv1，或x2;当av0时，不等式F(x)0的解集为x|1vxv2.(2)f(x)m=a(xm)(xn)+xm=(

31、xm)(axan+1),厂1/a0,且0vxvmvnv,.xmv0,1an+ax0.a/f(x)mv0,即卩f(x)vm.第n组：重点选做题1. 若函数f(x)=(a2+4a5)x24(a1)x+3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是()A.1,19B.(1,19)C.1,19)D.(1,19解析：选C函数图像恒在x轴上方，即不等式22(a+4a5)x4(a1)x+30对于一切xR恒成立.a2+4a50,1 2216(a1212(a+4a50.解得1a19.综上可知，a的取值范围是Ka0时，f(x)=x24x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为.解析：由于f(x)为R上的奇函数，所以当x=0

32、时，f(0)=0;当x0,所以f(2x)=x+4x=f(x),x24x,x0,即f(x)=x24x,所以f(x)=0,x=0,2x24xx,或x0,.x4x,xx,由f(x)x,可得挟0解得x5或5x0,b0.等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.2. 算术平均数与几何平均数设a0,b0，则a,b的算术平均数为，几何平均数为,ab,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3. 利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则：如果积xy是定值p,那么当且仅当xy时，x+y有最小值是2p.(简记：积定和最小)2(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当xy时，xy有最大值是”(

33、简记：和定积最大)已必明澎易误点1 求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件.2 多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性.试一试a+b1“a0且b0”是“丁ab”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A2.已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()11代3B.23 2C.4D.31193解析：选B由0x0,贝Ux(33x)=X3x(33x)2ab(a,bR)；b+a2(a,b同号).abia+bia+ba2+b2abw(a,bR);冬厂(a,bR).2. 巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，

34、要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.练一练4若x1，则x+的最小值为x1解析：x+-=x1+14+1=5.X1x14当且仅当x1=-，即x=3时等号成立.X1答案：5|热点命题-悟通考什么怎么普怎么沙茴邈角度全扫描对应学生用书P92考点一利用基本不等式证明不等式师生共研型典例求证:已知a0,b0,a+b=1,证明法一：va0,b0,a+b=1,1a+bb口也1a+a=仃=ab，+孑同理，仔1=2+b二1+11+1=2+a2+a=5+2b+a5+4=9,当且仅当b=a，1即a=b=时取“=”.1+a1+19,当且仅当a=b=*时等号成立.、止一111

35、1法二：1+11+b=1+a+b+ab类题通法利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项,并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1的代换法等.针对训练11设a,b均为正实数，求证：1+孑+ab22.证明：由于a、b均为正实数，所以*+2!i=ab，ii当且仅当1=古，即a=b时等号成立,当且仅当又因为Ob+ab2时等号成立,112所以孑+abab+ab22,11a2=b2,当且仅当即a=b=42时取等号考点二利用基本不等式求最值卜师生共研型畚ab，典

36、例(1)(2013四川高考)已知函数f(x)=4x+f(x0,a0)在x=3时取得最小值，则a=.212(2) (2014长春调研)若两个正实数x,y满足；+=1，并且x+2ym+2m恒成立，则实数m的取值范围是.(3) (2013山东高考改编)设正实数x,y,z满足x23xy+4y2z=0,则xy的最小值为解析(1)f(x)=4x+y4xa=4百(x0,a0)，当且仅当4x=:，即卩a=4x2时取等2号，则由题意知a=4X3=36.(2) x+2y=(x+2y)2+-=2+4y+X+28,当且仅当4y=X,xyxyxy2即x=2y=4时等号成立.由x+2ym+2m恒成立，22可知m+2m8,

37、m+2m80，解得4m0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解.针对训练2x(1) 当x0时，贝yf(x)=2T7的最大值为.x*(2) 已知log2a+log2b1，贝U3a+9b的最小值为.(3) 已知x0,y0,xy=x+2y,若xym2恒成立，则实数m的最大值是解析：(1)vx0,16f（x）=9=j2=1，x+1x+-2x1当且仅当x=1即卩x=1时取等号.x（2）由log2a+log2b1得Iog2（ab）1,即ab2,.3a+9b=3a+32b2X当且仅当3a=32b,即即a=2b时取等号）.又Ta+2b2.2ab4（当且仅当a=2b时取等

38、号），.3a+9b2X32=18.即当a=2b时，3a+9b有最小值18.由x0,y0,xy=x+2y22xy,得xy8,于是由m2xy恒成立，得m20)满足x=3后亍(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2013年生产该产品的固定投入为8万元.每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1) 将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2) 该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意知，当m=0时，x=1(万件),.1=3k?k=2,.x=32m+18+16x每件产品的销售价格为1.5X(元),入8+16x2013年的利润y=1.5xX-816xm入=m1+m+1+29（m0）.m+1+(m+1)2丽8,yw8+29=21,16一一当且仅当=m+1?m=3(万兀)时，ymax=21(万兀).m+1故该厂家2013年的促销费用投入3万元时，厂家的